有理函数逼近

第六章非线性逼近方法教学目的和要求：要求掌握非线性一致逼近、有理函数逼近、Pad'e逼近方法、有理逼近的一些算法.考虑函数)1ln(x的逼近问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 .它的Taylor展开式为11)11()1()1ln(kkkxkxx.记上式右端前s项的和为)(xTs，显然)(xTs可以作为)1ln(x的一种近似.由连分式展开的方法，)1ln(x又有如下的连分式展开式：.524231211)1ln(2222xxxxxx不难算出它的前4个渐近分式依次为.612054084042025260630420)(,3369060116060)(,6636)(,22)(4324324323232221xxxxxxxxxRxxxxxxxRxxxxxRxxxR可以具体算出，)(xRn的展开式将含有函数)1ln(x之Taylor展开式的前n2项和)(2xTn.下面来比较)(xRn与)(2xTn的逼近误差.设以R与分别记)(xRn与)(2xTn同)1ln(x之间的误差，并取1x.它们误差的对比，如下表：n)1(nRR)1(2nTT10.6670.0260.500.192340.692310.6931220.693146320.000840.0000250.000000760.580.6170.6340.110.0760.058（)18147693.02(ln由上表可知，)1(4R的精确度竟比)1(8T的精确度高几乎510倍.这说明开展某些函数的有逼近或一般非线性逼近的研究是很有必要的.§1.非线性一致逼近首先讨论如下有理分式，nmR,nmR,：,)()()(,xQxPxRnmnm（1.1）其中nnmmPxQPxP)(,)(分别为x的nm,次多项式.设)(,xRxm是既约有理分式，即)(xPm与)(xQn互质.设)(xf是有界闭区间],[ba上的连续函数.定义偏差函数)()(,xRxfnm的绝对值的上确界为)(,xRnm与)(xf的最大偏差，简称为偏差：)()(sup)(,,xRxfRnmbxanm.(1.2)又定义量)()(supinf)(,,,xRxffnmbxaRnmnm（1.3）为形如（1.1）的有理分式类：)(,,xRdefRnmnm对给定函数)(xf的最佳逼近或最小偏差.关于偏差的下界估计，有：定理1（Vallée-Poussin）设多项式,)(0mmaxaxAnnbxbxB0)(互质，其中.0,0,00bnm且设)(/)()(xBxAxR于],[ba区间上为有穷，差函数)()(xRxf在],[ba中的点列Nxxx21上以正负交错的符号取异于0的值NN121)1(,,,（不妨假定各个0j）.而且),,min(,2ddnmN则对每一形如（1.1）的函数),(xQ恒有}.,,min{)(21NQ（1.4）当0)(xR且2mN（即)nd时，此不等式仍然成立.证明采用反证法.假若存在一个形如（1.1）的函数),(xQ满足}.,,min{)(21NQ考察差)()()(xRxQx)]()([)]()([xQxfxRxf.显然)(,),(),(21Nxxx不等于0且正负交错变号.由于)(x于],[ba上连续，根据连续函数的中值定理，)(x与),(ba内至少有11dnmN个零点.然而)(/)()()()(xuxvxRxQx中分子)(xv的次数.},max{dnmnmnm从而必有0)(x，亦即)()(xRxQ.此与定理假设相矛盾，故定理得证.定理2在所有形如（1.1）的有理分式中，至少存在一个有理分式),(xQ使得它与)(xf的偏差)(Q取到极小值，即min)(Q.证明只须证明存在形如（1.1）的有理分式),(xQ使得)()(,fQnm.下面我们将具体地构造出)(xQ来.按下确界的定义，存在无穷函数序列)}({xQi，使得)()(lim,fQnmii，其中nininimimimiipxpxpqxqxqxQ110110)(.将)(xQi如下 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化，使其分母的系数满足).,2,1(122120ipppniii我们来证明相应的系数),,1,0(mjqji也是有界的.事实上，设).,2,1()(iMQi又设121,,,m为),(ba内给定的互异点，则对其中任一点，必有nininimimimipppqqq110110)()(110110ffpppqqqnininimimimi)(maxxfMbxa.从而有正常数K存在，使得Kqqqmimimi110.由于多项式mimimiqxqxq110于1m个点121,,,m处的值是有界的，比方设它们依次为121,,,mKKK，则按线性方程组)1,,2,1(110mjKqqqjmimjimji，可以解出liq的一个表达式),,0(ml.显然这些),,0(mlqli均有界.由于),,0(njpji和),,0(mlqli有界，根据Bolzano-Weierstrass定理，在有理分式序列)}({xQi中，可以选出某子序列，不妨仍记为)}({xQi，使得.lim,limlliijjiibqap今作（1.1）型有理分式.)(110110nnnmmmaxaxabxbxbxP以下来证明).()()(max)(,fxPxfPnmbxa因为)(xP只可能在有限多个点处变为无穷，而在],[ba区间的其它点~x处，显然有)()(lim~~xPxQii.（1.5）所以)()()()()()(~~~~~~xPxQxQxfxfxPiiiibxaQxf)()(max即除去可能在有限个点处外，总有.)(max)(MxfNxPbxa从而上式于区间],[ba上处处成立.即)(xP在区间],[ba上处处有限，所以（1.5）式处处成立.由于)(xP个系数与)(xQi个相应系数之间的极限关系，不难看出极限关系式)()()(limbxaxPxQii在],[ba上一致成立.这样一来，若于)()(maxxPxfbxa)()(max)()(maxxQxPxQxfibxaibxa两边令i趋于无穷，立即得到).()()(max,fxPxfnmbxa是故).()(,fPnm又显然有)()(,Pfnm,所以最终证得)()(,fPnm.存在性定理2证毕.根据定理2，存在形如（1.1）的有理分式)(xR，使得)()(,fRnm，（1.6）其中)(xf是区间],[ba上连续函数.称满足（1.6）的有理分式为)(xf于（1.1）所示有理分式类中的最佳一致逼近有理分式.下面的Tchebyshev定理对最佳一致逼近有理分式的特征作了确切的描述.定理3形如（1.1）的有理分式函数中在],[ba上与)(xf偏差最小的有理分式)(xP由下述特征所唯一确定①.若将)(xP写成)()()(110110xAxBaxaxabxbxbxPnnnmmm，其中)(),(xBxA互质，nma0,0,00.则在],[ba上使)()(xPxf以正负交错的符号达到)(P的点列之点数2dnmN，其中),min(d.若0)(xP，则2mN.证明充分性.设2dnmN.并于定理1中取)(Pk，则知对任何形如（1.1）的有理分式)(xQ，必有).()(PQ从而)(xP是最佳逼近有理分式.必要性.采用反证法.设满足要求的偏离点的个数为1dnmN，我们来证)(xP必不是最佳逼近有理分式.将],[ba分为如下的'N个子区间：],[,],,[],,[1'211baN，（1.7）使之在上述区间上，轮流满足)()()()(PxPxfP，①此处所说的唯一性，乃指经约分化简后为相同的有理分式者.和).()()()(PxPxfP并且（1.7）中每个区间内只含有一个偏离点.为证)(xP不是最佳者，只须求得（1.1）形有理分式)(xQ，使得)()(PQ成立即可.引入多项式)())(()(1'21Nxxxx显然它在121',,,N处依次变号.由于)(xA与)(xB互质，于是存在次数分别为m与n的多项式)(x与)(x，使得.1)()()()(xxBxxA于上式两边同乘多项式)(x，得到)()()()()()()(xxxBxxxAx.（1.9）用)(xB，)(xA分别去除（带余）)()(),()(xxxx：)()()()()()()()()()(2211xrxqxAxxxrxqxBxx（1.10）其中mPxr)(1，nPxr)(2分别为nm,次多项式.将（1.10）代入（1.9）有)()()()()()()(21xqxBxAxqxBxAx)()()()(21xrxBxrxA)()()}()]()()[(){(1221xrxAxrxqxqxAxB)()()()(xvxAxuxB，其中)(),(xvxu为次数不高于mn,的多项式.作有理分式)()()()()()()(xuxxAxvxxBxQ.于是)()()()()()()()()()(xuxxAxvxxBxAxBxQxP)]()()()[()()]()()()[()]()()()([xuxxAxAxxuxxAxAxvxAxuxB因为)]()([)]()([)()(xQxPxPxfxQxf)]()([xPxf+)]()()()[()(xuxxAxAx，（1.11）于是只须特别取1)(x，并取充分小，则在调节正、负号的前提下可以保证（1.11）最后一等号右端第二项恰与第一项在个偏离点上的值异号.从而，只须对充分小的取（1.1）形有理分式)()()()()(xuxAxvxBxQ，则可保证不等式（1.8）成立.必要性得证.最后证明唯一性，用反证法.设还有（1.1）形有理分式)(xQ，使得)()()(,fPQnm.假设与)(xQ相应的量'''',,,dN与dN,,,意义相同.由必要性，知2,2''dnmNdnmN.为确定起见，不妨假设NN'.设'21N为相应于)(xQ的偏离点，考虑差函数)()()(xQxPx)]()([)]()([xPxfxQxf.若j点同样也是)(xP的同类（同正或同负）偏离点，则应有0)(j否则，0)(j，但此时必然有)].()([)(jjjQfsignsign（1.12）例如假设.0)(,0)()(,0)(11kikiii由于)]()([)1(111iiiQf与)]()([)1(111kikikiQf同号，从而根据（1.12）知)()1()(11kikisignsign.当k为偶数时，由（1.13），)(x于区间],[11kii两端点上同号.于是)(x在该区间上有偶数个根.当k为奇数时，由（1.13），)(x于区间],[11kii两端点上异号.于是)(x在该区间上有奇数个根.总之，)(x于区间],[11kii区间中根的个数与k同奇偶.但已知kii,,（共1k个）是)(x的根，于是为保证同奇偶，必有第2k个根存在.依此推导，可知)(x于区间],[ba内至少应有1'N个根.但这是不可能的，因为)(/)()(xDxCx中分子的次数r2},max{'''Nnmnm当)(xP0)(,0xQ，,2''Nm当0)(xP，,2'Nm当0)(xQ因而定理唯一性证完.最后我们来证明，当0)(xP时，)(xP是最佳逼近有理分式必须且只须2mN.若2mN，则于定理1所示的Vallée-Poussin定理中取)(max)(xfPbxaj，则队任何（1.1）形有理分式)(xQ，均有jPQ)()(.从而)(xP为最佳逼近有理分式.反之，设0)(xP为最佳逼近有理分式，我们来证2mN.若不然，设偏离点个数1'mN.考虑)())(()(121'Nxxxx.作)()(xxQ，其中为一充分小实数，则可以同前面必要性证明一样而引出矛盾.至此定理全部证完.NewmanJD..曾经讨论了x有理逼近的误差估计问题.下面我们来介绍有关结果.若)(xrn是两个互质多项式的商：)(/)()(XQxPxrnnx()，则称nrx为n阶有理函数.定义xrxffnAxrnnsupinf,其中A为实数集合,nrx取遍一切n阶有理函数.根据关于函数类的“宽度”的研究可知,对于性质比较好的函数来说,有理函数逼近的优越性不大.然而,对于有较小奇异性的函数,有理逼近却非常有效,下面来考察函数xxf在区间A1,1上用n阶有理函数逼近的误差估计问题.Newman证明了下述定理:定理4当5n时恒有nnexP3.(1.14)证明设nea1.则当n充分大时,a接近于1,而1na却接近于零,先来证明估计式nnjjjeaa1111)5(n(1.15)事实上,利用数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 中的典型方法不难证明tett211,当0t.从而aaaaaannjjnjjj12exp2exp111111.又,当5n时,122551eeaan.对于所有0t,还有tet1,所以na11.是故估计式(1.15)成立.现在设11nkkaxxp,xpxpxpxpxxrn.(1.16)显然nrx是n阶有理函数.我们来证明nnexrx3(5n,11x)(1.17)因为x与xrn都是偶函数,为了证明(1.17)只需考虑的情形.对于满足条件naxnexp0的x,由于0xp.从而xxrn0.故有nnneexxrx3,即当nax0时(1.17)式成立.当1xan时,必存在某个j(10nj),使得jjaxa1.于是由(1.15),有111njkkkjkkkaxaxxaxaxpxp111njkkjkjjknknkaaaaaaaa1111111jnmmmnjnmmmaaaannmmmeaa1111.因此当1xan时,由于下述不等式成立(10x):122xpxpxpxpxpxxrxn,所以nnneexrx312(5n).定理4证完.Newman还证明了nnex921(5n).(1.18)综合(1.14)与(1.18),可知nnnexe3219(5n).(1.19)它比xxf在1,1上的最佳n次多项式逼近的误差阶O(n1)要优越得多.D.newman的不等式(1.19)还可以用来估计某些函数的有理逼近的误差阶.§2.有理函数插值给定m+n+1个互异的点nmxxx,,,10和相应的函数值nmxfxfxf,,,10,希望构造一个有理分式函数0101,bxbxbaxaxaxDxNxRnnmmnmnm,(2.1)使之满足插值条件jjnmxfxR,(1,,1,0nmj)(2.2)这种问题就是所谓有理函数插值问题.显然,当分母次数0n时,xRnm,是一个m次的多项式,从而插值问题(2.2)的解存在并且唯一.但是,当0n,即(2.1)所示的xRnm,真正是一个有理分式函数时,插值问题(2.2)是否对任何右端jxf皆有唯一解存在呢?且看下述几个例子.例1设0m,0jxf,0kxf,010,0bxbxbaxRnnn.于是由0,0jnxR推知00a.但是当00a时,显然0,0xRn不成立.是故,此时相应插值问题无解.例2设1nm,且321xfxfxf.则由相应插值条件,必有021021011011bxbaxabxbaxa.于是0))(120110xxbaba（.而21xx,从而0110baba.若01b,则xR1,1退化为一次多项式.既然xR1,1于21,xxx处的值一样(假定),说明xRy1,1是一条平行于X轴的直线.当然也就不可能满足231,1xfxR了.所以不妨设01b.于是1010bbaa.从而01101101011,1bxbbbaxabxbaxaxRconstbabxbbbxba11011011.这样一来,又不可能满足插值条件中所要求的条件31,111,1xRxR了.总之,本例所讨论的有理插值问题的解不存在.为了便于讨论,需要引进一些定义.两个有理分式xQxPxR111,xQxPxR222(2.3)称为恒等,如果存在一个非零常数a,使得xaPxP12,xaQxQ12.此时记xRxR21.(2.3)所示两有理分式xRxR21,称为等价的,如果xQxPxQxP1221.此时常记为xR1～xR2.对于此处所定义的关系“～”,显然有下列三个性质:(i)R(x)～R(x);(ii)R(x)～Q(x),Q(x)～S(x)则R(x)～S(x);(iii)R(x)～Q(x),则Q(x)～R(x).所以“～”是一种等价关系.显然可知,两有理分式xR1和xR2等价,必须且只须xR1和xR2的最简(既约)有理分式xR1和xR2恒等.今后只要两有理分式等价,则认为它们是同一个有理分式,而不加以区别.有理函数插值的唯一性也是在这种意义上说的.定理5插值问题(2.2)若有解,则必唯一.证明设xDxNxRnmnm,,xDxNxRnmnm,同时满足插值条件(2.2):jjnmjnmxfxRxR,,(nmj,,0).于是由jnjmjnjmxDxNxDxN(nmj,,0).可推知jnjmjnjmxDxNxDxN(nmj,,0).因为xDxNnm与xDxNnm为次数不高于nm的多项式,所以从上式可知xDxNxDxNnmnm.从而xRnm,～xRnm,.定理5证完.定理5说明对于有理函数插值来说,关键的问题是存在性和具体解法.我们知道,当(2.1)所示的有理分式xRnm,满足插值条件(2.2)时,只要分母0jnxD(1,,0mj),就应有0jnjjmxDxfxN(nmj,,0).(2.4)它是一个关于系数00,,,,,bbaanm的线性代数方程组.这当然比非线性方程组(2.2)要容易求解了.那么,(2.2)在什么条件下会与(2.4)等价呢?下面定理6对这个问题作了明确的回答.定理6设线性方程组(2.4)有非平凡解.为使满足插值条件(2.2)的最简有理分式xqxpxRnmnm,存在,必须且只须(2.4)的任一非平凡解xDxNnm,,在约去一切公因子后得到的互斥多项式xBxA,,仍然是(2.4)的解,即0jjjxBxfxA(nmj,,0).证明必要性.设xDxNnm,是(2.4)的任一组非平凡解0jnjjmxDxfxN(nmj,,0).(2.5)按假设,有(2.1)型的最简有理分式xvxt存在,使插值条件(2.2)得以满足:jjjxfxvxt(nmj,,0).(2.6)由于xt与xv互质,所以0jxv.因为否则为使上式成立,必亦有0jxt,是故有公共因子(jxx)了.以(2.6)代入(2.5),得到0jnjjjmxDxvxtxN(nmj,,0).两边通乘以jxv,得到0jnjjjmxDxtxvxN(nmj,,0).这样一来,次数不超过nm的多项式xDxtxvxNnm已有1nm个互异的根,从而xDxtxvxNnm0在上式中约去xDxNnm,的最大公因子,则有0xBxtxvxA.特别地,也应有0jjjjxBxtxvxA(nmj,,0).注意到(2.6)式,上式亦即0jjjxBxfxA(nmj,,0).必要性得证.充分性.设如上定义的xBxA,是(2.4)的解:0jjjxBxfxA(nmj,,0).可断言0jxB.因为否则由上式,必也有0jxA.从而与xBxA,互质的假定相矛盾.既然如此,我们可以用遍除上式两边,而得到jjjxfxBxA(nmj,,0).是故xBxA满足插值条件(2.2).充分性得证.定理6全部证完.定理6建立了(2.2)与(2.4)等价的充分必要条件.然而由于所给条件仍不便于检验,所以N.Macon与D.E.Dupree还给出了便于检验的条件.定理7设(jjyx,)(nmj,,0)中各jx(nmj,,0)是互异的.为使满足插值条件(2.2)的最简有理分式xDxNxRnmnm,存在,必须且只须诸矩阵nmnnmnmnmnmmnmnmnmjnjjjjmjjjjnjjjjmjjjnmjyxyxyxxxyxyxyxxxyxyxyxxxyxyxyxxxA1121111111121111111111211010000102001111(2.7)(nmj,,0)都是非奇异的.其中jjxfy(nmj,,0).定理7的证明要用到若干引理,此处不拟列出.H.Salzer讨论了切触有理插值问题.设xDxN,是x的两个多项式,rxx,,1是互异实数,ijxf)(,1,,1,0isj为一批给定的数.所谓切触有理插值,就是确定xN和xD的系数,使得iixxjjxfxDxNdxdi(2.8)若riisk1,通常取xN和xD的次数相等或接近相等.即当为k奇数时,xN和xD的次数皆取成2k;当k为偶数时,和的次数则分别取2k和2k-1.设0ixD,一般有理函数插值问题iiixfxDxN(ri,,1)自然等价于ixxixfxDxN(ri,,1).一切切触插值ixxixxxfxDxNxfxDxNii',,(2.9)可以表示为2,iiiiixxixDxDxNxDxNxfxDxNi=ixf.(2.10)后一等式中又可以ixf代替iixDxN然后用ixD遍乘而化为iiiiixDxfxDxfxN.因而(2.9)最后化成ixxixfxDxN,'ixxixfxDxN.(2.11)完全类似地,二阶切触有理插值可转化为ixxixfxDxN,'ixxixfxDxN,''ixxixfxDxN(2.12)一般情况下,是否也可把有理切触插值imxxmmxfxDxNdxdi(1,,1,0ism)(2.13)化成等价形式(当0ixD时)ixxmmimxfxDdxdxN(1,,1,0ism)?(2.14)回答是肯定的.这可以用数学归纳法来证明.事实上,由前面的分析,已知当1,01isr时,(2.13)和(2.14)是等价的.今设当1sr时,(2.13)与(2.14)也是等价的.我们来证明当sr时,它们还是等价的.其实只须再证明isxxssxfxDxNdxdi(2.15)与ixxssisxfxDdxdxN(2.16)等价就够了.设(2.16)成立.因由Leibnitz公式skiksikxxssisxDxfksxfxDdxdxNi0,(2.17)iksskkxxsxxisxDxDxNksxDxDxNxNii0.(2.18)由归纳假定,后一式右端中ikkxxxfxDxNi(1,,1,0sk).因而比较上两式右端,即知sxxisixDxNxf.亦即(2.15)成立.反之,假定(2.15)式成立.则由(2.18),有skikskxxisxDxDxNksxNi0=skiksikxDxfks0=sxxixDxf.即(2.16)成立.总之,我们已建立了如下定理:定理8设0ixD,则有理切触插值问题imxxmxfxDxNdxdi(1,,1,0ism)与下列线性问题ixxmimxfxDdxdxN(1,,1,0ism)是等价的.若把定理8中的微商换成有限差(等距情况)或差商,则可以建立类似的定理.另外,当xN和xD不是普通多项式,而是广义多项式时,定理8也是照样成立的.由定理8可知,只要各个0ixD,则有理切触插值问题(2.8)便等价于线性方程组ixxmimxfxDdxdxN(2.19)(1,,1,0ism;ri,,1).下面我们应用定理8来具体讨论有理切触插值的构造问题.Salzer具体讨论了下述连分式作为有理分式xDxN的表达式:1,112,111,110,11saxxaxxaxxaxDxN0,321,221,220,212axxaxxaxxaxxs1,1,0,1rsrnrnrnaxxaxxaxx(2.20)为了讨论方便,先介绍一些有关连分式的预备知识:1连分式nnbabab110表示22110bababnnba2分式nnba称为连分式(2.21)的第n节;na与nb称为连分式(2.21)的第n节的两项;,,21aa称为连分式(2.21)的部分分子,,,21bb称为连分式(2.21)的部分分母.有限连分式nnnnQPbababab22110称为连分式(2.21)的第n个渐近分式.3相邻三个渐近分式之间有递推关系式2121nnnnnnnnnnQaQbQPaPbP(2.22)事实上,按连分式的定义111011000,1babbQPbQP,2212102211022abbbabbababQP021202122212120210QaQbPaPbabbbaabbbb.这说明当n=1和n=2时,(2.22)式成立(已人为地取定1P=1,1Q=0).设递推公式(2.22)对n已成立.即2121nnnnnnnnnnQaQbPaPbQP.我们来证明当n换成n+1时,(2.22)也成立.注意从nnQP变到`11nnQP应以11nnnbab代替nb,于是111111211112111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnQaQbPaPbQaQbaQbPabPaPbQP.所以对于一切正整数而言,递推公式(2.22)恒成立(其中已规定1P=11Q,=0).下面回过来继续讨论(2.20)所述xDxN的切触插值问题.假定1,11,10,11,,,isiaaa已经求出,于是由(2.20)可以求出它的渐近分式xQxPxQxPtttt2211,,此处111ijjst.根据关系(2.22),有xQxxxQxRxPxxxPxRxDxNtitititi211211,(2.23)其中2,1,0,iiiiiiaxxaxxaxR1,1,110,11,nisnniiiisiiaxxaxxaxxaxx(2.24)当按(2.23)所示的xDxN和切触条件(2.8)(其中x=ix)来确定1,1,0,,,,isiiiaaa时(共is个条件),xRi表达式中的项1,1,10,11nsniiiiiaxxaxxaxx是可以忽略的.若记1,2,1,0,isiiiiiiiiiaxxaxxaxxaxTxS则由定理8,xSi和xTi两多项式的系数应该满足mxxtiitiixPxTxxxPxS211mxxiiitiixQxTxxxQxSxf211(1,,1,0ism).(2.25)由此求出xTxSii表达式中的各系数1,1,0,,,,isiiiaaa.于是(2.24)的渐近分式,,11xQxPxQxPtttt可按渐近分式xPaxPktkikt1,当0k,xPxxxxktii21,当,1,,1iskxQaxQktkikt1,当0k,(2.26)xQxxxxkiii21当,1,,1isk来逐个地确定.用i+1替代i,用t+is替代t又可重复上述各步骤……当具有较小的is值时,比如is=2,1is=3,…,则立即可以比较方便地在多个点处应用公式(2.25).Euler-Minding曾经推导出关于有限连分式xTxSii的具体有理分式表达:2011101iisjjiisiaaxxaaaxSjskkkjjiiaaaaxx032112jlksllkkjjiiaaaaaaxx04322113（2.27）和kjskkjjisjjjisiiiiaaaaxxaaxxaaaxT1321132111211其中ja(1,,1,0isj)表示jia,(1,,1,0isj).具体写出,可列下表:isxSixTi10a12ixxaa011a3ixxaaaaa02012ixxaa1240103230123aaaaaaaaaa2iixxxxixxaaaaa131235ixxaaaaa01234012014034234aaaaaaaaaaaa2024ixxaaa1214341234aaaaaaaaaa2iixxxx6ixxaaaaaa0123450123014503452345aaaaaaaaaaaaaaaa+010323052545aaaaaaaaaaaa22iixxxxixxaaaaa12345123125145345aaaaaaaaaaaa+2135ixxaaa§3.Padé逼近方法一个函数的Taylor级数展开的系数同该函数值的关系问题,既是一个有深刻意义的数学问题,又是一个重要的实际问题.它是数学分析研究的基础,又是遍及许多物理和生物学中数学模型的实际计算基础.如所知,如果一个Taylor级数展开绝对收敛,则它唯一确定一函数的值,且该函数任意次可微.反之,如果一个函数任意次可微,则它也唯一确定一个Taylor级数展开.此时实际上我们可以用多项式来逼近给定的函数.当然这种功能是有一定限度的.考虑43221128141161385211121xxxxxxxf.(3.1)容易看到当21x时,上述Taylor级数是不收敛的.当然也不能用它来计算2f了!如果作变量替换21x或xx21,则211xf4321283516583211(3.2)于21(x)处是收敛的.取Taylor级数(3.2)的前几个截断多项式于21的值,即可得的近似值:1,1.125,1.34375,1.38281,1.39990,….(3.3)还原于原先的变量x,则(3.2)的前几个关于的截断多项式,正是x的下列有理分式,21843291,21251,122xxxxx.(3.4)下面我们考虑获取由Taylor级数展开式(3.1)所定义函数xf的其它有理分式逼近的一种重要方法—Padé逼近方法.考虑xf的这样一种有理分式逼近dxcbxa,使其Taylor级数展开的前3项同(3.1)的前3项相重合,于是求得432128125322585211451471xxxxxx.(3.5)按它算出4.12f,它比(3.3)所给近似为好.考虑xf的下述有理分式:22hxexdcxbxa,使其Taylor级数展开的前5项同(3.1)的前5项重合,则得到221629411116414131xxxx.(3.6)由它算得413793103.129412f.往下,按同样思路分别考虑分子(母)为3次,4次和5次多项式之有理分式,使其Taylor级数展开与(3.1)的前7项,9项和11项相重合.于是相应求得f2的下述近似值:1.414201183,1.414213198和1.414213552.(3.7)2同最后一近似的误差仅为810.足见这种算法还是很优越的.由此即可引导出一般的Padé逼近方法.设xf由下述形式幂级数所定义0jjjxaxf.(3.8)xf的MLPadé逼近为xQxPMLML,(3.9)其中LLPxP,MMPxQ分别为次数不超过L,M的多项式.(3.9)中xPL和xQM的系数,按下述方程来确定:1MLMLxOxQxPxf.(3.10)因为一个有理分式的分子、分母同乘一常数其值不变,我们特地要求xQM满足标准化条件0.10MQ.(3.11)最后要求xPL与xQM无公共因子存在.若记LLLxpxppxP10MMMxqxqxQ11，（3.12）则由标准化条件（3.11），可用xQM遍乘（3.10）式以线性化系数方程。于是比较系数可得线性方程组0011111011220112110100MLMLMLMMLLLLLLLqaqaaqaqaapqaqaapqaqaapqaapa（3.13）其中已规定0na（当n<0）.0jq(当j>M).（3.14）为方便计,记L+M=N,L-M=J.(3.15)Frobenius和Padé曾利用条件xQM≠0来替代标准化条件(3.11).这两类条件显然是不同的.事实上,作为例子考虑21xxf.对于L=M=1,容易验证1,1111xQxPxxQxP,满足1NLMxOxPxfxQ而不满足(3.10).按我们的定义,该幂级数的[1/1]逼近是不存在的.下面的唯一性定理,无论按哪种规定都是成立的.定理9(Frobenius-Padé)对于任意形式幂级数xf,若其[L/M]Padé逼近形式存在,则必唯一.证明仅就标准化条件(3.11)情况来证明.假定有两个这样的Padé逼近xVxUxYxX,,其中MLPxVxYPxUxX,;,.按(3.10),必然有1MLxOxVxUxYxX.(3.16)今以Y(x)V(x)遍乘(3.16)式两边,可得1MLxOxUxYxVxX(3.17)因为(3.17)式的左端为一个次数不超过L+M的多项式,为使(3.17)成立,只有xUxYxVxX恒为0.因为不Y(x)与V(x)恒为0,因而有xVxUxYxX.因为按定义X(x)与Y(x),U(x)与V(x)互质,且Y(0)=V(0)=1.0.唯一得证.上述定理的成立与否,是与定义方程的奇异性无关的.当非奇异时,可直接求解而得[L/M]Padé逼近:1111210111121MMMLLLLMLMLLjjjLMjjMjLMjjMjMLLLLMLMLxxaaaaaaxaxaxaaaaaaaML,(3.18)在上述各求和号中,若下标超过上标时,该和为0.这个结果是Jacobi得到的.常把一函数0jjjxaxf的Padé逼近列成一张所谓”Padé表”33231303322212023121110130201000例10!jjxjxexf的Padé逼近表(见下表).令x=1,则可得e的相应的Padé逼近表,其中[1/1]=3,[2/2]=19/7,[3/3]=193/71,[4/4]=2721/1001.2721/1001与e真值的误差仅在第八位小数上相差1.例1中0!jjxjxexf的Padé逼近表L/M01234011x112222xx323666xxxx24242432412xx4x111xxx2224626xxx3261824624xxxxx24120x9012032836xx4x22222xxxxx2646222612612xxxx3229366032460xxxxxx120360360122x272240xx4312xx3636632xxxxxxx624161824322323246093660xxxxx323212601201260120xxxxxxx36084032460xxx48084043216120xxx42122424xx24443xx23696120xxxxx24120843272240360xx4312xx212120360xx2120480840xx8401643xx32460360xxx1808401680x43220xxx1808401680x43220xxx大量具体的算例表明,在N=L+M为一确定常数时,所有各可能[L/M]Padé逼近中,以L和M相等或接近相等者为最精确.比如当N=2n时,我们应该采用[n/n]Padé逼近;当N=2n+1时,我们应该采用[n+1/N]或[n/n+1]Padé逼近.总而言之,应该采用Padé逼近表的主对角线或主对角线附近的Padé逼近.为了得到比(3.18)更为紧凑的表现形式,于(3.18)右端分子和分母两行列式中,均以第1列各元素减去第2列相应元素的x倍；以第2列各元素减去第3列相应元素的x倍；……则按行列式性质,其值是不变的,即得出1001111210111111121MLMLMLLLLLLMLMLLjjjLLLMLMLMLMLLLLLLMLMLaxaaxaaaxaaxaaxaxaxaaxaaxaaaxaaxaaML(3.19)按行列式性质,上式分母以最后一列展开即可化为一个M阶行列式;同时对分子上的行列式施以变换:以1Mjx乘其第j列(j=1,…,M),然后将它们统统加到最后一列,则得到MLMLLLLLMLMLMLjjjLLLMLMLMLMLLLMMLLLMLMLxaaxaaxaaxaaxaxaxaxaxaaxaaxaxaaxaaML111210111111121(3.20)再将(3.20)的分子上的行列式按最后一行作Laplace展开,并且除MLjjjxa0的代数余子式外,其它各余子式均有按其最后一列作Laplace展开,则由逆矩阵的定义知MLjTMLjjMLMLWMLxxaML011,(3.21)其中MLW1是下述矩阵的逆矩阵:MLMLLLLLMLMLxaaxaaxaaxaaMLW11121,(3.22)而TLMLMLaaaML,,,21,(3.23)如果j<0,则规定0ja.当L<M时,(3.21)式中的和式00MLjjjxa.纵使当M>L+1时,出现x的负幂,等式(3.21)也照样成立.按照同样的方法也可得到另一种紧凑表达式nLjTnLjjMnLMLWMMLxxaML011,其中Mn0.(3.24)关于有理分式函数的Padé逼近,有定理10(Padé)函数xf0具有形式muuultttxexcxf1001,(3.25)必须且只须它的Padé逼近为xfML0,(3.26)只要mMlL,.证明若(3.25)的幂级数展开式为00tttxdxf,(3.27)则有(10e)lttttttmuuuxcxdxe000.(3.28)选取任一给定的满足0.10h的h次多项式xh,并取lttthLrrrLxcxxpxP00(hlL),muuuhMsssMxexxqxQ00(hmM),则由(3.28)可知它们满足定义[L/M]Padé逼近的方程组(3.13).这表明由(3.25)定义的xf0确为它自己的[L/M]Padé逼近.反之,若对所有mMlL,,恒使(3.26)式成立,则由Padé逼近方程,知1000MLtltttttmuuuxOxcxgxe.(3.29)因为10e,对比(3.13)即可发现在每一方程中,具有最高下指标的tg的系数正好是1.0.考虑足够大的L和M,采用把(3.29)右端看作是0的方法,可以得到任意x次幂的系数.因此(3.29)提供了唯一由(3.26)给出的关于tg的解.因为tg等于(3.27)中的td,此即由(3.26)推出了(3.25).定理证毕.定理11给定任一形式幂级数(3.8)(00a),下面事实成立:1对任一固定M,均存在jL的一个无穷序列,使得MLj恒存在;2对任一固定L,均存在jM的一个无穷序列,使得jML恒存在;3对任一固定J,均存在一无穷序列jM,使得jjMJM恒存在;该定理是Baker于1973年建立的.它表明,任一形式幂级数总是可以用Padé逼近方法而获得其有理逼近的.例2求3ln21,11,tanhxx的逼近.先引出xxtanh的[2/4]Padé逼近,并以x[2/4]作为xtanh的逼近.考虑xxtanh的幂级数89674523285562315171523tanhxxxxxx,列出相应方程组(3.13),则可求得232212xxP,44224105731xxxQ.因而422420008670987.01293159601.010157853448.05493061443.042xxxxQxP.相应的xtanh(11x)的[3/4]逼近为xQxxP42:4220008670987.01293159601.010157853448.05493061443.0xxxx.常按下法来估计Padé逼近的误差上界:取xxxQxPtanh42幂级数展开式中第一个非零项作为误差项,即为8999225x.于是用x[2/4]逼近xtanh的相对误差函数是xxxxxQxPxQxxxtanhta