三角函数解题总结

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——三角函数三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如()()，2()()，2()()，22，222等在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。例1函数ππ2sincos()36yxxxR的最小值等于（）．（A）3（B）2（C）1（D）5解析：注意到题中所涉及的两个角的关系：πππ362xx，所以将函数()fx的表达式转化为πππ()2coscoscos666fxxxx，故()fx的最小值为1．故选（C）．评注：常见的角的变换有：()，2()()，2()，22，3πππ()442，ππ44．只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察，往往会发现角之间的关系．例2、已知,,1411)cos(,71cos均是锐角，求cos。解：。。）21734143571)1411(cos1435sin(,734sin.sin)sin(cos)cos(])cos[(cos小结：本题根据问题的条件和结论进行])[(的变换。例3、已知cos(91)2,sin(2-)=32,且,20,2求.2cos分析：观察已知角和所求角，可作出)2()2(2的配凑角变换，然后利用余弦的差角公式求角。解：.2757329543591)]2()2cos[(2cos,35(1)2cos(,954(1)2sin(.224,24,20,2)32)9122例4、已知),2sin(sinm求证：).1(tan11)tan(mmm分析：由角的特点，因已知条件所含角是,,2所证等式含角,,所以以角为突破口。证明：.tan11tan(1sin)cos()1(cos)sin()1(,sin)cos(cos)sin(sin)cos(cos)sin(],)sin[(])sin[(,)(,)(2mmmmmmmm）即小结：抓住题设与结论中角的差异，利用角的和，差，倍等关系，变不同的角为同角，在三角变换中角的变换很重要如1）已知2tan()5，1tan()44，那么tan()4的值是_____。2）已知02，且129cos()，223sin()，求cos()值。3）已知,为锐角，sin,cosxy，3cos()5，则y与x的函数关系为______（答：1）322；2）729239；3）23431(1)555yxxx）三角函数名互化(切化弦)，三角函数包括六种形式，因此，对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函数间的关系入手，寻求统一函数名称的变换途径，正确选用三角变换公式，通过变换尽量减少三角函数的种类，可以使问题得到快速的解决．例1、若sin（α+β）=12,sin（α—β）＝110，求tantan解：由sin=（α+β）=12,sin（α—β）＝110得1sincoscossin312sincos,cossin1105sincoscossin10解得－∴tantan＝sincoscossin�＝32例2、当π04x时，函数22cos()cossinsinxfxxxx的最小值是（）．（A）4（B）12（C）2（D）14解析：注意到函数的表达式的分子与分母是关于sinx与cosx的齐二次式，所以，分子与分母同时除以2cosx转化为关于tanx的函数进行求解．因为π04x，所以0tan1，所以2211()4tantan11tan24fxxxx≥．故选（A）．评注：切、割化弦，弦化切是解答三角问题中对函数名称进行转化的最常见、最基本的两种方法：（1）若所给的三角式中出现了“切、割函数”，则可利用同角三角函数基本关系将“切、割函数”化为“弦函数”进行求解、证明；（2）若所给的三角式中出现了“弦函数”与“切函数”，有时可以利用公式sintancosxxx将“弦函数”化为“切函数”进行解答．例3、化简：000cos10(tan103)sin50解：原式00000000000sin10cos10sin103cos10cos102cos40(3)2cos10sin50cos10sin50sin50例4、已知tan()34，求22sincossinsincos1的值。解：∵tan()14tantan()2441tan()4，∴222222sincos2sincos2tan47sinsincos1sinsincossincos2tantan1点评：在求值、化简、恒等式证明中，切化弦与弦化切是常用的三角变换技巧。如1）求值sin50(13tan10)（答：1）；2）已知sincos21,tan()1cos23，求tan(2)的值（答：18）三角函数次数的降升分析三角函数中的次数，是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题中的要求，正确选用半角公式或倍角公式等三角公式，达到次数的统一．例1、已知为第二象限角，且15sin4，求πsin4sin2cos21的值．分析：由于已知条件中知道sin的值，而所求三角函数式中所涉及的角是与有关的复角，因此可利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形获得解答．解：原式22(sincos)2(sincos)22sincos2cos4cos(sincos)当为第二象限角，且15sin4时，sincos0，1cos4，所以πsin242sin2cos214cos．评注：解答本题的关键是将含有二倍角的一次式转化为二次式，消去常数1．例2、求值：480sin20sin220sin820sin433解：原式：＝20sin3)20sin21(20sin432＝20sin340cos20sin43=20sin340cos20sin4)2040sin(2=20sin320sin40cos20cos40(sin2＝20sin3)2040sin(2＝332注：怎样处理sin320°和3是本题的难点，解决的方法是“降幂”和“常数变换法”。例3、化简2cos2cos21coscossinsin2222。分析：从“幂”入手，利用降幂公式。解：原式2cos2cos21)2cos1)(2cos1(41)2cos1)(2cos1(41)2cos2cos2cos2cos1(41)2cos2cos2cos2cos1(412cos2cos21212cos2cos21)2cos2cos1(21如1)若32(,)，化简111122222cos为_____（答：sin2）；2）函数2553f(x)sinxcosxcosx532(xR)的单调递增区间为___________（答：51212[k,k](kZ)）常数变换在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数“1”的变换有：222222cotcsctanseccossin1，0045sin90sin1，sincsc1,cossec1等等。例1、已知πtan24，求212sincoscos的值．分析：由已知易求得tan的值，而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正、余弦函数且各式都为二次式，而分子是常数1，可将1化为22sincos，再利用同角三角函数基本关系将所求式转化为正切函数进行求解．解：由π1tantan241tan，得1tan3，于是原式2222sincostan122sincoscos2tan13．评注：对于题中所给三角式中的常数（如：231323，，，等），比照特殊角的三角函数值，将它们化为相应的三角函数，参与其它三角函数的运算，在解题中往往起着十分奇妙的作用．例2、求值（21cos80o—23cos10o）·1cos20o解：∵21cos80o—23cos10o＝2222cos103cos80cos80cos10oooo－＝223cos10sin10oooooo（cos10+3sin10）（cos10－sin10）＝22cos10cos10sin10oooooooooo4（sin30+cos30sin10）（sin30cos10－cos30sin10）＝24sin40sin201sin204ooo＝16sin40sin20oo＝32cos20o∴原式＝32例3、(2004年全国高考题)求函数xxxxxxf2sin2cossincossin)(2244的最小正周期，最大值和最小值。分析：由所给的式子xxxx2244cossincossin可联想到222)cos(sin1xx。解：xxxxxxf2sin2cossincossin)(2244)cossin1(2cossin122xxxx212sin41x。所以函数)(xf的最小正周期是，最大值为43，最小值为41。消参变换当题设或结论中含有参数时，我们可以采用消去参数法来解决．例1、已知sinsin(3)m，1m且ππ()2kkZ，π()2kkZ．求证：1tan()tan1mm．分析：由于已知和结论中都含有参数m，所以我们可以把已知变形，求出sinsin(2)mm，，代入1tan1mm化简，即可证得等式成立．评注：在解答含有参数的等式证明问题时，我们往往可以采用这种 办法 鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载企业年金办法下载企业年金办法下载 ．本例并未给出证明过程，同学们可试着自己完成．变换公式的方法使用任何一个公式都要注意它的逆向变幻，多向变幻，这是灵活，深刻地使用公式所必须的，尤其是三角公式众多，把这些公式变活，显得更加重要。三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用。如cosα＝sin22sin，tanα±tanβ＝tan（α＋β）（1tanαtanβ）等。例1：求值：212cos412csc)312tan32（解：先看角，都是12°；再看“名”，需将切割化为弦，最后在化简过程中再看变换。原式＝212cos412sin1)312cos12sin3(2（切、割化为弦）=)112cos2(12cos12sin212cos312sin32=24cos24sin)12cos2312sin21(32(逆用二倍角)=24cos24sin)60sin12cos60cos12(sin32（常数变换）=24cos24sin2)6012sin(34（逆用差角公式）＝48sin)48sin(34＝－４3（逆用二倍角公式）注：要养成逆用公式的意识，熟悉教材给出的三角基本公式的同时，如果我们熟悉其他变通形式常可以开拓解题思路。例2、求28tan17tan28tan17tan的值。解：原式=128tan17tan)28tan17tan1(45tan28tan17tan)28tan17tan1)(2817tan(小结：对于两个角的正切的三角函数的和与积的形式的求值问题，通常利用tantan1tantan)tan(的变形式).tantan1)(tan(tantan例3、求)6tan()6tan(3)6tan()6tan(的值。,33tan)]6()6tan[(解：又3)6tan()6tan(3)]6tan()6tan(1[3)]6tan()6tan(1[3)6tan()6tan()6tan()6tan(1)6tan()6tan()]6()6tan[(原式例4、若αβ为锐角且满足sinα—sinβ=—12，cosα—cosβ=12，求tan（α—β）的值。解：由题中条件把两等式平方相加得sin2α—2sinαsinβ+sin2β＋cos2α—2cosαcosβ+cos2β=12即2—2cos（α—β）＝12∵cos（α—β）＝34∵α、β为锐角sinα—sinβ＝—12＜0∴0<α<β<22<α—β<0∴sin（α—β）＝—12－cos(－)＝—74,∴tan（α—β）=sin()cos()=—73,