向量的线性运算
向量的线性运算 一、向量
1、定义:既有大小，又有方向的量;向量的大小叫做向量的模。 2、平行向量:方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量。 3、相等向量:长度相等且方向相同的向量。
4、相反向量:长度相等且方向相反的向量。
二、向量的加法
1、三角形法则
各向量“首尾相连”，和向量由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点，简记“首尾相连，首是首，尾是尾”。
AB+==a+b BCAC
2、平行四边形法则
OABC以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作，则以O为起点
,,,,OC的对角线就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量 加法的平行四边形法则。
ACBCAC+== a+b
注;对于零向量与任一向量a，规定a+0=0+a=a
题型分析:
例1 化简:(+)+=(+)+=+= CDBCBCCDACCDABABAD练习1 化简:+(+)=(+)+=+=0 CBCMBCCMBCBCMBMB
练习2 化简:(+)+(+)+ BOBCOMABMB
练习3 下列四式不能化简为的是( ) AD
A(( +)+ B(( +)+( +) CDBCBCCMABMBAD
C( +- D( -+ OAOCCDMBBMAD
二、向量的减法
任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0，所以，如果a、b是互为相反的向
量，那么a=-b，b=-a，a+b=0，a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
,,,,,,,,a ,,,,a O OA,OB,BA,已知a、b，在平面内任取一点O，作a，b，则a-b， b b a,b 即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。 B 注:差向量“箭头”指向被减数
题型分析:
,,,,,,,,,,,,,,,,ACDB, ABCDAB,AD,例1在 中，a，b，试用a、b表示向量.
,,,,
AC,解:由向量加法的平行四边形法则可知a+b，
,,,,,,,,,,,,
DBABAD,,, 由向量减法可知a-b。
AC例1化简(-)+(-)= CDABBEDE
,,,,,,,,,,,,
ABACDB,,练习1 化简
,,,,,,,,,,,,,,,,
ABBCADDB，,,练习2 化简
,,,,,,,,,,,,
例2在平行四边形ABCD中，等于( ) BCCDAD，,A
,,,,,,,,,,,,,,,, BABDAB( B( C( D( AACD
,,,,DCD,练习3如图是的边上的中点，则向量(A ) ,ABCDABC D B ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1111,,BCBA,，BCBABCBA,BCBA，A. B. C. D. 2222三、向量的数乘
1(定义:实数,与向量a的积是一个向量，称为向量的数乘，记作,a，它的长度与方向规定如下:
(1)|,a|=|,||a|;
(2)当,>0时，,a的方向与向量a的方向相同;当,<0时，,a的方向与a的方向相反.
2( 特别地，当,=0或a=0时，,a=0;当,=-1时，(-1),a=-a，就是a的相反向量. 3( 实数与向量的积的运算律
设,、,为实数，那么
(1),(,a)=( ,,)a;(结合律)
(2)(,+,)a=,a+,a;(第一分配律)
(3),(a+b)= ,a+,b.(第二分配律)
(4)(-,)a=-(,a)= ,(-a)，,(a-b)=,a-,b.
例1(1)3(a+b)-2(a-b)-a; (2)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).
=3a+3b-2a+2b-a =2a+3b-c-3a+2b-c
=5b =-a+5b-2c
OA练习1已知任意两个非零向量a、b，且=a+b，=a+2b , =a+3b，判断A、B、
C三点之间的位置关系.
解:因为=a+2b-(a+b)=b，
=a+3b-(a+b)=2b，
于是，
所以A、B、C三点共线.
练习2平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且=a，=b，试用a、b表示、、、
.
解:=a+b，=a-b,
=(a+b)=a-b
111
222 (a-b)= a-b; ,,,,,,,,,111MCAC,222=a+b;
,,,,,,,,,,,,,111MDMBDB,,,,222=-a+b.
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