63向量的线性相关性
6.3
一、 向量间的关系
1、 1、设 ,,,,,，，，,aaaV,,,,V,,,,,FaaF，，1122rr11rr
称组合，也可以说向量可由的线性
表
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示。 ,为,，？，,的一个线性,？,,1r1r
2、 2：设若存在中不全为零的数 ,，？，,aa,,,V,FF，，1r1r
使aaa,,,，，，,0 （1）则称线性相关。否则就线性无关。aa,,1122rr1r
即若不存在不全为零的数aa,,使（1）成立，亦即等式（1）仅当 1r
aa,,,0,,，，时才成立，则向量无关。 1r1r
由此定义知
（?）若,,,,中有一个零向量，则它们必相关。 1r
（?）一个零向量必相关。
（?）一个非零向量,,,必无关。
（?）二个非零向量,与相关,,,,,kkF,. ,
性质：
6.3.1：向量组,,,,,中每一向量都可由这组向量线性表示。 ,,1ri
6.3.2：,可由,，？，,线性表示，而每一个,又可由,，？，,表示。 1ri1s
则,可由,，？，,表示 1s
6.3.3若向量组,,,,线性无关。则其任一部分也线性无关。 ,,1r
与其等价的提法是：若,,,,,，，有一部分向量线性相关，则相关。即 ,,,,1r1r
（部分相关整体相关）（整体无关部分无关）。 ,,,
2 3
设 ,,,,,,？,,(1)与,，？,(2), 为V中的两个向量组，若组（1）中每一个1r1sr
,都可用（2）线性表示。而（2）中每一也可以用（1）线性表示。则称这两个向j
量组等价。即（1）?（2）。
二、6.3.6设向量组,,，，,,？,,1,线性无关。且每一向量 均可由向量组 1ri,,,,？,,rs,（2）线性表示。则，并且必要时可以对（2）中向量重新编号，使1s
后，所得向量组 ,,？,替换,,？,1r1r
得用（3）?,, 与（2）等价。 ,,？,,,,,,,,,,1s11rrs，
由上述替换定理可以得出两个重要推论：
1、 推论6.3.7 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量。 定义4、向量组,,的一个部分向量组,,，若 ,？,,？,1n1iir
i,,,线性无关，，iir1
(ii)每一,,, in,1,,都可由线性表示。 iiir1
则称,,,,为向量组的一个极大线性无关部分组简称极大无关组。 ,？,,？,1iir1n
2、推论6.3.8 等价的向量组的极大无关组含有相同个数的向量。
特别，同一向量组任两个极大无关组含有相同个数的向量。反之不然。
定义5：向量组的一个极大无关组所含向量个数称为向量组的秩。
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