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：在极坐标系下二重积分的计算
第九节 在极坐标系下二重积分的计算
根据微元法可得到极坐标系下的面积微元
d,,rdrd,
注意到直角坐标与极坐标之间的转换关系为
x,rcos,,y,rsin,,从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式为
(9.1) f(x,y)dxdy,f(rcos,,rsin,)rdrd,,,,,DD
内容
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分布图示
? 利用极坐标系计算二重积分
? 二重积分化为二次积分的公式
? 例1 ? 例2 ? 例3
? 例4 ? 例5 ? 例6
? 例7 ? 例8
? 内容小结 ? 课堂练习
? 习
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
6-9
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内容提要:
一、二重积分的计算
,,,,,,,(r,,) 1(如果积分区域介于两条射线之间，而对内任一点，其极径DD
r,,(,),r,,(,)总是介于曲线之间(图6-9-2)，则区域的积分限 D12
,,,,,,,(,),r,,(,). 12于是
f(x,y)dxdy,f(rcos,,rsin,)rdrd,,,,,DD
,,(,)2(9.2) ,d,f(rcos,,rsin,)rdr.,,(),,,1
(,,,) 具体计算时，内层积分的上、下限可按如下方式确定:从极点出发在区间上任
,(,),,(,)意作一条极角为的射线穿透区域(图6-9-2)，则进入点与穿出点的极径就D,12
分别为内层积分的下限与上限.
2(如果积分区域是如图6-9-3所示的曲边扇形，则可以把它看作是第一种情形中当D
,(,),0,,(,),,(,)的特例，此时，区域的积分限 D12
,,,,,,0,r,,(,).于是
,,(,) (9.3) f(x,y)dxdy,d,f(rcos,,rsin,)rdr.,,,,0,D
3(如果积分区域如图6-9-4所示，极点位于的内部，则可以把它看作是第二种情DD形中当的特例，此时，区域的积分限 ,,0,,,2,D
0,,,2,,0,r,,(,).于是
2,,(,)(9.4) f(x,y)dxdy,d,f(rcos,,rsin,)rdr.,,,,00D
, 注:根据二重积分的性质3，闭区域的面积在极坐标系下可
表
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示为 D
(9.5) ,,d,,rdrd,,,,,DD
如果区域如图6-9-3所示，则有 D
,,(,),1,,rdrd,,d,rdr,,(,)d, (9.6) ,,,,,0,,2D
例题选讲:
dxdy22x，y,1例1(讲义例1)计算，其中D是由所确定的圆域. 22,,1，x，yD
22sin(,)x，y22dxdy1,x，y,4例2(讲义例2) 计算, 其中积分区域是由D,,22x，yD
所确定的圆环域.
2y22x，y,2x例3(讲义例3)计算, 其中D是由曲线所围成的平面区域. dxdy2,,xD
例4(讲义例4)写出在极坐标系下二重积分的二次积分，其中区域f(x,y)dxdy,,D
2 D,{(x,y)|1,x,y,1,x,0,x,1}.
222222x，y,2y,x，y,4yx,3y,0例5 计算,其中为由圆及直线, (x，y)dxdyD,,D
y,3x,0所围成的平面闭区域.
化为极坐标形式的二次积分,其中是曲线例6 将二重积分f(x,y)d,D,,D
22aa,,2222x,，y,x，y,a, 及直线所围成上半平面的区域. x，y,0,,24,,
22222222(x，y),2a(x,y)x，y,a例7(讲义例5)求曲线和所围成区域的面D积.
222222x，y，z,4ax，y,2ax例8(讲义例6)求球体被圆柱面所截得的(含(a,0)在圆柱面内的部分)立体的体积(图6-9-9).
课堂练习
22,x,y1.计算, 其中D是由中心在原点, 半径为a的圆周所围成的闭区域. edxdy,,D
2222D:x，y,32.计算 其中. |x，y,2|d,,,,D
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