双欧法在克服伞-弹系统欧拉方程奇异性中的应用

双欧法在克服伞-弹系统欧拉方程奇异性中的应用 双欧法在克服伞-弹系统欧拉方程奇异性中 的应用 4 航天返回与遥感 SPACECRAFI'REC0?RY&删G 第24卷第3期 2O03年9月 双欧法在克服伞一弹系统欧拉方程奇异性中的应用 周伟张晓今寇保华秦子增 (国防科技大学航天与材料学院,长沙410073) 摘要文章针对伞弹系统欧拉方程奇异性,利用正,反欧拉方程精华区,奇异区呈倒挂的原理,建立了 一 套与飞机不同的反欧拉系统.将这套双欧系统应用在克服伞一弹系统欧拉方程奇异性中,取得了满意的 结果.同时对双欧法与四元数法计算结果进行了对比验证,从而更加清楚地看到了四元数法的方法缺陷和 不足,为进一步能将双欧法应用于伞一弹系统六自由度弹道实时仿真进行了有益的尝试. 关键词伞一弹系统双欧法正,反欧拉方程奇异性精华区奇异区四元数法 中图分类号:V448文献标识码:A文章编号:1009—8518(2003)03—0004—04 TheApplicationoftheDual-eulerMethodfor OvercomingtheSingularityofEulerEquation inParachute-MissileSystem ZhouWeiZhangXiaojinKouBaohuaQitaZizeng (NationalUniversityOfDefenceTechnology,Chan铲ha4113073) AbstractMakinguseoftheinverserelationshipbetweentheordinaryandthereversedEulereq uationsandthink— ingofthesingularityofEulerequationinparachute—missilesystem,thispapergivenasetofreversedEulerequationsthat differentfromtheplane'S.Itgetsasatisfyingresult,afterusingthedual—Eulermethodinovercomingthesingularityof Eulerequationinparachute—misslesystem.Meanwhile,comparethecalculatedresultofdual—Eulermethodththe quatemionmethod,itiscleartoseetheshortageofquatemionmethod,andithasagoodtryinthe simulationofsixdime— siontrajectoryequationusingthedual—Eulermethod. KeyWordsParachute?-misslesystemDual?-EulermethodOrdinaryandreversedEulerequ ationsSingularity EssenceareaSingularareaQuaternionmethod 1引言 某些空地弹药在空中有一段带伞的飞行过程, 以实现减速和姿态调整,如反跑道航弹,照明弹和末 收稿日期:2003—04—25 敏,末修弹等.由于伞和弹的气动力(矩)的作用,伞 一 弹系统中伞与弹的姿态角会有较大的变化,如反 跑道航弹在投放时的初始俯仰角较小,开伞后伞一 弹系统中弹的俯仰角逐渐增大而趋于一90o;末修弹 在抛伞后作末段弹道修正飞行时,其偏航角也有可 能发生较大的变化.飞行器的姿态可以用3个欧拉 角来确定,这3个转角是绕着3根转轴且按一定的 顺序旋转得到的,这种姿态确定方法简单直观且易 I一…一1m瞳?匝 周伟等:双欧法在克服伞一弹系统欧拉方程奇异性中的应用5 于理解,在航空领域广泛采用的是偏航角,俯仰角 0和滚转角y.但是求解欧拉角的欧拉方程具有奇 异性.所谓欧拉方程的奇异性是指:它有一对奇异 点,使得在趋近奇异点的区域内产生解算误差,而在 奇异点上无法解算.在欧拉方程奇异性问题的解决 上有过多种方法,如单欧法,广义欧拉法,方向余弦 法和四元数法等.在这些方法中,比较好的也是工 程实际中经常采用的是四元数法.虽然用四元数代 替欧拉角可以避免奇异性的产生,但它仍然有原理 性缺陷,积分容易产生方法误差,另外四元数在飞行 器姿态的描述上也远不如欧拉角易于理解. 20世纪7O年代末,中国的科技工作者提出了 解决欧拉方程奇异性的双欧法,并从理论上对此方 法进行了深入的论证(文中不再赘述).研究和计算 结果表明,应用双欧法求解飞行动力学问题时,除了 计算机在计算中带入的舍入误差外,不存在方法本 身带来的误差;而应用四元数法,在保证范化条件的 归一化处理时,各种不同的处理方法均会带来方法 误差.因此双欧法具有更高的求解精度.然而在飞 行器运动仿真计算中应用双欧法也要付出一点代 价:在同等的计算能力下,双欧法要比四元数法需要 更多的机时,大约多用机时10%左右.在计算机技 术迅猛发展的今天,这一代价在一定意义下已经算 不上缺陷和不足了.因此,在姿态角变化范围较大 的飞行器运动仿真计算中,应该使用双欧法解决上 述奇异性问题. 文章将讨论如何将双欧法的思想应用在伞.弹 系统的运动方程中,以达到克服欧拉方程奇异性并 提高解算精度的目的. 2双欧法方程 [薹]=[孝]+tyt[?]+ty[薹]c 其中,【y]一表示仅绕轴转动角l的变换矩 阵,[]:一表示仅绕轴转动角的变换矩阵.(以 下同); 由(1)式可以得到通常所说的欧拉运动学方程, 这里将其称为正欧拉方程,如(2)式所示: (2) 由(2)式可以看到,当俯仰角趋近0=?90o时, = (ycosy一%sin~')/cosO和;,=一~0sinO将趋 于无穷而无法计算,方程出现奇异性.而在=oo 或0=?180.附近时,方程解的精度将提高,在这里 称此求解范围为正欧拉方程解的精华区;相反将 =?90.附近范围称为奇异区.故在小俯仰角情况 下,采用正欧拉方程求解可得到较理想的结果.但 是对于某些俯仰角变化较大的航弹的伞一弹系统, 当伞一弹系统处于平衡下落状态时(弹的一 9oo),仅用正欧拉方程就难以继续求解了. 2.1.2正欧拉角定义域调整 积分(2)式得到正欧拉角,由于三角函数具有周 期性(多值性),需要对正欧拉角进行定义域调整,除 了0角在(一45.一+45.)范围内求积不必调整范 围,,y角均需按照下面的形式进行定义域调整: :slll一2a"int(1+)l(3) 2.2反欧拉方程 2.2.1反欧拉方程的建立 双欧法是利用两套欧拉角分别建立相应的欧拉 方程,进而达到消除求解欧拉方程中的奇异性问题 和提高计算精度的目的.根据反跑道航弹的伞一弹 系统运动过程的特点,选取另一套与正欧拉角转动 顺序不同的欧拉角:0,,,),r,其转动顺序为"俯仰 一 偏航一滚转",称此套欧拉角为"反欧拉角",并用 下标r表示.相应的欧拉运动学方程为: 『_]Fo]Il= l0l+【]【]lul+【]J占I(4)L-』l oJlJ【_oJ 由(4)式可以得到反欧拉方程: 0 ? ? y (5) r栅獾 ,吞y{!n.11町 ..蜀 ?一.+? n .虬 = 6周伟等:双欧法在克服伞一弹系统欧拉方程奇异性中的应用 由(5)式可以看出,单就反欧拉方程来说,同样 也存在着奇异性问题,即当=?90o时,,会 趋向无穷而无法解算.所以对于反欧拉方程,其精 华区为,br=OO或,br=-I-180~附近;而奇异区为= - I-0附近. 2.2.2反欧拉角定义域调整 积分(5)式得到反欧拉角后,由于三角函数具有 周期性(多值性),同样需要将反欧拉角的定义域进 行调整.考虑到引入反欧拉角只是为了消除奇异性 问题,所以,除了45.<Or<135o范围内,可限制只 在(一45.,+45.)范围内求积.考虑到航弹会具有 一 定的滚转角速度,因此对于y,需要做以下调整: yr=sgnU'[I),I一2rdnt(1+)】(6) 2.3精华区与奇异区的倒挂关系 通过上面的分析可以看出正,反欧拉方程都存 在奇异性的问题.但两者的精华区和奇异区却不尽 相同,若能综合考虑,则可避免在正,反欧拉方程的 奇异区内求解,从而达到克服欧拉方程奇异性的目 的. 由正欧拉角表示的从牵连大地坐标系到弹体坐 标系的变换矩阵为: 厂000古] 日=[),][]:[]=l000杰l L0茹0壶0妄J 厂00s日00B胡一] = ly一00By瞄eos~'oosOy瞄+瞄yl(7) Lo0sy+y.嘴一ny?0暗y0?一萄nyJ 由反欧拉角表示的从牵连大地坐标系到弹体坐 标系的变换矩阵为: I.1 日=[),】[】y【】:=l00五0五ll ..五.五j ro?o?e~~.sinO,一sirI] = ls'mso?一o?s'msing,,sin)',sinO,+cos)',eosO,cosg,,sin~',l(8) Lsing,,cos)"o0B+sin)',sinO,sino0B_岫一sinO,eosO,o0Bo0BJ 因为任意两个坐标系之间的变换矩阵是唯一 的,所以(7)式与(8)式的右端矩阵相等.由此可以 得到: cos=..sinO/sinOr(9) 将(9)式代入(5)式,得: 0 ? = r爱1(1o) 由(10)式可以看出,反欧拉方程的精华区在0 =?90.附近,其奇异区在0=o或0=?180~附近. 这一点正好与正欧拉方程相反.如果以?45o或? 135.为界将OO,360~的区域划分为如图1所示的形 式,利用正,反欧拉方程之间精华区和奇异区的倒挂 关系,就可以避免求解过程中奇异性的出现,同时还 可提高解的精度. 双欧法正是基于这种思想,利用了这种倒挂关 系既摆脱了单组欧拉方程会出现奇异性的困难,又 利用正,反欧拉方程的精华区提高了解算精度. 正欧拉角系统精华点 反欧拉角系统奇异点 正欧拉系统精华区 反欧拉系统奇异区 正欧拉角系统奇异点 反欧拉角系统精华点 正欧拉系统奇异区 反欧拉系统精华区 图1正反欧拉方程精华区与奇异区 由坐标系变换矩阵的唯一性,可得: [),][]:[]=[),】[】[,】:(11) [),]左乘式(11)得: 【】【】=[),】TBtd=[),]【),】【】【】(12) I—sinOcos~啷sinOsin~lL sin0c0sj 厂口口五口6] 二::a&cos2'-一a~/n三二耄lI l11Il啊哺匿 周伟等:双欧法在克服伞一弹系统欧拉方程奇异性中的应用7 2.4.1正一反欧拉角变换 由式(11)可得到用正欧拉角求解反欧拉角关系式: sinq~一=cos0sin~=一a5 :aresin(一0古) 唔: "11 =aretg(0/0) a23 tg= q33 =aretg(0去/a) 2.4.2反一正欧拉角变换 (14) 由(13)式可以得到用反欧拉角求解正欧拉角关 系式: sin0a=a12COSsin0~ 0=aresin(a12) a32 唔y=一—: "22 y=aretg(一a32/a~) ., a13 唔=一—= "11 =aretg(一a~/a{il) 3双欧拉法求解流程 (15)图2双欧法求解流程图 双欧法的求解过程包括两套欧拉方程的运算, 俯仰角的变化过?45.时将引起两套欧拉角的变换. 若要求用正欧拉角来描述弹的姿态,则解算中不论 用正或反欧拉角计算,在双欧法的计算输出时都以 正欧拉角输出.双欧法的求解流程如图2所示. 4双欧法与四元数方法的分析比较 为了分析比较双欧法与四元数法的求解精度, 取一作俯仰翻滚运动的圆柱体形刚体为研究对象, 分别用双欧法和四元数法对其进行姿态角求解: 设:刚体角速度为:==0,:=180./s,刚 体欧拉角初值为:=0,0=0,y=0 为简化计算,假设刚体所受的力与力矩均为零. 计算的积分步长取:?t:0.01s,计算100s可以得 到如下结果: 表1?t=0.01s双欧法与四元数方法计算精度对比 时间/s计算方法滚动角速度理论俯仰角计算俯仰角归一化后 双欧法18/s90~90.00000o.0 . 5四元数法180o/ s90~89.99973890.000000 双欧法180o/s90~89.999998~10 . 5四元数法180o/s90~89.99880189.999997 双欧法180o/s90~89.999996~20 . 5四元数法18/ s90~89.l832489.I999I4 双欧法180o/s90~89.999994~30 . 5四元数法180./ s90~89.89.I999l 双欧法180o/s90~89.钙l9982090 . 5四元数法180o/ s90~89.)647989. ……,I_?砷1岫獾 8周伟等:双欧法在克服伞一弹系统欧拉方程奇异性中的应用 表2?t=0.Is双欧法与四元数方法计算精度对比 时间/s计算方法滚动角速度理论俯仰角计算俯仰角归一化后% 双欧法l80./s90~9O.000o00. 0.5四元数法l80o/s90~89.917367.89.999547~ 双欧法l80o/s90~89.999998. 10.5 四元数法l80o/s90~89.621217.89.990494~ 双欧法180o/s9ID.89.999996~20 . 5四元数法l80o/s90~89.470579o89.981440~ 双欧法l80o/s90~89.999994~30 . 5四元数法l80./s90~89.354044~89.9723860 双欧法l80o/s90~89.99I9982o9O .5 四元数法18/s9o388.885328089.918cl63o 从上表中可以看出: 1)随着时间的增加,双欧法和四元数法的计算 结果都有衰减现象.但是,导致双欧法计算结果衰 减的原因是由于计算机的舍入误差所致;而四元数 法却存在着方法所导致的误差. 2)四元数若不做范化条件的归一化处理,则随 着计算时间的增加,坐标系之间的正交变换将无法 保证;四元数经过归一化处理后的精度有所提高,但 相对双欧法也要差一些,而且随着计算时间的增加, 双欧法计算精度高的优势会越来越明显. 3)四元数方法对积分步长的改变比较敏感,如 果在仿真中积分步长选取不合理则可能产生较大的 误差,而双欧法对积分步长并不敏感,在例题中可以 清楚地看到,两种不同的积分步长没有改变双欧法 计算结果的精度. 5结论 综上所述,双欧法在求解伞一弹系统飞行弹道 中,不仅避免了求解欧拉方程时的奇异性问题,而且 提高了解算精度.对于在空间飞行时间相对较长的 伞一弹系统来说,双欧法则更具优势.此外,双欧法 直接以欧拉角为求解对象,相对四元数,其描述姿态 的意义更加明确,为进一步分析飞行稳定性提供了 易于理解的参考依据.虽然双欧法比四元数法要多 耗费一些计算机时,但对于现在的计算机配置来说, 这并不影响其在运动仿真计算中的应用. 参考文献 1黄雪樵.克服欧拉方程奇异性的双欧法.飞行力学, 1994,(12)i28,37 2陈廷楠,张登成.双欧法与四元数法的应用比较.飞行 力学,1996,(12):5964 3杨启仁.子母弹飞行动力学.北京:国防工业出版社, 】999. 作者简介:周伟,男,1974年生.国防科技大学航天与材料 学院在读硕士.研究方向:飞行器总体 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 . 一一1?li啪睢砸