六年级思维训练校本课程上(李骞)

六年级思维训练校本课程上(李骞) 六年级数学思维训练校本课程(上) 前 言 数学课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 指出:学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的;数学内容要密切联系现实生活，密切联系儿童的生活经验;要让学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增强对数学的理解和学好数学的信心。同时积极开展 小学 小学生如何制作手抄报课件柳垭小学关于三违自查自纠报告小学英语获奖优质说课课件小学足球课教案全集小学语文新课程标准测试题 数学拓展活动，也是二期课改、素质教育大力实施和推进下的必然趋势。 因此，为积极实施新课程标准，挖掘数学教学新增长点，在抓好“课堂”这个主阵地外，结合新课标、教材和学生的生活实际，设计了以激发学生学习数学的兴趣，提高实践、创新能力，培养良好习惯为主要目的的《水滴思哲思维训练》校本课程。 总体目标: 1.加深和巩固学生在数学课上学到的知识。 2.实践和应用课堂上学到的数学知识，解决日常生活和学习中一些基本而简单的数学问题。 3.拓展和延伸教材中的数学知识，使学生掌握基本的数学解题方法，形成一定的数学技能及特长。 4.激发和调动学生学习数学的兴趣，形成良好的学习数学的习惯，促进学生综合素质的发展。 教学原则。 校本课程与其他课程一样(都是由学生参加的学校教育活动，在遵循一般教学原则的同时，还要考虑到其自身的特点和规律。应注意以下原则: 1(自主性原则:尊重学生的主体地位，以学生自主活动为主，教师讲授、指导少而精，尽量让学生多炼、多动，多给学生以尽可能多的时间与想象、创造空间。 2(灵活性原则:教学内容、方法应以学生的实际情况而定，应从学生的能力、效果等差异出发、因材施教，灵活的作内容形式上的调整，使全体学生都得到发展。 3(开放性原则:体现在目标的多元化、内容的宽泛性、即时性，时间空间的广域性、可变性，评价的主体性、差异性。 1 六年级数学思维训练校本课程(上) 目 录 ,2-4～ 第1讲 速算与巧算 ,5-7～ 第2讲 分数的计算 ,8-10～ 第3讲 分数应用题 ,11-13～ 第4讲 分数应用题,一～ ,14-16～ 第5讲 分数应用题,二～ ,17-19～ 第6讲 列方程解分数应用题 ,20-22～ 第7讲 百分数应用题 ,23-25～ 第8讲 单位“1”的妙用 ,26-28～ 第9讲 倒推法解题 ,29-31～ 第10讲 对应法解题 ,32-34～ 第11讲 工程问题 ,35-37～ 第12讲 比的意义和应用 ,38-40～ 第13讲 按比例分配 ,41-43～ 第14讲 利润和利息 ,44-46～ 第15讲 巧算周长 ,47-49～ 第16讲 智求面积 2 六年级数学思维训练校本课程(上) 第1讲 速算与巧算 思路索引 学习数学离不开数的计算，而学习数学的最终目的在于运用所学 的数学知识、技能来解决实际问题。因此，要学好数学，就必须做到 计算准确而又迅速。本讲就介绍一些速算与巧算的技巧。 例1 计算下面各题。 12003642003(1)9 (2)2003 ,,172004 同学们都会计算带分数除法，但相信 同学们看了这两道题目后，都会感到计算 太麻烦，如果我们开动脑筋想一想，就会 发现: 164可以把(1)分成一个9的倍数与另一个较17 小得数，再利用除法的性质就可以使计算简便;把例 (2)中的被除数和除数利用商不变的性质，同时除以 2003后，计算就很简便了。 12003642003(1)9 (2)2003 ,,172004 1200312003 =(63+)9 =(20032003)(2003) ,,,,172004 200311 =63 9 + 9 =1(20032003+2003) ,,,,,172004 11811， =7+ =1 ,1792004 200427 = = 172005 3 六年级数学思维训练校本课程(上) 例2 111111111111计算:(1+)(1+)—(1+)() ，，，，，，，，，，454534563456 这道题虽然算式很长，但仔细 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 其中的数据，可以 发现组成这个算式的数并不多，我们可以把重复出现的数 用字母表示，这样可以简化题意，方便简算。 111111，，，设=A 1+=B，原来的算式可以转化成: ，453456 (1+A)B-BA ，， =B+AB-AB =B 9111所以本题的结果为:1+，= 4520 16755,167，计算:(1)55 (2)167 56168 35735735735722，，，，，，，，计算:(1+)×(+)-(1++)×() 55789789789789 4 六年级数学思维训练校本课程(上) 1111计算 ，，，...， 例3 1，22，33，419，20 这道题的加数很多，如果采用同分后计算公分母一定很大，这显然不切合实际。下面我们来分析一下: 11111111=1-，=，….= ,,1，222，32319，201920 111111111，，，...，=1-+,+…+ ,22319201，22，33，419，20 1=1- 20 19= 20 这种把一个分数拆成两个分数的差或和的方法，叫做 裂项法。但是需要指出的是，题中每个分数的分母是两个 连续自然数的乘积，如果不是，方法就不同了，裂项法的 主要计算方法可以用下面公式来概括。 1111,当a，b时, = () × a，babb,a 静 水深流 水静 水 11111静 ，，，，计算 1，44，77，1010，1313，16水静 静 111111计算(1+) ×(1-)×(1+)×(1-)ׄ×(1+)×(1-) 22335050 5 六年级数学思维训练校本课程(上) 第2讲 分数的计 算 思路索引 分数计算同整数计算一样，既有知识要求又有能力要求。法则、定 律、性质是进行计算的依据，要使计算快速、准确，关键是掌握运算技 巧，对算式认真观察，剖析算式的特点及各数之间的关系，巧妙、灵活 地运用运算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，这对启迪思维， 培养综合分析，推理能力和灵活的运算能力，都有很大的帮助。 521314计算:(2×-62.5%)?[(+6.375)?11] 1431215例1 本题有分数、小数，还有百分数，分数都不能化成有限小数， n 化成小数(或反过来)应该是基础的。显然只能用分数计算。8 熟练掌握分数与小数的互化，有利于计算迅速和正确 53321351179解 原式=(×-)?[(+)?] 143812815 5811179155353 =(-)?[×]=×= 782417956535 例2 111111计算:,(1-)×(1-)×(1-)ׄ×(1-),×,(1+)×(1+)234201223 11×(1+)ׄ×(1+), 42012 1看到题目，可能会想:套什么计算公式,发现(1-)与 2 1 22(1+)相乘，可能会想:是不是用a-b计算,本题看 2 似复杂，其实很简单，把每个小括号都算出来，就能找到 解题的途径了。 6 六年级数学思维训练校本课程(上) 1，2，3，？，20113，4，5，？，2013解 原式=×，乘号左边分子中2，3，4，？，20122，3，4，？，2012 12，3，4，？，20112，3，4，？，2011与分母中约分，留下;乘号右边分子2012 20133，4，5，？，20123，4，5，？，2012中与分母中约分，留下，从而得下式:2120132013原式=×= 201224024 124514计算:[75%-(4-3×0.25] ?[(2+1)?2-1] 3963215 1234567计算:(1-)×(2-)×(3-)×(4-)×(5-)×(6-)×(7-)2345678 89×(8-)×(9-) 910 7 六年级数学思维训练校本课程(上) 例3 1949，20121949，20121949，20121949，2012计算 +++…+ 22221949，19491950，19501951，19512011，2011 仔细观察，本题的分子相同，可以使每项的分子都为1;分母实质是两个相邻自然数相乘，这样我们就可以使计算 简便了。 111解 原式=1949×2012×(+++… 2221949，19491950，19501951，1951 1+ 22011，2011 111=1949×2012×[+++„ 1949(1，1949)1950(1，1950)1951(1，1951) 1 + 2011(1，2011) 11111111=1949×2012×[-+-+-+…+-] 19491950195019511951195220112012 111949×2012×(-) 19492012 1949，2012，(2012-1949)= 1949，2012 =2012-1949=63 静 水深流 水静 水251251计算:+ 静 2008，20092009，2010 水静 静 22222222(3，5，7，？，99)(-2，4，6，？，98)计算: 1，2，3，？，8，9，10，9，8，？，3，2，1 8 六年级数学思维训练校本课程(上) 第3讲 分数应用 题 思路索引 分数应用题是指用分数表示倍数关系的实际问题，分析解答时需要 弄清量率对应的关系，尤其当单位“1”确定之后，如何建立已知条件 与所求问题的量率对应关系，对解决问题更为重要。 在分析解答分数问题时，为了清晰地体现对应思想，常常采用画线 段图的方法，使量率间的对应关系较为直观地反映出来。在解答逆向运 用量率对应关系的分数问题时，常常将表示单位“1”的量设为X，列 方程解答，以使化逆为顺。 例1 某届“数学解题能力竞赛”活动初试共有12000名学生参加，分为初中、小学高 15年级、小学中年级三个组别。小学的两个组共占总人数的，不是小学高年级16 1组的占总人数的。那么小学中年级组参赛人数是多少名, 2 15 小学的两个组共占总人数的;不是小学高年级组的占16 1115 总人数的，即小学中年级级和初中组占总人数的;2216 1 与的“和”是小学高年级组和初中组与小学中年级组的22 倍， “减去单位1”就留下小学中年级组，所以小学中 年级组参赛人数是: 1517解 12000×(+-1)=12000×=5250(人) 16216 答 小学中年级组参赛人数是5250人。 例2 9 六年级数学思维训练校本课程(上) 小强和小林共有邮票400多张，如果小强给小林一些邮票，小强的邮票就比 66小林的少;如果小林给小强同样多的邮票，则小林的邮票就比小强的少。1917那么，小强原有几张邮票,小林原有几张邮票, 解法一 小强给小林后两人邮票数为13m和19m，小林给小强后两人邮票数为17n和11n，总数为32m=28n，所以总数是32×7=224的倍数(或28×8=224)。 13，14，17，16所以总数为448，m=14，n=16，小强原有=227(张)，小林原有2 19，14，11，16=221(张)。 2 632解法二 第一种状态:小强和小林的邮票总数是小林的:1+1-=;第二种状1919 6283219态:小强和小林的邮票总数是小强的:1+1-=;400多张?=400多张×， 17171932 2817400多张?=400多张×，显然400多张邮票是32和28的最小公倍数的倍1728 数。 [32，28]=224，小强和小林共有邮票224×2=448(张)。第一种状态:小林现有邮票: 32448?=266(张)，小强现有邮票:448-266=182张，第二种状态:小强现有邮19 28票:448?=272(张)，小林现有邮票:448-272=176张。比较两种状态小林现17 有邮票与小强现有邮票，发现都相差272-266=182-176=6(张)，说明原先两人的邮票数相差6张，根据两个数和与差的关系可求出小强和小林原有邮票的数量:所以小林原有邮票:(266+182-6)?2=221(张)，或者小林原有邮票:(272+176-6)?2=221(张)，小强原有邮票:(272+176+6)?2=227(张)。 答 小强原有邮票227张，小林原有邮票221张。 春风百货商店运到一批玩具，按原(出厂)价加上运费、营业费和利润出售，运 11费是原价的，营业费与利润的和是原价的，已知售价是161元，求出厂价多69 少元, 有甲、乙两筐香蕉，如果从甲筐取出10千克放入乙筐，则两筐相等;如果从两 13筐中各取出10千克，这时甲筐余下的比乙筐余下的多5千克。甲筐有香蕉103 多少千克,乙筐有香蕉多少千克, 10 六年级数学思维训练校本课程(上) 例3 12食堂运来一批大米，第一天吃了全部的，第二天吃了余下的，第三天又吃了53 3余下的，这时还剩下15千克。食堂运来大米多少千克, 4 31 最后剩下的15千克是“余下的”(1-=)，用这样的44 方法逆推可求出食堂运来的大米数量。 132解 15?(1-)?(1-)?(1-)=150(千克)。 435 答 食堂运来大米150千克。 静 水深流 水静 水 11静 小明买了一本故事书，第一天看了这本书的，第二天看了余下的多10页，53水静 已知剩下的比第一天看的多35页，那么这本故事书一共有多少页, 静 1甲、乙两个筑路队共有360人，甲队人数调出给乙队后，因工作需要，乙队又5 1调出给甲队。这时两队的人数相等。甲队原来有多少人,乙队原来有多少人, 4 11 六年级数学思维训练校本课程(上) 第4讲 分数应用题,一～ 例1 1一池水，第一天放出60吨，第二天放出65吨，剩下的水比原来这池水的4 少5吨。原来水池有多少吨, 这道题把原来这池水的吨数看作单位“1”，但具体数 量与分率之间的关系却不容易看出，关键是剩下的水不是 1正好占单位“1” 的。我们可以假设第二天少放出54 1吨水，那么剩下的水 就正好占单位“1” 的，两天共 4 1用去(60+65-5)吨的水，的对应分率就是(1,)。 4 1(60+65-5)?(1,) 4 3=120? 4 =160(吨) 答:原来水池有水160吨。 例2 五年级的图书窗内有文艺书、科技书、故事书共96本。已知科技书是故事 11书的，是文艺术的，三种图书各有多少本, 34 这道题出现了两个不同的单位“1”，因而 ，我们需 要将他转化成同一个单位“1”。把故事书看作单位“1”， 11 科技书的对应分率就是，文艺书的对应分率是? 33 14= 43 12 六年级数学思维训练校本课程(上) 111故事书的本数:96?(1++?) 334 2=96? 23 =36(本) 11科技书的本数:36×=12(本) 文艺书的本数:12?=48(本) 34 答:故事书有36本，科技书有12本，文艺书有48本 方法二:这道题也可以把科技书的本数看作单位“1”，故事书的对应分率 11就是1?=3文艺书的对应分率就是1?=4 34 1196?(1+1?+1?) 34 =96?8 =12(本)„„科技书的本数 1112?=36(本)„„故事书的本数 12?=48(本)„„文艺书的本数 34 答:(略) 在分数应用题中，如果遇到单位“1”不同时，就要 注意将各分率进行转化，将这些分率转化成同一个单位 “1”的几分之几或几倍，然后再去寻找分率与具体数量 之间的对应关系。 3一批稻谷放在两个粮库中，甲库所存稻谷的数量是乙库的，后来向甲库运8 进45吨，向乙库运进36吨，这时两库稻谷重量相等。甲库原有稻谷多少吨, 8某校四、五、六年级共有学生580人，四年级的学生人数是五年级的，五9 3年级的人数是六年级的。三个年级各有多少人, 4 13 六年级数学思维训练校本课程(上) 静 水深流 水静 水 静 东方小学六年级有23人、五年级有18人参加数学竞赛，结果五、六年级的 1水静 获奖人数相等，五年级未获奖人数比六年级少。两个年级共有多少人获奖, 3 静 1甲乙丙三人合作一批机器零件，甲做零件的歌数是乙丙的，乙做零件的个2 1数是甲丙的，丙做了450个，这批零件有多少个, 3 小明和小虎都是小集邮迷，他们两人共有邮票285张，现在小明拿出自已邮 1票的，现在小虎拿出15张，送到少年宫参加邮票展，两人剩下的邮票张数正5 好相等。两人原来有多少张邮票, 国庆节前，两位工人给某个城市装彩灯，他们工作了5天后，还剩下需装彩 1灯数量的，这时若再增加200只彩灯的装饰任务，才正好够两人一天的工作量。9 原来准备装彩灯多少只? 14 六年级数学思维训练校本课程(上) 第5讲 分数应用题,二～ 例1 2人民商场运来空调和冰箱共240台，其中空调占。后来有几台空调因质量问题5 5要退回厂家，这时空调台数占总数的。退回空调多少台, 13 根据题意题目中空调的数量在变化，而并向的数量是不变量。我们可以先求 出冰箱的台数; 2240×(1-) 5 3=240× 5 =144(台) 5根据“这时空调台数占总数的”，我们把现在空调与冰箱的总数看作单位13 5“1”，冰箱占总数的(1-)，这样我们可以求出现在空调与冰箱的总数: 13 5144?(1-)=234(台) 13 最后用原来空调与冰箱的总数减去现在空调与冰箱的总数，就是退回的空调 台数; 240-234=6(台) 答:退回空调6台。 例2 5由甲乙两个车间，驾车简单公认的人数是乙车间的。如果从乙车间调127 4人到甲车间，甲车间的人数是乙车间的。原来甲乙两个车间各有5 人多少人, 5根据题意，原来甲车间公认的人数是乙车间的，从乙车间调127 4人到甲车间，甲车间的人数是乙车间的，说明甲乙两个车间的人5 15 六年级数学思维训练校本课程(上) 数都发生了变化，甲乙两个车间的总人数是不变的。因此可以把甲乙两个车间的 5总人数看作单位“1”，则原来甲车间人数占两个车间总数的，同时把甲车5，7 44间的人数是乙车间的转化成现在甲车间的人数占两个车间总数的。根据54，5题目中所说“从乙车间调12人到甲车间”，可知甲车间现在的人数比原来的人数 45多12人，它的对应分率应是(-)就可以求出辆车间的总人数，再求4，55，7 两车间的人数就简单了。 4512?(-) 4，55，7 1=12? 36 =432(人)„两车间人数 5432×=180(人)„甲车间人数 5，7 432-180=252(人)„乙车间人数 答:原来甲车间人数有180人，乙车间的人数有252人。 在一些分数应用题中，题目中会出现一些变化量，造 成单位“1”的量无法确定，未结题增加了难度，这种情 况下，我们要善于抓住其中的“不变量”，抓住“不变量” 进行分析。通常分两种情况:(1)先求出不变量，然后利 用这个不变量作为“桥梁”进行解答;(2)、一步变量作 为单位“1”，把题目得分率全部转化成以不变量作单位’1” 然后在寻找对应关系进行解答。 1幼儿班图书角共有连环画与漫画书216本，其中连环画占。后来又卖来一3 23些连环画，这时连环画占图书总数的。后来又买来多少本连环画, 59 1修一条水渠，已修的米数是剩下的，如果再修50米，那么已修的米数就2 3是剩下的。这条渠去长多少米, 4 16 六年级数学思维训练校本课程(上) 静 水深流 水静 水7水果店运来苹果和梨共360箱，其中苹果占。后来由有运来几箱 苹果，静 12 水静 3这时苹果占两种水果总箱数的。又运来苹果有多少箱, 5 静 34师徒两人合作280个零件，徒弟做了自己人物的，师傅做了自己任务的，45这时还剩下64个零件没有做。师徒两人原来各需做多少个零件, 1甲、乙两校共有60人参加小学生数学竞赛，甲校参加人数的比乙校参加3 1人数的多6人，甲、乙两校各有多少人参加竞赛? 4 1某次会议，昨天参加会议的代表共2100人，今天男代表减少，女代表增10 1加了。今天共2016人出席会议，那么昨天参加会议的男代表共有多少人, 20 兄弟两人各有邮票若干张，现在爸爸又买回18张邮票。如果全部给哥哥，那么哥哥的邮票张数是弟弟的2倍;如果全部给弟弟，则弟弟的邮票张数是哥哥7的。两人原来各有多少张邮票, 8 17 六年级数学思维训练校本课程(上) 第6讲 列方程解分数应用 题 思路索引 用算术方法解应用题，虽然有利于提高思维的灵活性，但使用算术 方法解应用题时，总是把未知数置于特殊的位置，使解题思路和方法受 到很大限制，有时解题很困难。这时，我们可以选择用方程解答应用题， 用字母表示未知数，未知数直接参加列式和运算，思维直接，解法灵活。 用列方程的解题方法，往往能获得事半功倍的效果，这样取得成功的机 会会更多一些。 例1 2某工厂有职工980人，其中女职工的人数比男职工的多28人。这个工厂5 的男、女职工各多少人, 这题中有两个等量关系，男职工人数+女职工人数=980人， 2女职工人数=男职工人数×+28人。在解答分数应用题时,通常5 设单位“1”的量为x，这里可以设男职工人数为x，那么女职工 2人数就可以根据第二个数量关系表示为(x+28),再分别把男职5 工人数和女职工人数带入第一个等量关系，列出方程，求出结果。 2解:设这个工厂有男职工x人，则女职工有(x+28)人。 5 2X+x+28=980 5 21X+28=980 5 X=680 980,680=300(人) 答:这个工厂有男职工680人，女职工300人。 在用方程解答应用题时，我们应注意以下几点:(1) 一般设单位“1”的量为X;(2)找准等量关系列方程。 18 六年级数学思维训练校本课程(上) 例2 1商场运来空调与彩电共152台，卖出彩电的和5台空调空调后，剩下的空调11 与彩电台数正好相等。商场运来空调与彩电各多少台, 由于题目中彩电台数是单位“1”那么可以设彩电台数 为x，则空调台数为(152,x)台。根据“剩下的空调 与彩电台数正好相等”，我们可以列方程来解答。 解:设商场运来彩电x台，则空调台数为(152,x)台。 1X,x=152,x,5 11 10,=147,x 11 21x=147 11 X=77 152,77=55(台) 答:商场运来彩电77台，空调75台。 3师徒两人合作一批零件，完工时，徒弟做的零件个数比师父的少10个。4已知师傅比徒弟多做了50个零件，师徒两人个做了多少个零件? 1甲乙两桶油共重44千克，甲桶用去它的，乙桶又倒入10千克后，先在两5 桶油的重量相等，甲桶原有油多少千克, 19 六年级数学思维训练校本课程(上) 静 水深流 水 静 水 静 两筐橘子，甲筐比乙筐多21千克，若从甲筐取出18千克橘子给乙筐，则甲 4水静 筐重量是乙筐的。乙筐原有橘子多少筐, 7 静 甲乙两人共储蓄1000元，甲取出240元乙又存入80元，这时乙储蓄的钱数 1正好是甲的。原来乙储蓄了多少元钱, 3 11学校田径队中，女队员人数的等于男队员人数的。已知男队员比女队员35多6人，田径队中男、女队员各有多少人, 1六(1)班有学生50人，当男生的和5个女生离开后，剩下的男、女生人3 数相等，那么这个班原有多少个男生, 1某校上学期男、女生共有500人，本学期有的男生转学，而女生又增加了81。这学期共有学生490人。求这学期男、女生的人数。 6 20 六年级数学思维训练校本课程(上) 第7讲 百分数应用 题 思路索引 百分数应用题与分数应用题一样，其中的百分数表示的是两个量之 间的倍数关系，它的具体大小也取决于单位“1”的大小。因此，解答 白分数应用题也需要首先弄清谁是单位“1”，这同样是解决百分数应用 题的关键。 例1 六(1)班男生人数比女生人数多25,，女生数比男生人数少百分之几, 男生比女生多25%，就是男生比女生多女生的 25%。把女生看做单位“1”男生就是女生的 1+25%=125%。求女生人数比男生少百分之几，就是求 女生比男生少的人数占男生恩数的百分之几，应该用 女生比男生少的人数除以男生人数。 25%?(1+25%)=20% 解决求一个数是另一个数百分之几的应用题时，关键 是要区分清谁是谁的百分之几。 例2 某商店同时卖出两件商品，售价都是60元，但其中一件赚20%，另一件亏 本20%。这个商店卖出这两件商品是赚钱，还是亏本, 21 六年级数学思维训练校本课程(上) 要知道商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本，必须要求 这两件商品的成本是多少钱。一件商品赚了20%，是60元， 是把这件商品的原价看作单位“1”，60元的对应分率是 (1+20%)可以求出原价。 另一件商品亏本20%以后，是60元，是把这件商品的原价 看作单位“1”，60元的对应分率是(1,20%)可以求出原价。 60?(1+20%)=50(元) 60?(1,20%)=75(元) 75+50，60+60 答:这个商店卖出这两件商品是亏本了。 2果园里的苹果树的棵树比桃树多，桃树比苹果树的棵数少百分之几, 3 某商店同时卖出两件商品，售价都是100元，但其中一件赚25% ，另一件 亏本25%。这个商店卖出这两件商品是亏本了，还是赚钱了, 22 六年级数学思维训练校本课程(上) 静 水深流 水 静 水 静 商店卖出甲乙两种电脑的价格不同，如果甲种 电脑的价格提高20%，乙种 水静 电脑的价格降低10%，那么两种电脑的价格相同。原来甲种电脑的价格是乙种电脑的百分之几, 静 国家规定，个人存款应缴20%的利息税。张叔叔今天从银行取出一年前的存款，缴纳了18元的利息税，已知银行一年定期存储的年历率为2.25%。那么，张叔叔一年前存入银行多少钱? 商场购进一件商品，加上15%的利润作为定价。可是一直无人购买，只好降低定价的20%出售。结果亏了200元，商场购进这件件商品花了多少钱, 某商店进了一批茶叶，分一级品和二级品，二级品的进价比一极品便宜20%。按优质优价的原则，一级品按20%的利润定价，二级品按15%的利润定价，一级品茶叶比二极品茶叶每500克贵70元。一级品茶叶的进价是每500克多少元, 甲公司有600人，其中技术人员占5%;乙公司有400人，技术人员占20%。为了支援甲公司进行技术革新，现决定从乙公司派遣若干名技术员到甲公司传授技术，同时甲公司派出同样的人数到乙公司学习技术。巧的是，这样调遣以后，现在两个公司技术人员所占百分比相同。乙公司派遣了多少名技术人员到甲公司传授技术, 23 六年级数学思维训练校本课程(上) 第8讲 单位“1”的妙用 思路索引 1在分数、百分数应用题中，常常碰到“1”，例如:一本书读了，3 1又读了余下的，还剩下300页，问这本书共有多少页,像这样的题目3 出现了不同的两个单位“1”，对于同学们来说非常熟悉的，但“1”在 应用题中的作用，可能同学们还不太了解，在一些复杂的分数应用题中， 往往出现大小不同的单位的几个“1”，由于单位“1”的大小不同，所 代表的几分之几的数量也就不同，在解题时要特别注意，下面请同学看 看单位“1”在各种题目中的妙用。 例1 一组割草的人要把两片草地的草割掉，大的一片比小的一片大一倍，全体组员先用半天的时间割大的一片草地，到下午他们对半分开，一半仍留在大草地上，到傍晚时正好把大草地割完，另一半就到小草地上去割，到傍晚时还剩下一小块，这一小块由一人去割，正好一天割完，问这个组共有多少人, 这道题实际上暗含着每个的工作效率这个条件， 要求共有多少人，关键就是要求出一个人的工作效率， 也就是一个人一天的工作量，还要求出全组人一天的 工作量，而这些仿照工程问题是不难求出的。 1解:设大片草地的面积为单位“1”，则小片草地的面积为，根据条件可以2 124知道，一半组员半天割了，一天割了，全组组员一天割了，由此还可以知333 1111道，所剩下的一小块面积是,=，也就是一人一天的工作量为，全组的2366 24 六年级数学思维训练校本课程(上) 41人数就是?=8(人)。 36 例2 11姐妹两个人养兔100只，姐姐养的比妹妹养的多16只，求姐姐妹妹各310 养兔多少只, 11为了简化数量关系，我们假设姐姐养的等于妹妹养的， 310 那么姐姐比实际养的只数少了多少只呢,这两个人样的总只数 11该是多少呢,按照假设的数量分析:如果姐姐的与妹妹的 310 相等，则两人养的总只数应是:100,16×3=52(只)。根据上面 1的假设，题目就转化为“姐妹两人共养兔52只，姐姐养的等 3 1于妹妹养的，两人各养兔多少只,”这个问题就解决了。 10 解:设妹妹养兔的只数为“1”。 11(100,16×3)?(1+?) 103 3=52?1 10 =40(只) 100,40=60(只) 答:妹妹养兔40只，姐姐养兔60只。 想一想:如果以姐姐养兔的只数为“1”，如何解 答, 11饲养员把桃子的分给小猴，把比余下的少3个的桃子分给猩猩，再把余35 下的分给狒狒，这样狒狒分的桃子比猴子多21个，问共有多少个桃子, 把一根竹竿直插入水底，枝竿湿了40厘米，然后将竹竿倒过来再插入水底， 1这时竹竿湿的部分比它的少13厘米，求竹竿全长, 2 25 六年级数学思维训练校本课程(上) 解答分数应用题时要注意单位“1”，单位“1”不统 一时要转化单位“1”，每题的特点不同，所以适合当单 位“1”的量也不同，同时要注意量率对应。 静 水深流 水 静 水 14静 用一台拖拉机耕地225亩，第一天耕了总数的，第二天耕的是第一天的，53水静 两天一共耕了多少亩, 14静 思路点拨:的单位“1”是谁，的单位“1”是谁，如何转化单位“1”, 53 1四人合买一台彩电，甲付的钱是其他三人所付的钱数之和的，乙付的钱是2 11其他三人所付的钱数之和的，丙付的钱是其他三人所付钱数之和的，丁付34650元，这部彩电多少元,甲、乙、丙三人各付多少元, 思路点拨:把部分量占部分量的几分之几转化为部分量占总量的几分之几。 34桃数棵数的和梨数棵数的相等。两种果树共有141棵，两种树各有多少棵, 59 思路点拨:等式我们可以指定任总一方为单位“1”，再求另一个的分率。 3121有甲、乙两个数，甲数的等于乙数的，又知道甲数的比乙数的多4，求8545甲乙两个数各是多少, 思路点拨:先转化单位“1”，找到量率对应再求单位“1”。 26 六年级数学思维训练校本课程(上) 第9讲 倒推法解 题 思路索引 有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的要求一步一步地列出算 式求解，过程比较复杂，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加 与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，这种思考问 题的方法叫倒推法。 例1 李大爷提篮去卖蛋，第一次卖鸡蛋全部的一半又半个，第二次卖了余下的一半又半个，第三次卖了第二次余下的一半又半个，第四次卖了第三次余下的一半又半个。这时，鸡蛋都卖完了。李大爷篮中原有鸡蛋多少个, 分析与解 最后篮内鸡蛋的个数为0个 第三次卖蛋后余下的鸡蛋个数 1(0+)×2=1(个) 2 第二次卖蛋后余下的鸡蛋个数 1(1+)×2=3(个) 2 第一次卖蛋后余下的鸡蛋个数 1(3+)×2=7(个) 2 原有鸡蛋的个数 1(7+)×2=15 2 1111解:{【(×2+)×2+】×2+}×2=15(个) 2222 答:李大爷原有鸡蛋15个。 例2 李白买酒:“无事街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店 27 六年级数学思维训练校本课程(上) 和花，喝光壶中酒。”问壶里原有多少酒, 根据倒推法想:喝光壶中酒，第三次见花前应有酒多少; 第三次遇店前应有酒多少，依次类推则有: 解:【(1?2+1)?2+1】?2 1=【?2+1】?2 12 7=(斗) 8 7答:壶中原有酒斗。 8 一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米。这捆电线原有多少米, 113只猴子吃栏里的桃子，第一只猴子吃了，第二只猴子吃了剩下的，第33 1三只猴子吃了第二只剩下的，最后篮里还有6只桃子。求篮里原有桃子多少4 只, 28 六年级数学思维训练校本课程(上) 静 水深流 水 静 水 静 11一堆西瓜，第一次卖出总个数的又4个，第二次卖出余下的又2个，第42水静 1三次卖出余下的又2个，还剩下2个，这堆西瓜共多少个, 2静 思路点拨:画线段图，从结果出发，找出每次所剩下数量反对应分率是多少，依次求出单位 有A、B、C、D、E五筐苹果，各筐苹果的数量不等，如果把B筐苹果的一 111半搬入A筐，C筐苹果的搬入B筐，D筐苹果的搬入C筐，E筐苹果的搬346入D筐，最后五筐苹果都是30千克，每筐苹果原来多少千克, 思路点拨:用表格法，从结果出发依次求出每筐原来数量。 11修一条路，第一天修了全长的还多2千米，第二天修了余下的少1千米，23 1第三天修了余下的还多1千米，这样还剩下20千米没有修完，求公路的全长, 4 11甲乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓运出到乙仓后，又从乙仓运出到44甲仓库，这时甲、乙两仓的粮食相等。原来甲仓的粮食是乙仓的几分之几, 29 六年级数学思维训练校本课程(上) 第10讲 对应法解 题 思路索引 对应的思想方法是解题时经常用到的一种思考方法，所谓“对应” 就是在两类事物之间建立某种联系，以实现未知向已知的转化，而在六 年级我们则主要研究分数、百分数应用题中的“量”和“率”的对应关 系。 例1 3货车速度是客车速度的。两车同时分别由甲、乙两站相对行驶，在离中点4 6千米处相遇，求两站相距多少千米, 3已知货车速度是客车的，可知货车行的路程也是客车所 4 3行路程的。两车相遇，客车比火车多行12千米即(6×2)千 4 3米，也就是相当于客车行驶路程的(1,)。 4 这样找到了对应关系，就可以先求出客车行驶的路程，再 求出货车行驶的路程，最后求出两站相距多少千米, 33解:6×2?(1,)×(1+) 44 131=12×× 44 =84(千米) 答:两站相距84千米。 例2 30 六年级数学思维训练校本课程(上) 1小青看一本书，第一天看的页数比总数的多16页，第二天看的页数比总8 1数的少2页，还余下88页。这本书共有多少页, 6 11 、都是对“总页数”来讲的，所求的数量“总86 11 页数”被看做“1”，而(1--)的对应量是(88-2+16) 86 页。 11解:(88-2+16)?(1--) 86 17=102? 24 =144(页)。 答:这本书共有144页。 小红看一本科技书，看了三天，剩下66页。如果用这样的速度看4天，就 2剩下全书的。这本书有多少页, 5 1有两桶油共44千克，若从第一桶里倒出，第二桶里倒进2.8千克，则两5 桶内的油相等。原来每只桶各装油多少千克, 分数乘、除法应用题中要注意题中数量与分率的对应 关系，合理利用画线段及表格法来解决倒推还原题型。 31 六年级数学思维训练校本课程(上) 静 水深流 水 静 水 静 1图书馆有科技书和文艺书共630本，其中科技书占，后来又买来一部分科5水静 3技书，这时科技书占全部的，求又买来科技书多少本, 10静 思路点拨:文艺书的数量变化没有,通常如果有不变量时采用的方法是巧抓不变量。 11一堆西瓜，第一次卖出总个数的又4个，第二次卖出余下的又2个，第42 1三次卖出余下的又2个，还剩下2个，这堆西瓜共多少个, 2 思路点拨:画线段图，从结果出发，找出每次所剩下数量反对应分率是多少，依次求出单位“1”。 42某校少先队员中，女队员占，男队员比女队员的多40人，女队员有多少人, 73 思路点拨:先转化单位“1”，再找出40所对应的分率是多少。 34一条公路，第一周修了全长的多300米，第二周修了全长的少40米，98正好修完。这条公路长有多少米, 32 六年级数学思维训练校本课程(上) 第11讲 工程问 题 思路索引 工程问题是将一般的工作问题分数化，换句话说是从分率的角度研究 工作总量、工作时间(完成工作总量所需的时间)、工作效率(单位时 间内完成的工作量)三者之间关系的问题。它的特点是是将工作总量看 成单位“1”，用分率表示工作效率，对做工的问题进行分析解答。 工程问题的三个基本数量关系式是: 工作效率×工作时间=工作总量 工作总量?工作时间=工作效率 工作总量?工作效率=工作时间 例1 一项工程，甲、乙合做需6天完成，乙、丙合做需9天完成，甲、丙合做15天完成，现在甲、乙、丙三人合做需要多少天完成, 先求出三人合做一天完成这项工程的几分之几，再求三人合做需要多少天完成, 先求出三人合做一天完成这项工程的几分之几，再求三人合做 需要多少天完成, 11125解 1?[(++)?2]=5(天) 691531 25答 甲、乙、丙三人合做需要5(天)完成。 31 例2 甲、乙共同承包了某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需54天完成。现在由甲先做1天，乙接着做2天，再甲做1天，乙做2天„„依次轮换，直到将这项工程全部做完。如果这项工程的总承包价为5400元，那么，按照工作量计算，乙要比甲多得到多少元工程的承包款, 33 六年级数学思维训练校本课程(上) 1甲单独做一天完成全工程的，乙单独做一天完成全工 36 1程的。甲做一天，乙做两天为一周期，可完成 54 11773+×2=，1?=15，他们要做15个周期，还 36541081087 71剩下1-×15=没完成，正好让甲再做1天完成，所以 10836 甲要做16天，乙要做15×2=30天刚好完成，即甲完成总 516430工程量的=，乙完成总工程量的=，所以甲: 369549 545400×=2400(元)，乙:5400×=3000(元)，所以 99 3000-2400=600(元)。 答 按照工作量计算，乙要比甲多得到600元工程的承包款。 做一件工程，甲单独做需要12小时完成，乙单独做需要18小时完成，甲、乙合做1小时后，然后由甲工作1小时，再由乙工作1小时„„两人如此交替工作，完成任务还需多少时间, 甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。在晴天，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要15天;在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要下降10%，结果两队同时完成这项工程。那么，在 施工 文明施工目标施工进度表下载283施工进度表下载施工现场晴雨表下载施工日志模板免费下载 的日子里，雨天有多少天, 34 六年级数学思维训练校本课程(上) 例3 一份稿件，甲单独打字需6小时完成，乙单独打字需10小时完成。现在甲单独打若干小时后，因甲有事改由乙接着打完，共用了7小时，那么甲打字用了多少小时, 1773乙7小时共打字×7=，这样就差1-=的稿件，因此 10101010 111甲每小时比乙多打全部稿件的-=。 61015 311解 ?=4(小时)。 10152 1答 甲打字用了4(小时)。 2 静 水深流 水 静 水 静 甲、乙两队合作20天可以完成一项工程，如果两队合作8天后，乙 8水静 队再单独做4天，还剩下这项工程的没有完成。求甲、乙两队工作15 效率之比。 静 有甲、乙两项工程，张师傅单独完成甲工程需要9天，单独完成乙工程需要12天;王师傅单独完成甲工程需要3天，单独完成乙工程需要15天。如果两人合作完成这两项工程，最少需要多少天, 35 六年级数学思维训练校本课程(上) 第12讲 比的意义和应 用 思路索引 比有奇妙的作用，在许多分数、百分数应用题中，如果恰当运用比 的知识，你会真正理解什么是“事半功倍”。在这一讲，我们一起研究 这方面的知识。 例1 两只相同的杯子中装满盐水，一只杯子中盐与水的比是1:2,另一只杯子中盐与比是1:5 。若把两杯盐水混合在一起，这时盐与水的比是多少, 分析与解 要求混合液中的盐与水的比是多少，只要求出混合液中盐与水分别是多少就行了，因为两只杯子相同，所以设每只杯子中的盐水为1，则第一 1215支杯子中的盐占，水占;第二只杯子中的盐占，水占。两只1，21，21，51，5 111253杯子中的盐水混合后，盐为+=，水为+=。所以，混合液1，21，521，21，52中的盐与水的比为: 1125(+):(+) 1，21，51，21，5 13=: 22 =1:3。 答:混合后，盐与水 的比为1:3。 求两个量的比时，首先要能正确分析与计算每个量所 占的份数或分率，然后再进行解答。 例2 11如右图，原形中的阴影部分面积占圆面积的，占正方形面积的，三角形43 11中阴影部分的面积占三角形面积的，占正方形面积的。圆，正方形、三角形54 36 六年级数学思维训练校本课程(上) 面积的最简整数比是多少? 分析与解 要求圆、正方形、三角形面积的最简整数比是多少，只需知道这三个图形的面积各是多少就行了，因为圆和三角形都与正方形的面积有关，我们就设正方形的面积为12，那么圆的面积就是:121111×?=16;三角形的面积为: 12×?=15。所以这三个图形的面积比就3445 1111是:(12×?):12:(12×?)=16:12:15 3445 在求几个量的比时，我们可以先假设其中一个量等于几， 然后根据条件计算出其他量，再求比，这样解决问题比较 容易。 六年(1)班男、女人数的比是5:4，六年(2)班男、女人数的比是2:1， 两班人数相等。求六年(1)班男男生与六年(2)班男生的人数比。 1如图，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的，相当于小长方7 1形面积的。这两个长方形的面积比是多少, 4 37 六年级数学思维训练校本课程(上) 例3 小丽读一本书，已读的页数和未读的页数 的比是 1:5 ，若再读45页，则已读的页数和未读的页数的比是3: 5。这本书共有多少页, 分析与解 根据“已读的页数和未读的页数的比1:5”可知，把未读的页数看做1份，未读的页数看5份，总页数就是1+5=6份，已读的页数占总页数 1的。若再读45页，则已读的页数和未读的页数的比是3: 5.即把这时已读1，5 的页数看做3份，未读的页数看做5份，总页数就是3+5=8份，这时已读的页数 3315占总数的。45页占总页数的-=，这本书共有的页数是: 3，53，51，524 3145?(-) 3，51，5 5=45? 24 =216(页) 答 :这本书共有216页。 静 水深流 水 静 水 静 1有大小两个长方形，大长方形的长比小长方形的长多，而小长4水静 1.方形的宽比大长方形的宽多。求这两个长方形的面积比 10静 24六年(1)班男人数的与女生人数的相等，已知男生比女生多5人，这35 个班男、女生各有多少人, 38 六年级数学思维训练校本课程(上) 第13讲 按比例分 配 思路索引 把一个总数按一定的比来分配，可以把各部分数看作份数关系，先 求出一份;也可以把各部分烽的比转化为总数的几分之几，直接求总数 的几分之几是多少。前一种方法用整数除法、乘法解决问题，后一种方 法用分数乘法解决问题。 例1 有一块长方形的土地，测得周长为60米，. 长与宽的比是3:2.求这块地的 面积。 求长方形的面积必须知道长与宽，已知长方形的周长 为60米，那么，长与宽的和就是:60?2=30(m);它的长 32 就是:30×=18(米);它的宽就是:30×=122，32，3 (米。)至此，长方形的面积很容易求出。 60?2=30(m) 330×=18(米) 2，3 330×=18(米) 2，3 18×12=216(平方米) 答:这块长方形土地的面积是216平方米。 此题的解题关键是先求出长与宽的和，然后在按比例分配 球出长与宽，进而求出它的面积。 39 六年级数学思维训练校本课程(上) 例2 西园村挖一条水渠，全长420米，第一、二两队所挖米数比是3:4，第二、三两队所挖米数比是6:7。三个队各挖了多少米, 分析与解 我们注意到，这题给出两个比，两个比中都含有第二队，但第二队在这两个比中所占的份数却不同。因此，要解决问题，必须首先把这两个比进行统一，转化成连比。这里利用比的基本性质，把两个比中的第二队所占的份数转化为相同。第一队:第二队:第三队 3:4=(3×3):(4×3)=9:12 6:7=(6×2):(7×2)=12:14 这样，我们可以得到第一、二、三队所挖的米数比为9:12:14，下面只需将420米按比例分配就行了。 9+12+14=35 9420×=108(米) 35 12420×=144(米 ) 35 14420×=168(米 ) 35 答:第一队挖了108米，第二队挖了144米 ，第三队挖了168 米 。 这道题的解题关键是:应用比的基本性质，把三个队 的米数之间的联系有两个独立的比转化成一个连比。 长方体的棱长总和为220厘米，已知长、宽、高的比为5:4:2.这个长方体的体积是多少立方厘米, 人民路小学六年级的学生分三批去幼儿园参观海狮表演，第一批与第二批的人数比为5:4，第二批与第三批的人数比为3:2.已知六年级共有学生210人，第二批有多少人, 40 六年级数学思维训练校本课程(上) 例3 1A、B两桶油共重90千克，若把A桶中油的倒入B桶，则两桶油的重量比4 是1:2. A 、B两桶油原来各多少千克, 1分析与解 把A桶油的倒入B桶，两桶油的总重量没有变，还是90千4 1克。因此可以按比例分配求出现在A桶油的重量:90×=30(千克)。A桶1，2 13倒出后是30千克，即30千克占A桶油原有油的，这样可以倒推A桶原有44 油的重量。则就可求出B桶油的重量。 190×=30(千克) 1，2 330?=40(千克) 4 90,40=50(千克) 答 :A桶原有油40千克，B桶原有油50千克。 解决这道题的关键是抓住两桶油的总重量不变，先求出A 桶油现在的重量，再倒推出原有油的重量。 静 水深流 水静 水 静 水果批发部运来苹果、橘子、和香蕉三种水果。出售时，苹果、橘子、和香 水静 蕉每千克的价格比为4:5:6.已知上周这三种水果售出数量比是3:2:4，又知苹果共卖得2160元，这个批发部上周出售水果的收入是多少元, 静 思路点拨:解答这个题的关键是根据三种水果的单价比和数量比，先求出总价比，进而求出总价。 3大、小两筐苹果共60千克，把大筐苹果重量的放入小筐后，大、小两筐7 苹果的重量比为2:3。大、小两筐原来各装多少千克苹果, 41 六年级数学思维训练校本课程(上) 第14讲 利润和利 息 思路索引 常用的数量关系: (1)成本利润问题: 定价=成本+利润;利润=售价(定价)-成本;利润率=(售价-成本) ?成本 (2)利息、利率之间的关系: 利息=本金×利率×期数; 利息和=本金×(1+利率×期数) 月利息即月息，月息是以月计算。年利息即以年计算 例1 某超市购进一批练习本，按30%的利润定价。当出售这批练习本的80%后， 为了尽早销完，超市把这批练习本按售价的一半出售。那么销完后超市实际获得 的利润是多少? 把这批练习本的总成本看作单位“1”，丁家就是1× (1+30%)=1.3，其中80%的卖家是1.3×80%，20%的卖价 1是1.3××20%。由此可求得利润率。 2 解:售后获得的总价钱是成本的百分之几, 1(1+30%)×80%+(1+30%)××20%=117% 2 实际获得的利润率的百分数为:117%-1=17% 答:售完后超市实际获得利润是17%。 例2 某商店以每双65元购进一批凉鞋，售价为74元，卖到剩下5双时，除成本 外还获利440元，那么购进的这批凉鞋共有多少双, 42 六年级数学思维训练校本课程(上) 用假设法解。假设还剩下的5双也都卖出了，那么共应该获 得760元，再用获得利润的总数除以每双应得的利润，就可以求 出已经卖出的双数，再加上5双，就是进这批凉鞋共有的双数。 解法一 (440+65×5)?(74-65)+5 =765?9+5 =85+5 =90(双) 解法二 (用方程解) 设已经卖出x双，根据题意: (74-65)x=440+65×5 9x=765 X=85 85+5=90(双) 答:这批凉鞋共有90双。 某种电视机按20%的利润定价，然后按8.8折卖出，共获得利润126元。那 么该电视机的成本为多少元, 某种商品以每个5元利润卖出6个的钱数，与按每个20元利润卖出5个的 钱数一样多。那么这种商品的成本是多少元? 43 六年级数学思维训练校本课程(上) 例3 某出版社出版甲种书，今年每册书的成本比去年增加10%，但是仍保持原售价，因此每本书盈利下降40%，但今年的发行册数比去年增加80%。那么，今年发行甲种书所获得的总盈利比去年增加的百分数为多少? 用假设法解:为了便于计算，设去年成本为100元，则今 年的成本110元，而110,100=10(元)就是盈利下降 的 40%，那么原来盈利为10?40%=25(元),又因今年的发行 册数比去年增加80%，同理，设去年以100册计其盈利为 25×100=2500(元),今年售出为100×(1+80% )=180(册), 盈利为(25-10)×180=2700(元)。 解:今年盈利比去年增加的百分数为: (2700-2500)\2500×100%=200\2500×100%=0.08×100%=8% 答:今年发行甲种书获得的总盈利比去年增加的百分数为8%。 静 水深流 水静 水 静 有一种商品,若按定价出售,每个可获得45元的利润。现在按价打八五折出水静 售8个所获得的利润,与按定价每个减价35元出售12个所获得的利润一样多。那么这种商品每个定价为多少元, 静 有一批商品,按期望获得50%的利润定价，结果只售出70%的商品。为了早售完剩下的商品，超市决定按定价打折销售。这样所获得的全部利润是原来所期望利润的82%,那么该商品的折扣为几折? 44 六年级数学思维训练校本课程(上) 第15讲 巧算周 长 例1 如右图，图中有三个半圆，已知最大的圆的半径是10厘米，求阴影部分的 周长。 分析与解 图形的周长就是图所有边的长度和。这里阴影部分的周长就是这三个半圆的弧长之和，可以设这两个小半圆的直径分别是a、b，那么这两个半圆弧 11111的长度分别是a、b，而a+b=×,,,,,22222 1(a+b);大半圆的弧长是×10，从图中可以看出，a+b=10，也就是两个小半,2 圆的弧长的和正好是最大半圆的弧长。所以这里阴影部分的周长正好等于一个直 径为10厘米的圆的周长。 3.14×10=31.4(厘米) 答:阴影部分的周长是31.4厘米。 求图形的周长，首先需要弄清图形的周长包含哪些线的长度，然后分别求出这些线的长度，再求和。 例2 把三根底面半径为4厘米的圆柱形钢管用铁丝捆紧，捆一圈至少要用多少 厘米铁丝,(接头处不算) 分析与解 要把这三根 钢管捆紧，只能把它们捆成 “品”字形(如右图)。我们 注意到，捆这三根钢管的一 圈铁丝中，有的部分是直的， 有的部分是曲的。计算时， 应该把它们进行分类，曲线 部分一类，线段一类，可以 在图中作出辅助线帮助解 45 六年级数学思维训练校本课程(上) 决，如图: 现在我们可以看出，图中曲线部分共有三段，正好和成一个正圆周长;线段 也有三条，每条线段的长度等于一个圆的直径。所以: 3.14×4×2+4×2×3=49.12(厘米) 答:捆一圈至少要用铁丝49.12厘米。 在计算周长时，必要时，我们可以把组成周长的线先进行分 类，再计算就比较方便了。 求右图中阴影部分的周长。(单位:厘米) (大半圆直径8厘米) 把两根底面半径为4厘米的圆柱形钢管用铁丝紧紧捆在一起，捆一圈至少要用多 少厘米的铁丝, 例3 如右图，大长方形是由5个周长为60厘米的完全一样的小长方形组成的，求大长方形的周长, 分析与解 要求长方形的周长，通常需要先找出长方形的长和宽。从图中可以看出，2个小长方形的长等于3个小长方形的宽，再根据每个小长方形的周长是60厘米，可以求出小长方形的长与宽。 46 六年级数学思维训练校本课程(上) 因为2个小长方形的长等于3个小长方形的宽，所以小长方形的长于宽的比为3:2，于是可以运用比的知识来解决 。 60?2?(3+2)=6(厘米) 6×3=18(厘米)„„小长方形的长 6×2=12(厘米) „„小长方形的宽 大长方形的周长就是: (18×2+18+12)×2=132(厘米) 答:大长方形的周长是132厘米 静 水深流 水静 水 静 将4个大小一样的啤酒瓶如右图用绳子捆起来。已知啤酒瓶的底面直水静 径为8厘米 ，捆两圈至少需要多少厘米长的绳子,(接头不计) 静 下图是由1个正方形和8个大小相同的长方形平拼成的大正方形。已知小正方形的边长是40厘米，大正方形的面积是6400平方厘米。那么每个小长方形的周长是多少厘米, 47 六年级数学思维训练校本课程(上) 第16讲 智求面 积 例1 下图中阴影部分甲的面积比乙的面积多43平方厘米，AB=20厘米， CA垂直于AB ，求 CA 的长。 分析与解 因为甲乙的形状都是不规则 的图形，无法求出他们的面积，我们知道如果两 个量加上或减去同一个量他们的差不变。根据这 一原理，我们把甲乙同时加上空白部分，甲的面 积+空白部分的面积=三角形的面积;乙的面积+ 空白部分的面积=半圆的面积。因为 甲的面积比 ，所以三角形的面积比乙的面积多43平方厘米 半圆的面积页多43平方厘米。 2012半圆的面积:3.14×() × =15722 (平方厘米) 三角形的面积=157+43=200(平方厘米) CA的长就是:20×2?20=20(厘米) 如果两个不规则图形的面积差，我们可以把这两个不规则图形同 时加上一个相等的部分，使之成为两个规则图，这样方便解答。 例2 如右图，已知图中三角形的面积是20平方厘米，求阴影部分的面积, 分析与解 解法一:我们很清楚，阴影 部分的面积应该等于半圆的面积减去三角形的面 积，三角形的面积是已知的，克半圆的面积怎样 求,显然用常 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 方法不能求出的，我们可以先 找出三角形面积与圆之间的面积关系 ，然后计算 出半圆的面积。 48 六年级数学思维训练校本课程(上) 12设半圆的半径为a，则三角形的面积是:a×2×a×= a ，半圆的面积为:2,11222,,a;因此半圆的面积是三角形面积的:a?a= 。下面我们可以根据,,222 这个关系计算出半圆的面积: , 20×= 31.4(平方厘米) 2 所以阴影部分的面积就是:31.4-20=11.4(平方厘米) 解法二:在计算圆的面积时，我们通常需要知道半径，但在特殊情况下，我们也可以直接利用半径的平方来计算圆的面积。从图中可以看出，三角形的底就 12 是半圆的直径，高就是半圆的半径，于是三角形的面积就是:2r×r ×= r，2 2 也就是 r=20.所以，半圆的面积就是:3.14×20?2 =31.4(平方厘米 ) 阴影部分的面积就是:31.4-20=11.4(平方厘米) 计算图形面积时，有时根据题目中的条件无法直接求 图形的面积，这时，我们可以先用字母表示，求出图形之 间的面积关系，然后根据图形关系计算图形面积;有时也 可以利用半径的平方计算面积。 如右图，长方形ABCD的长是10厘米，宽是8厘米已知阴影部分甲的面积比乙的面积少20平方厘米，求DE的长。 已知右图中半圆的面积是6028平方厘米，求阴影部分的面积。 49 六年级数学思维训练校本课程(上) 静 水深流 水静 水右图中正方形ABCD的面积是20平方厘米，求环形部分的面积 静 水静 静 右图中，两块阴影部分的面积相等，三角形ABC是直角三角行，BC是直径，长40厘米。求AB 的长度。 右图中，平行四边形 ABCD的边BC长8厘米，直角三角形BCE的直角边CE长6厘米。已知两块阴影部分的面积和比三角形EFG的面积大8平方厘米。求CF 的长度。 右图中阴影部分的面积是20平方厘米，求环形的面积 。 50 六年级数学思维训练校本课程(上) 51 六年级数学思维训练校本课程(上) 52