幂级数及和函数

幂级数及和函数 第五节 幂级数及和函数 5.1 , 当函数项级数中的u(x),n ,0n nau(x),a(x,x),其中为常数x,Rnnn0 (n,1,2,3？), 称 , nn2a(x,x),a，a(x,x)，a(x,x)，？，a(x,x)，？,nn001200 n,0 （5.1） (x,x)x,0为关于幂的级数, 当时，称 00 , n2n ax,a，ax，ax，？，ax，？,n012n ,n0 （5.2）为关于幂的级数. x y,x,x 只要引入新变量，(5.1)式即可化为0 (5.2)式形式,因此,我们只要研究形如(5.2)式的幂级数就行了. 263 , nnR 由幂级数中ax在上有定义,axn,n n,0 , n，1n那么在哪些点收敛呢?我们知道ax与ax,n，1n n,0 nax有公因式,因此,我们可用绝对值的比值判别法, n ，1naxa，1n，1n由 , lim,limxn,,,,nnaaxnn aann，1(?)若lim存在且不为,则极限lim也存0 n,,n,,aan，1n在且不为,于是 0 aann，1 xlim,1x,lim当 即 时,幂级数 n,,n,,aan，1n , n绝对收敛. ax,n n,0 aann，1 xlim,1x,lim当 即 时,幂级数 n,,n,,aan，1n 264 , n发散. ax,n n,0 aan，1n 当lim,1 即 ,lim时,本方法失xx n,,n,,aan，1n 效. ,ann从而我们发现lim是收敛与发散的分ax,nn,,an,0n，1 an ,lim界线,设 R, n,,an，1 , n(,R,R)则在内绝对收敛，当时发axx,R,n n,0 散，是否收敛需用其它方法判别，下面我们再x,R R讨论值的极端情形 an R,lim,0 （??）若，有 n,,an，1 an，1 lim,，,, 于是 n,,an 265 ,ann，1lim,，,,1x当时，，发散. axx,0,nn,,an,1n ,ann，1lim,0,1x当时，，收敛. axx,0,nn,,an,1n , n(0,0),,即在内绝对收敛，在时发axx,0,n n,1 散. aann，1 lim,，,lim,0 （???）若，则， n,,n,,aan，1n an，1lim,0,1x于是对每一个,, x,R n,,an , n(,,,，,) 即在内绝对收敛，由此得到下面ax,n n,0 的定理 , n 14-ax,n n,0 an lim,R , n,,an，1 266 , n(,R,R)?ax0,R,，,,n n,0 ; x,R , n??axR,0x,0,n n,0 ; x,0 , nR,，,(,R,R)???ax,n n,0 . ，1naxax，1n，1n （?）由, lim,lim,xn,,,,nnaRaxnn ,xn,1当，即时，级数绝对收敛. axx,R,nRn,0 ,xn,1当，即时，级数发散. axx,R,nRn,0x ,1当，即时，本判别法失效需根据具体的x,R R 级数用其它方法判别. 267 对（,）（,）情况的证明与 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 （,）（,）一样， 同理可证. 有时还用下面定理 , n 15 ax,n n,0 1 . lim,R nn,,an , n(,R,R)（,）ax0,R,，,,n n,0 x,R , n（,）axR,0x,0,n n,0 x,0 , nR,，,(,R,R)（,)ax,n n,0 . . R(,R,R)因此，我们称为幂级数的收敛半径，称为 幂级的收敛区间. 268 , nD设幂级数的收敛域为，有 ax,n n,0 (,R,R),D,[,R,R] D(,R,R)所以收敛域是收敛区间与收敛端点的并集. anaalim注 若与有公因式，并且存在（或）, ,n，1nn,,an，1用定理13求; R 1 a若中有n次方，并且存在（或）, 用,limnnn,,an R定理14求. 对于不是标准形式的幂级数，应用绝对值的比值判别 R法或绝对值的根值判别法求. 1 求下列幂级数的收敛半径，收敛区域及收敛 域: n,,2x,n1nn （1）; （2） (,1)ax,, n,1,n1n(0,a,1); 269 nnn,,3，(,2)xn （3）; （4）; (x，1),, n!n,1,nn1 2n,(x,1) （5）. ,nn,4,n1 （1）由 11n,(,1) an，1nn lim,lim,lim,1,R, n,,n,,n,,1ann1n，(,1) n，1 ,,1,1,n1由时，收敛，时，发(1),x,1x,,1,, nn,,n1n1 散, (,1,1)故收敛半径，收敛区间是，收敛域是R,1 ，,,1,1. 11 ,,，,limlim （2）由, 故收敛半n2n,,n,,nana R,，,(,,,，,)径，收敛区间是，收敛域是(,,,，,). （3）由 270 1 an!n, lim,lim,lim(n，1),，,,R n,,n,,n,,a1n，1 (n，1)! R,，,(,,,，,)故收敛半径，收敛区间是，收敛域 (,,,，,)是. （4）由 nn，,3(2) nnnan，13，(,2)1n ,,,,,Rlimlimlimn，1n，1n，1n，1n,,n,,n,,an3,3(2)，,3(2)n，1 n，1 421 , 故收敛半径，收敛区间是(,,,)，当R, 333 4 时， x,, 3 级数为 2n()nnn,,,3(2)1(1)，,,n3(1), ,,,，,,,nnnn3,,,nnn111 271 2n()n,,(,1)3由级数条件收敛，而对于级数, 由,, nn,,1n1n 22n，1n()() 233lim,,1于，收敛 n,,nn，13 nn,43，(,2)n因此，时，级数收敛, x,,(x，1), 3n,n1 2 当时，幂级数为 x,, 3 2n(,)nn,,,1，,3(2)1n3 (),，,,, n3nn,,,n1nn11 由于上式右端第一个级数发散，第二个级数收敛，所 42，, ,,,,,以原级数发散，故收敛域是. 33，, （5）此级数缺项，级数不符合公式的要求，我 们可直利用绝对值的比值判别法. 由 272 22n，x,(1) 21n，2ux,1n，(1)4x,n(1)1n， ,,,,limlimlim2nn,,n,,n,,un，414x,(1)n nn,4 , 2 x,1 当，即时，幂级数绝对收敛，,1x,1,2 4 时，幂级数发散，所以收敛 半径，x,1,2R,2 (,1,3)收敛区间是. 2n,,(2)1, 当时，幂级数为发散. ,x,,1,,nn4n,,,nn11 2n,,21当时，幂级数为发散, 故收敛,x,3,,nn4n,,,nn11 (,1,3)域是. R对于求不是标准形式幂级数的收敛半径，也可以先作变量代换，化成标准形式，然后用公式来求收敛半 R径. 对于（5）我们也可采取下面的解法 273 2nn,,(x,1)y2设，有. 由 (x,1),y,,,nnn4n,4,,nn11 1 na,4nn , lim,lim,4n,,n,,a1n，1 n，1(，1)4n n,y 所以当时，绝对收敛，当时发y,4y,4,nn,4,n1 2n,(x,1)2散，因此，当, 即(x,1),4x,1,2,nn,4,n1 时，绝对收敛，时发散，故 x,1,2R,2以下求收敛区间，收敛域方法相同. 5.2 5.2SxS,S(x).274 . , n 16 ax,n n,0 R,0 (,R,R)S(x) 1 ; (,R,R) 2 ; (,R,R) 3 . 2nS(x),a，ax，ax，？，ax，？ , 012n ,（5.3） 则 x,R S(x) （i）在上连续; x,R （ii） dn,S(x),[a，ax，？，ax，？]n01 dx dddn,a，ax，？，ax，？ n01 dxdxdx n,1,a，2ax，？，nax，？ , 12n 275 ; （5.4） x,R （iii） xxn S(x)dx,[a，ax，？，ax，？]dxn01,,00 xxxn,adx，axdx，？，axdx，？ 01n,,,000 aa2nn1,ax，x，？，x，？ , . x,R0 2n （5.5） x,(,R,R) *（1）只要证明对每一个时，0 x,xS(x)在处连续. 0 x,(,R,R)R当，取一正数，使，x,R,R0101 R,(,R,R)x,R由，有幂级数在绝对收敛，即11,, nn 收敛. aR,aR,,n1n1 ,,n0n0 nnx,[,R,R]对一切,有，由ax,aR11nn1276 , n 收敛, aR,n1 n,0 n[,R,R][,R,R]则级数在上一致收敛，且ax在n1111 [,R,R]S(x)上连续, 由第四节定理4知在上连续，11 x,(,R,R)S(x)由，所以在上连续. [,R,R]011 R （2）对于任意，取一正数，使x,(,R,R)1 , x,R,R1 [,R,R]由（1）知级数在上一致收敛，由第四节定11 理5知，可以由到逐项积分，即时 xx,R0 ,,,xxxannn，1nfxdxaxdxaxdxx(),(),,,,,nn,,,000n，1n,nn,,000 , （5.6） ,,设幂级数（5.6）的收敛半径为，有. RR,R nn,1,(ax),nax （3）由，下面证明nn , n,1在内绝对收敛，事实上，任给naxx,R,n n,1 Rx,(,R,R)，取一正数，使, 于是 x,R,R11 277 n,1 xnnn,1. ,,naxaRnn1 RR11 n xn，1 RRx11由时，, 由比值判别lim,,1x,R1n,n,,R1xn RR11 法知 n,1n,1,nxnx 收敛，从而，于是，lim,0,n,,RRRRn,11111 N,n,N存在当时，有 00 n,1 nxnn,1,1, 于是 . nax,aRnn1 RR11 ,, nn,1x,(,R,R)由收敛，所以在aRnax,,1n1nn,1n,1 (,R,R)绝对收敛，即在内绝对收敛，由第四节定理 (,R,R)6知，级数在内逐项可导，即 278 ,, ,nn1,,. S(x),(ax),nax,,nn ,,n0n1 （5.7） ,,,,设 （5.7）的收敛半径为，则 RR,R ,,a，n1nn,,现证 ，由 , R,R(x),ax,,n n，1,,n0n0 ,,,由（3）知 , 又 , 所以. R,RR,RR,R ,,再证 由 R,R ,,xn,n1, naxdx,ax,,nn,0,,nn11 ,,,,,,由（2）知 , 又 , 所以. R,RR,RR,R s(x) 1 5.1 (,R,R)(,R,R)S(x) R 2n,1,S(x),a，2ax，3ax，？，nax，？ ; 123n n,2,,S(x),2a，3,2ax，？，n(n,1)nax，？23n ; (n)S,n!a，(n，1)n(n,1)？2ax，？ . (x)nn，1 S(x) 2 5.1 279 S(x)5.1x,0 x,0 n() (0)S a,S(0), , , an0 n! n,1,2,3,？ . S(x)这个推论表明若级数（5.1）在上和函数(,R,R) 在的各阶导数所唯一确定 x,0 , n同理 若 ，则 S(x),a(x,x),n0 ,n0 (n)S(x)0a,(n,0,1,2,？) . n n! ,, nn 设，为两个幂级数, axbx,,nn n,0n,0 ,, nn axbxx,0,,nn n,0n,0. 280 ,, nn 17 axbxx,0,,nn n,0n,0 a,b, n,0,1,2,？ . nn 32 ,, nn 18 axbx,,nn n,0n,0 RR ba ,, nn, ; ,ax,,axx,R,,ann ,,nn00 ,,, nnn, ; x,Rax,bx,(a,b)x,,,nnnn ,,,n0nn00 ,,, nnn , (ax)(bx),cx,,,nnn ,,,n0n0n0 . x,R n ,,R,minR,R. c,ab,,abnknk, k,0这个定理证明可由数项级数的相应性质推出, 最后我 281 们简略叙述一下幂级数的除法运算. , nR,0设幂级数的收敛半径分别为且ax,an n,0 , na,0R，设的收敛半径分别为, bx,0bn n,0 , nbx,n, n,n0c,cx记 , 为待求系数，有 ,nn, n,n0ax,n ,n0 ,,, nnn, 有 bx,ax,cx,,,nnn,,,nnn000 n n,0,1,2,3？ , . b,ac,nknk, k,0 b0b,ac，解得 . c,0000 a0 b,ac，ac , 解得 10110282 b0b,a11 aab,ab00110. c,,12aa00 c(n,0,1,2,？)如此下去可求出. n , nR但是必须注意, 若的收敛半径为，则cx,n n,0 ,,R,minR,R. ab 2 求下列幂级数的收敛半径，收敛区间，收敛 域及和函数 n,,xn,1 （1）; （2）. nx,, nn,1n,1 （1）求收敛半径除了用公式求，也可以在求 幂级数和函数的过程中，利用本节定理3来发现收敛 R半径，从而确定收敛区间与收敛域. n,x x,(,R,R) 设， ， (),Sx, n,n1 S(0),0. 由本节定理3知 283 n,,x1,n1,,, S(x),(),x,x,1,, n1,x,,n1n1 (,1,1)所以，收敛区间为，当时，R,1x,,1 n,(,1) 收敛, , n,n1 ,1,，,1,1当时，发散，故收敛域为. x,1, n,1n x ,,,S(x)dx,S(x),S(0) 由, 即 ,0 x , （这个,，S(x)S(0)S(x)dx,0公式要记住，以后要经常用，同理在求 , nS(x)的和函数时，有a(x,x),n0 ,n0 x ,）. S(x),S(x)，S(x)dx0,x0 x1 S(x),dx,,ln(1,x)有 , ,01,xx,(,1,1). ,ln(1,x)由级数在处收敛，在处连x,,1x,,1 284 续，所以 n,x , ,,ln(1,x), n,n1 ，,x,,1,1. , nx,(,R,R)S(x)注 设, ， S(x),ax,n ,n0 是初等函数表达式. , nS(x) （?）若在 处收敛，在axx,,R,n n,0 处连续，则 x,,R , n . S(,R),a(,R),n ,n0 , n （??）若在 处收敛，且axx,,R,n n,0 , nS(x)，在处不连续，则 a(,R),cx,,R,n ,n0 285 S(x),RxR;,,,,, ,n在处，也有axx,R,,,n c,xR.,,,n0, , 类似的结果, 证明略. , ,n1x,(,R,R) （2）设, . S(x),nx, ,n1 ,,xxxn,n1 , S(x)dx,nxdx,x,,,,,001,xnn,,11. x,1 (,1,1) ，收敛区间是，当时，？R,1x,,1 , n,1,n1limn(,1),,，由, n(,1),n,,,n1 , ,n1(,1,1)所以发散，故收敛域是. n(,1), ,n1 x1x ,, ()(())(),Sx,Sxdx,,,201,x(1),x ,1,n1x,(,1,1)nx,故 , . ,2(1,x),n1 286 这两 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 是重要的基本题，有许多题目都可以转化为这 两种类型或者用这两题的结果或者用这两题方法. ，n1n,,xx 3 （1） ; （2）,x,, nn,,n1n1 ,n1n,,1xx , ,0当x,, nxn,,nn11 从而 ,ln(1,x), ,,1,x,0或0,x,1;n,1,,xx,,, nn1,1,x0.,, , 2nn,,xy2 （3）; ,xy,, nn,,n1n1 n,,x11n （4） ()x,,,, n(n1)nn1，，,,nn11 ，nnnn1,,,,xxx1x ,,,,,,,, nn，1nxn，1,,,,nnnn1111 287 nnnn,,,,11xxxx ,,(，,),,，1xx,,,, nxnnxn,,,,nnn111n2 n,1x , ,(1,)，1, xn,n1(x,0),而时，和为; x,00 ,, ,nn1 （5）; （6）nx,xnx,, ,,n1n1,, 2n2n. nxx,yny,, ,,n1n1 （7） ,,,11,,,n2n1n1 nx,nx,(nx，1,1),,, xx,,,n2n2n2 ,11,n1 , ,,nx, xx,n1(x,0)，时，和为; 2x,0 4 求幂级数 ,,,,，aaaan(1)(2)？(1)n，的和函数，ax1, n!,n1 288 是任意的常数. 设 ,,,,，aaa？an(1)(2)(1)n, ,，fxx()1, n!,n1 由 ？？a(a,1)(a,2)(a,n，1)a(a,1)(a,2)(a,n,1，1) lim n,,n!(n，1)! ，1n (,1,1)，即，所以收敛区间为,lim,1R,1 n,,,an 逐项求导，得 ,aaa？an(,1)(,2)(,，1),n1,fxx(),, n(,1)!,n1 ,,,,aaa？an(1)(2)()n ,x, n!,n0 ,,,,aaa？an(1)(2)()n ，,，ax, n!,n1 两边同乘以，得 x 289 ,,,,aaa？an(1)(2)()，n1,,，xfxaxx(), n!,n1 ,aaa？an(,1)(,2)(,，1)n, x,, n(,1)!,n1 上下两式相加得 ,a(a1)(a2)？(an)a(a1)(a2)？(an1),,,,,,，nn,(1x)f(x)a[xx]，,，，, n!(n1)!,,n1 ,a(a,1)(a,2)？n,a，(a,n，1)x, n!,n1 ,,,,，aa？an(1)(2)(1)n, ,，aax, n!,n1 ,(1，x)f(x),af(x)即有 , 或 ,f(x)a , ，两边积分有 (x,1), f(x)1，x ,xxf(x)a dx,dx,aln(1，x) , ,,00f(x)1，x 于是 290 lnf(x),lnf(0),aln(1，x) , 由f(0),1, 有 a ， 即lnf(x),ln(1，x) a. . f(x),(1，x)x,1 ,a(a,1)(a,2)？(a,n，1)na, 1，x,(1，x), n!,n1 . x,1 从以上的例题我们可以得到求幂级数和函数常用的 方法有: （1）利用幂级数的线性运算法则; （2）利用变量代换; （3）利用通过逐项求导，再利用 x ,; ,，S(x)S(0)S(x)dx,0 （4）利用通过逐项积分，再利用 x ,S(x),(S(x)dx). ,0 利用幂级数的和函数，我们还可以求数项级数的和. 291 n2,,n,n，(1)(1) 5 求级数的和. ,n2,n0 n2,,,(,1)(n,n，1)11nn,n(n,1)(,)，(,),,,n222,,,nnn020 ,,111,2n2n , ,(,)n(n,1)(,)，(,),, 222,,nn20 ,112n其中, ,,,(), 123,n0，1 2 , ,n2 设 , S(x),n(n,1)x, ,n2 x,(,R,R). 2,xxxn, ，[S(x)dx]dx,x,x,1,,,001,xn,2 . ？R,1 2x2 ,,S(x),(),故 , 31,x(1,x) 292 x,(,1,1). 1 而，有,,(,1,1) 2 ,11216,n2, nn,,,S,,,(1)()(), 122273,n2,(1) 2 n2,nn,,，(1)(1)116222故 . ,,，,,n4273272n,0 第六节 函数展成幂级数 6.1 现在我们要解决本章开始所提出的问题，如何把 f(x)表示成无限个幂函数之和，即展成的幂级数. x xf(x) 由泰勒公式知，设在的某邻域内具有0 阶导数，则对于该邻域内的任一点，有 xn，1 ,,,f(x)f(x)200f(x),f(x)，(x,x)，(x,x)，？000 1!2! (n)f(x)n0，(x,x)，R(x), 0n n! 293 (n),f()n，1,其中， 介与R(x),(x,x)n0 (n，1)! x，之间. x0 (n),f(x)n0f(x)若存在任意阶导数，且(x,x),0 n!n0, R的收敛半径为，则 (n),f(x)f(x)2n00f(x),lim[(f(x)，)(x,x)，？，(x,x)，R(x)]000nn,,n!n! ,有 (n),f(x)n0f(x),(x,x)的充要条件: 是,0 n!n0, 时，. limR(x),0x,x,Rn0n,, 若, limR(x),0,x,x,Rn0n,, (n),f(x)n0f(x),(x,x)，limR(x)由 , ,0kk,,n!0n, (n),f(x)n0,(x,x), x,x,R.,00 n!n0, 294 . 反之，当时，当x,x,Rx,x,R00 (x),f(x)n0, f(x),(x,x),0 n!n0, (11)kf(x)n0由, R(x),f(x),(x,x),k0 n!,0n ()nkf(x)n0 limR(x),lim[f(x),(x,x)],0k,,,,kkn!,0n (n)(n),,f(x)f(x)nn00,(x,x),(x,x),0,,00 n!n!n0n0,, . 因此有下面的定理 f(x) 19 x,x,R0 , ()n,f(x)n0(x,x),0 n!0n, x,x,Rx,x,R00 (n),f(x)n0f(x),(x,x) ,0 n!n0, （6.2） 295 (n，1),f()n，1. limR(x),lim(x,x),0n0n,,n,,(n，1)!（6.3） 由泰勒公式知 (0)kf(x)n0 , f(x),(x,x)，R(x),0k n!,0n 令 ，有 k,, (n)kf(x)n0 f(x),lim[(x,x)，R(x)] ,0kk,,n!,0n (n),f(x)n0(x,x) 由在内收敛，即 x,x,R,00 n!n0, ()()nnk,f(x)f(x)nn00lim(x,x),(x,x),,00,,kn!n!,00,nn . 若时，，由极其限运算知limR(x),0x,x,Rk0k,, 296 (n),f(x)n0. f(x),(x,x),0 n!n0, x,xf(x)(6.3)右边的级数称为在处的泰勒级数，0 x,0当时，泰勒级数为 0 nn()(),,,,ffff(0)(0)(0)(0)nn2f，x，x，，x，,x(0)？？, nn1!2!!!,n0 f(x)称为的马克劳林级数. 6.2 f(x) 由上面定理可知用定义把展成泰勒级数的 步骤如下： n()f(x),n,0,1,2,？（1）计算 ; 0 (n),f(x)n0（2）写出对应的泰勒级数 (x,x),,0 n!n0, 并求出该级数的收敛区间; x,x,R0 （3）验证时，; limR(x),0x,x,Rn0n,, （4） 297 (n),f(x)n0 f(x),(x,x),x,x,R.,00 n!n! n()有时用定义展开比较麻烦或者f(x)不容易求，或0者证明比较困难， limR(x),0nn,, 16 2 . 6 证明以下五个常用的马克劳林展开式 n2n,xxxx (1), ,,，，，？，，？e1x, n!2!n!n,0 x,(,,,，,); (2) ，，2n1372n1,xxxxnn,,,,,，，,，sinx(1)x？(1)？, ，，(2n1)!5!7!(2n1)!,n0 x,(,,,，,),; (3) 298 2n2462n,xxxxxnn,,,,，,，，,，cosx(1)1？(1)？, (2n)!2!4!6!(2n)!,n0 x,(,,,，,),; (4) ，n1234n,xxxxx,nn1ln(1，),(,1),,，,，，(,1)，xx？？, ，1234nn,n0 x,(,1,1),; ,,,，aaan(1)？(1)an (5) ，,，xx(1)1, n!,n1 a(a,1)a(a,1)？(a,n，1)2n,1，ax，x，？，x，？ 2!n! x,(,,,，,), . x(n)x （1）设f(x),e，有f(x),e，(n)0n,0,1,2,？f(0),e,1， . f(x)于是的马克劳林级数为 (n)n,,f(0)xn,, x,, n!n!,,nn00 299 n,x (,,,，,)由的收敛数区间为，由任给, n!,0n x,(,,,，,), , en，1,, 介于与之间, 而 Rxx(),x0n n(，1)! n，1 xx , 由 0,R(x),e,n (n，1)! n，1n，1 xxxxxlime,,elim,e,0,0. n,,n,,(n，1)!(n，1)!由夹逼定理知, limR(x),0nn,, n,xxx,(,,,，,)所以 , . ,e, n!,n0 n,(n)f(x),sinxfxx（2）设，有(),sin(，), 2n,0,1,2,？从而 300 当nm0,,2;, ,n,()n f(0),sin,,m2当nm(,1),,2，1,, , , m,0,1,2,？ f(x)于是的马克劳林级数为 2m，12n，1,,xxmn 收(1)(1),,,,,, (2m，1)!(2n，1)!m,0n,0 (,,,，,)敛区间是. 任给, x,R ,n，1 sin[，(n，1)]x,(n，1) f(),n，12R(x),x,n (n，1)!(n，1)! ，而 n，1 x 0,(),,0Rx n (，1)!n (n,,), 由夹逼定理知 ，所以limR(x),0nn,, 301 2n，1,xnx,(,,,，,), . sinx,(,1), (2n，1)!n,0 ，2n1,xn（3）由, sinx,(,1), (2n，1)!,n0 x,(,,,，,) 在收敛区间内逐项求导有 ，2n12n,,xxnn,,, ,,,,(sinx)[(1)](1),, (2n，1)!(2n)!,,n0n0即 2n,xn , ,,cosx(1), (2n)!,n0 x,(,,,，,). 2n,xn由唯一性定理知 , ,,cosx(1), (2n)!,n0x,(,,,，,). n,x（4）由本节例2知 , ,ln(1,),x, n,n1 ，,x,,1,1. 用代换得 x,x 302 nn,,(,)xxn, ,ln(1，),,(,1)x,, nn,,n11n . ,1,x,1 从而 nn，1,,xxn,1n, ln(1，x),(,1),(,1),, nn，1n,1n,0 . ,1,x,1 n，1,xn由唯一性定理知 , ln(1，x),(,1), n，1n,0 ，,x,,1,1. ,1nn 方法2 由, ,(,1)x, 1，x,n0 . 两边积分有 ,1,x,1 ,xx1n , 有dx,(,1)dx,,,001，x,n0 n，1,xnx,(,1,1), . ln(1，x),(,1), n，1n,0 303 ,1nln(1，x)由时，收敛， 在x,1(,1)x,1, n，1,n0处连续，所以 ,1n ，因此 ln2,(,1), n，1,n0 n，1,xn，,x,,1,1, . ln(1，x),(,1), n，1n,0（5）由本节例4证明了 ,,,，aa？an(1)(1)an, ，,，xx(1)1, n!,n1x,(,1,1). 由唯一性定理知 ,,,，aa？an(1)(1)an, ，,，xx(1)1, n!,n1x,(,1,1). 对于收敛区间端点的情形，它与的取值有关，（有a 关结果的证明可参阅菲赫金哥尔茨著“微积分学教 程”第二卷第二分册） (,1,1)当时，收敛域为，当时，收a,,1,1,a,0 304 ，,,1,1[,1,1]敛域为, 当时，收敛域为. a,0以上几个基本函数的马克劳林展开式都非常重要，要 求能熟练掌握它们还有两个更经常用到的函数的马 克劳林展开式也要记住. ,1n , ; ,xx,1, ,x1,n0 ,1nn, . ,(,1)xx,1, 1，x,n0 6.3 一般说来，只有少数简单的函数，其幂级数展开 式能直接从定义出发，得到它的马克劳林展开式，更 多的函数是根据唯一性定理, 利用已知的函数展开式出发（尤其是上面提到了七个基本函数的马克劳林展 开式），通过线性运算法则、变量代换或逐项求导、 逐项积分等方法间接地求得函数的幂级数展开式. 实质上函数的幂级数展开是求幂级数和函数的 逆过程 305 7 求下列函数的马克劳林展开式 11 arctanx（1）; （2）; （3）; （4） 1，x1，x1 ; （5）. arcsinx 21,x ,1n （1）由, ，于是 ,(,1)x,1, 1，x,n0 ,1nn, . ,(,1)xx,1,21，x,n0 ,xx1nn2 （2）, dx,(,1)xdx,,,2001，x,n0 2n，1,xnx,(,1,1), . arctanx,(,1), 2n，1n,0 ,1narctan当时，收敛，x在x,1(,1)x,1, 2n，1,n0 处连续, ,1，n1arctanx当时，收敛，在x,,1(,1), 2n，1,n0 处连续，因此 x,,1 306 2n，1,xn , arctanx,(,1), 2n，1n,0 x,[,1,1]. 我们还可以求得数项级数的和 ,,1n. ,,,(1)arctan1, ，2n14,n0 （3） 111 1,,,,,，？n()(1)(1),,1n2222,，,，xx(1)1, ，xn1!,n1 ,,,,,,135(2n1)(2n1)!!？nnnn,，,,，,1(1)x1(1)x,, ,,2462n(2n)!!？,,nn11 x,(,1,1), . （4） ,,,,nn1(21)!!(21)!!n2n2n,，,,,，xx1(1)()1,,2nn(2)!!(2)!!,,,x1n1n1 x,(,1,1), . 307 ,xx,1(2n1)!!n2（5）, ,，dx[1x]dx,,,002(2n)!!,,1xn1有 ,n(2,1)!!1，2n1 , xxxarcsin,，, nn(2)!!2，1,n1x,(,1,1). 8 把下列函数展成马克劳林级数: x （1）; （2）f(x),21，x,2x 11，x1 f(x),ln，arctanx,x. 41,x2 （1） xx111 f(x),,,[,]2,x，x,x，x(1)(12)3112，x,x12 ,,,11nnnnn, ,x,(,2)x,[1,(,2)]x,,, 33,,,nn0n00 1 x,. 2 308 11111 ,（2）由 f(x),(，)，,1241，x1,x21，x ,,14n4n , ,,1,x,1,x,,41,x,,n0n1f(0),0且，故 n，41,,xxxn4,, f(x),f(x)dx,xdx,,,,,004n，1n,n,11 . ,1,x,1 2 9 把展成马克劳林级数 f(x),ln(1,x) f(x),ln(1,x)ln(1,x) ，，n1n1,,xx ()(),,,,, 11n，n，,,n0n0 ，，n1n1,,xx ()(),,, 11n，n，,,n0n0 ,1111，n2 ,(1,，,，？，,1)x, n，12nn，1,n0 309 ,1111111，n2[(1)()？(1)]x,，，，，，，, n1n22nn2n1n2，，，，，,n0 ,111，n2？x,2(1，，，), nn2，1，2,n0 ，n2,11x ,. ,2(1，，？，)x,1, 2n，1n，2,n0 如果掌握了把函数展成马克劳林级数的方法，对 x,xf(x)于把函数展成的幂级数时，只需把转化0 x,xx,xtt成的表达式，把看成，展成的幂级数00x,x即的幂级数，对于较复杂的函数，可设0 x,x,t，于是 0 ,, nn. f(x),f(x，t),at,a(x,x),,nn00 ,,nn00 1 (x,3) 10 把展成的幂级数. f(x), 1，x310 111 f(x),,, 1，x1，x,3，34，x,3 ,111x,3nn,,(,1)(), x,3444,n01， 4 n,(,1)x,3n,1, . ,(x,3),，n144,n0 x,1 f(x),lnx 11 把按分式的正整数幂 x，1 展开成幂级数. x,11，t 设,t, 解得 , 有 x, x，11,t 1，t f(x),lnx,ln,ln(1，t),ln(1,t) 1,t ，，n1n1,,ttn ,(,1)，,, n，1n，1,,n0n0 ，2m1,,21tx,x,1，2n1,12()., ,,,, x，121211m，n，x，,,m0n0 311 即. x,0 f(x)利用函数的幂级数展开和唯一定理，还可以求 x,x在处的高阶导数 0 2x(n)f(x),e 12 ， 求. f(0) (n) 由于不容易求，所以直接求不出f(x) (n). f(0) n,xxx,(,,,，,)由 , ， 于是 ,e, n!,n0 2m,2xx (),,,fxe, !m,m0 n()f(0)()n,af(0),an!由 ，即 , nn n! n,0,1,2,？. (2m，1)f(0),a(2m，1)!,0所以 , 2m，1m,0,1,2,？, 1(2m)f(0),a(2m)!,(2m)!, 2m m!m,0,1,2,？. 312 第七节 幂级数的应用 7.1 在函数的幂级数展开式中，取前面有限项，就得 到函数的近似公式，这对计算函数值较难用十进制表 示的函数是非常方便的，可以把函数近似用的多项x式来表示，而多项式的计算只需用到四则运算，非常 简便. 例如 当很小时，有 x 33xx x,x,,x, ; ; sinx,xsin 3!6 3565xxxxsin,？x,x,，,x,，. 3!5!6!120! 和它的近似公式的图形，如图12-2. sinx 2x x,,同样;; cosx,1cos1 2 313 24xx cosx,1,，,？. 224 2x ，x,x,ln(1，x),x， ， ln(1) 2 23xx ln(1),？，x,x,， . 23 Y y=x 5x13y=x- x+ 1206 OX y=x- 13 x6 图12-2豆丁网（DocIn）是全球优秀的C2C文 档销售与分享社区。 豆丁允许用户上传包括 .pdf, .doc, . ppt 关于艾滋病ppt课件精益管理ppt下载地图下载ppt可编辑假如ppt教学课件下载triz基础知识ppt , .txt 在内的数十种格式的文档文件，并以Flash Player的形式在网页中直接展示给读者。简而言 之，豆丁就如同文档版的Youtube。现在每天都有数以万计的文档会上传 到豆丁，正基于此，豆丁将致力构建全球最大的中文图书馆。 豆丁努力使世界上任何人都能够自由地发挥他们的创造力。文档资料 只通过少数、单一的出版物来传播的时代已经结束。现在，互联网给文档 资料提供了世界范围内的传播渠道，豆丁希望能够给每个独立的文档持有 314 者利用这个新机会的方法。现在，我们为原创人群提供安全、自由、民主、 便利的文档发布与营销平台。借助豆丁，你可以为你的文档定价，并通过 豆丁发表到不同博客、论坛、联盟中，进行广泛传播，在分享的同时获得 收入回报。 315