标量乘法的快速算法
标量乘法的常规计算
方法
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都是一些比较成熟的计算方法，的极小重量 α 。我们将给出一般 be 群上的标量乘法的快速算法，然后在此基 Al设 G 是一个有限的 Abel 群，G 中运算用加法表示，即 P? n础上给出这些快速算法在椭圆曲线上的改进，从而得到椭圆曲 G,#G?0(2),w?[1,#G]是一整数，目前对标量乘法 wP 一般有下 线标量乘法的各种快速算法在椭圆曲线密码体制的实现中，对 。面三种快速算法:
标量乘法的快速计算是快速实现体制的关键。在椭圆密码系统 2.1 二进制方法，即平方一乘方法 “”中，最耗时和最频繁的操作就是计算 kP，在参数一定的情况下， 设 w 的二进制表示是 通过减少点加或点乘的运算次数或降低运算次幂来提高椭圆曲 (1) 线密码体制的实现效率。 其中 α=0 或 1，i=1,2…l 则对标量乘法 wP，有 i 1 标量乘法 * 定义 1 设 p 是一个素数，β?Z,α 是一个本原元，α? p *w Z ,已知 α 和 β，求满足 α =βmodp 的唯一整数 w(0?w?p)因此，利用平方一乘方法，对 wP 的计算共需 l 次椭圆曲 “”p 称为椭圆曲线上的离散对数问
题
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。线 E 中的倍点运算和 W (w)- 1 次椭圆曲线 E 中的点加运算，l+1
对于有限域 F上的椭圆曲线有限群 E(F) ，我们可以构造 q q为 w 二进制表示中的比特位数。一种特殊的加法运算，使得椭圆曲线上的点和无穷远点 O 构成 2.2 m 进制方法和改进的 m 进制方法一个 Abel 加法群。然后对于 P,Q?E(F)和任一整数 w(0?w?#E r qm 进制方法:设 r 是某个正整数，取m =2， 并设 w 的 m 进制 (F))，假如 P 和 Q 之间存在关系式 Q=wP 时，由 P 和 w 计算 Q q 表示如下:是容易的，但是反过来由P 和 Q 确定 w 却是困难的即函数 。(2) f:Z/(#E)Z?E(F) q其中 0??m- 1 (i =0,1,2…l ) α in由于 0?w?#G?0(2)，在(2)中可设 rl+1?n 即 w?wP是一个单向函数。 由(2)可得 wP 的计算式如下: 据此，可以构造各种公钥密码体制。椭圆曲线密码体制正是 基于单向函数(即基于椭圆曲线上的离散对数问题)所构造的一 (3) 类公钥密码体制。 利用与计算结果(分别计算P ,2P…(m- 1P)，并将其列表，以 定义 2 对点 P(即 E(F)的循环子群
的生成 元)，我们 q期对(3)中的 P 直接查表求得通过迭代方法，wP 能够在 l 次 α。i称之为
的一个基点 。对任意的正整数 w(0?w?#E(F))其中 q m 倍点和 W(w)次点加运算后求出。#E(F)是循环群的阶，和任意的点Q ?
称计算 wQ 的运算时q 改进的 m 进制方法:从(3)中看出，利用 m 进制方法对 wP对椭圆曲线 E(F)中的标量乘法对基点 P 和标量乘法 wP，称之。 qr 行计算时，基本的运算是对mQ +P=2 Q+P (4)的计算，因αα ii 为关于基点 P 的标量乘法本文中，有时候称标量乘法 wP 是关。r此可将 α中的 2 因子分离出来与 2Q 中的一部分一同进行计 i 于固定基点的标量乘法，而称w Q(这里 Q 为 E(F) 重任一点)是 q 算，即关于随即基点的标量乘法 。si假设 α=2h(i=1,2…m- 1)时 ii 计算标量乘法 wP 分为两个不同层次的运算一个层次是。(其中 s
规范
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的技术特点是:
导的今天，传统的教学模式和教学方法受到极大的挑战，利用远 (1)引入了代理(Broker)的概念。一个代理至少可以有三个 程教学培养现代信息人才成为各国政府的重要举措。通过远程 方面的作用:完成对客户方提出的抽象服务请求的映射;自动发
现和寻找服务器;自动设定路由，实现到服务器方的执行教学，可以为人们提供平等的受教育机会，更重要的是现代社会 代理 。
根据客户方的请求，选择一个或若干个服务器进行处理，使客户 知识更新速度加快，传统教学集中教学的模式难以跟上知识更
方无需考虑服务器方的处理细节，只需最后把服务器处理的结 新的步伐，而远程教学可以为每个人提供终身受教育的机会。当
果作为对客户方请求的响应通知客户今的远程教学应该具有如下的特点:(1)教学时空的延扩性;(2) 。客户方和服务器方相互 教学资源的共享性;(3)教学手段的交互性;(3)教学媒体的集成 独立无关，使得软件易于修改移植和维护 、。性。CORBA 技术的出现为我们开展远程学提供了有效的技术支 (2)所实现的客户方程序与服务器方程序的完全分离。客户
与服务器之间可以有更加灵活的关系存在持和思路。 。在调用方式保持不
变的前提下，服务器可以自由地修改和升级，客户方程序也可以 2 CORBA 技术
随着 Internet 的迅猛发展，不同平台上开发的软件能互相作 自由地按照要求进行更改，而无需通知对方。
(3)将分布计算同面向对象的概念相互结合，可以提高软件 用以提高软件的功能和应用水平，提高软件的效率，促进软件技
重用率术的发展，是软件工程界的一致要求。CORBA(Common Object 。控制冗余度等。
Request B roker Architecture，公共对象请求代理体系结构)就是 (4)提供软件总线的
机制
综治信访维稳工作机制反恐怖工作机制企业员工晋升机制公司员工晋升机制员工晋升机制图
。所谓软件总线是指 CORBA 系统 满足这一要求的面向对象的分布式中间件技术。CORBA 规范是 定义了一组接口规范，任何应用程序、软件系统或工具只要具有 由 OMG(Object Managementr oGup)组织制定的
标准
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。从上面的 与该接口规范相符合的接口定义，就能方便地集成到 CORBA CORBA 多层体系结构模型中我们可以看出，实质上 CORBA 是 系统中，这个接口规范独立于任何实现语言和环境 。
远程过程调用(Remote Procedure C all)和面向对象技术的有机 (5) 分层的设计原则和实现方式。CORBA 规范仅定义了结合。CORBA 提供了一种 ORB机制 ，通过这种机制，对象间可 ORB 中需要用到的基本对象，封装了相应的属性和方法而面 。
以透明地进行通讯和访问。向应用的对象定义则可以在 OMA 的应用对象、领域对象或应用
CORBA 定义了一种面向对象的软件构件构造方法，使不同 开发环境中逐步分层定义和实现，使 CORBA 系统核心始终是 的应用可以共享由此构造出来的软件构件每个对象都将其内 一个精练的实体，而各种复杂功能和应用可以由核心扩展和延 。
部操作细节封装起来，同时又向外界提供了精确定义的接口，从 伸。
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因此，计算出 wP 的 m 进制方法本质上也是在二进制方法 因此，我们对椭圆曲线E 中的标量乘法 wP，我们首先利用
基础上，按照每隔 r 项合并计算出一次的办法而得到的一种方上述定理将 w 写成它的 NAF 表示式，然后再套用前面的 m 进 法，但是(1)中的 取 0 或 1 是随机的，这种按固定间隔合并 α制方法或滑动窗口方法，即可快速计算出w P 。i 计算的方法一定不会经按照 α取 0 或 1 的情况进行灵活处理 i 4 结束语后有效，由此产生了滑动窗口的计算方法，相对于这一方法，m 在高科技发展的今天，人们对密码学的关注越来越多了。不 进制方法可看作是窗口宽度为 r 的一种固定窗口计算方法 。光要求密码体制的安全性，还要求密码体制的快速实现，以便来 3 椭圆曲线上标量乘法的快速算法提高实现效率。有了对 wP 的上层运算的快速计算，相信密码学 定义 4 整数 w 的一个扩展二进制表示是指将 w 写成形如在实际应用中将更有效 。(1)式时，允许 取 - 1 即 {- 1,0,1},(i=l,2…l) 称 w 的一个扩 ααi i展二进制表示式(1)是全不连通的，若对所有i 有 αα=0(即 ii+1参考文献: α,α…α中，任何相邻两个数中都至少有一个是零,w )的一 12 l[1]万哲先.代数和编码[M].北京:高等教育出版社,2007(6). [2]王育民,刘个不连通扩展二进制表示记为 NAF。 建伟.通讯网络的安全理论与技术[M]西安:西安电子科技 大学出版社,2007(7).
[3]白国强.椭圆曲线密码体制及其算法研究[D].西安:西安电子科技大 定理 1 每一个整数 k 都有唯一的一个 NAF 表示，使其 学博士学位论文,2000(10). 长度比 k 的二进制表示最多多 1，并且在 k 的所有扩展二进制 [4]李德庆.椭圆曲线密码体制的研究与实现[D].西安:西安电子科技大 表示中，这个 NAF 表示的权重 (即 α,α…α中非零元的个 12l 学硕士学位论文,2008.
浙公网安备 33021202002483