(WORD)-【6年高考4年模拟】2013版高考数学 第二章 函数与基本初等函数 第三节 函数、方程及其应用精品
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【6年高考4年模拟】2013版高考数学 第二章 函数与基本初等函数 第三节 函数、方程及其应用精
品试题
【数学精品】2013版《6年高考4年模拟》
第三节 函数、方程及其应用
第一部分 六年高考荟萃2012年高考题
1.[2012?北京卷] 某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图1,6所示(从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m值为(
)
图1,6
A(5 B(7 C(9 D(11
答案:C [解析] 本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的快慢(
法一:因为随着n的增大，Sn取得最大值，只要让随着n的增大Sn，1,Sn的值超过SnnSn，1,S1Sn，1,S1(平均变化)的加入即可，Sn，1,Sn的值不超过(平均变化)的舍去，由图像nn
可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10,11年的时候，改变量明显变小，所以不应该加入，故答案为C.
法二:假设是>SmSnmnSmSm，1Sm,0Sm，1,0即可，也就是>，即可以看mm，1m,0m，1,0
作点Qm(m，Sm)与O(0,0)连线的斜率大于点Qm，1(m，1，Sm，1)与O(0,0)连线的斜率，所以观察可知到第Q9(9，S9)与O(0,0)连线的斜率开始大于点Q10(10，S10)与O(0,0)连线的斜率(答案为C.
2.[2012?上海卷] 海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置
为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长
度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图1,4.现假设:?失
122事船的移动路径可视为抛物线y,;?定位后救援船即刻沿直线匀速前往49
救援;?救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.
(1)当t,0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标(若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船,
7122解:(1)t,0.5时，P的横坐标xP,7t,，代入抛物线方程yx，得P的纵坐标yP,3. 249
由|AP|,949949海里/时( 2
777由tan?OAP,OAP,arctan弧度(
303030
- 1 -
(2)设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t)(
由vt,7t，12t，12，
212整理得v,144 t2，337. 2 t
12因为t2t,1时等号成立( t所以v?144×2，337,25，即v?25.
因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船(
233.[2012?北京卷] 已知函数f(x),ax，1(a>0)，g(x),x，bx.
(1)若曲线y,f(x)与曲线y,g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值;
2(2)当a,4b时，求函数f(x)，g(x)的单调区间，并求其在区间(,?，,1]上的最大值(
2解:(1)f′(x),2ax，g′(x),3x，b.
因为曲线y,f(x)与曲线y,g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以
f(1),g(1)，且f′(1),g′(1)(
即a，1,1，b，且2a,3，b，解得a,3，b,3.
121212322(2)记h(x),f(x)，g(x)(当ba时，h(x),x，ax，ax，1，h′(x),3x，2ax，a. 444
令h′(x),0，得x1,,，x2,,.
2622aa>0时，()与′()的情况如下:
所以函数h(x)的单调递增区间为 ,?，,和 ,，，? ;单调递减
66 2 区间为 ,，,. 2
?,1，即0
6时，函数h(x)在区间 内单调递增，在区间 ,内单调2 6 6 2aa aa a aa 递减，在区间 ,1 上单调递增， 6
121 a2又因h ,,h(,1),1,a，,(a,2)>0， 44 2 a
- 2 -
所以h(x)在区间(,?，,1]上的最大值为h ,,1.
2
4.[2012?浙江卷] 已知a>0，b?R，函数f(x),4ax,2bx,a，b.(1)证明:当0?x?1时， (i)函数f(x)的最大值为|2a,b|，a;(ii)f(x)，|2a,b|，a?0;(2)若,1?f(x)?1对x?[0,1]恒成立，求a，b的取值范围( 解:(1)(i)f′(x),12ax,2b,12a x, .
6a
当b?0时，有f′(x)?0，此时f(x)在[0，，?)上单调递增( 当b,0时，f′(x),12a x，此时f(x)在 02
3
a
2
b
b x,6a b . 6a
b
上单调递增( 6a
b 上单调递减，在 6a
3a,b，b?2a，
所以当0?x?1时，f(x)max,max{f(0)，f(1)},max{,a，b,3a,b},
,a，b，b,2a
,
|2a,b|，a.
(ii)由于0?x?1，故当b?2a时，
f(x)，|2a,b|，a,f(x)，3a,b,4ax3,2bx，2a?4ax3,4ax，2a,2a(2x3,2x，1)( 当b,2a时，
f(x)，|2a,b|，a,f(x),a，b,4ax3，2b(1,x),2a,4ax3，4a(1,x),2a,2a(2x3,2x，1)(
设g(x),2x,2x，1,0?x?1，则g′(x),6x,2,6 x,于是
3
2
3 3 x， ， 3 3
3
故f(x)，|2a,b|，a?2a(2x,2x，1)?0.
(2)由(i)知，当0?x?1时，f(x)max,|2a,b|，a，所以|2a,b|，a?1.
若|2a,b|，a?1，则由?知f(x)?,(|2a,b|，a)?,1.
所以,1?f(x)?1对任意0?x?1恒成立的充要条件是
|2a
,b|，a?1，
a,0，
2a,b?0，
即 3a,b?1， a,0
2a,b,0，
或 b,a?1， a,0.
?
在直角坐标系aOb中，?所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC.
做一组平行线a，b,t(t?R)，得,1,a，b?3.
- 3 -
所以a，b的取值范围是(,1,3](
5.[2012?课标全国卷] 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售(如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理( (1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝，n?N)的函数解析式;
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝)，整理得下表:
以100?若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位:元)，求X的分布列、数学期望及方差;
?若花店
计划
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一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝,请说明理由( 解:(1)当日需求量n?16时，利润y,80. 当日需求量n<16时，利润y,10n,80. 所以y关于n的函数解析式为
10
n,80，n<16，y,
80，n?16
(n?N)(
(2)?X可能的取值为60,70,80，并且
P(X,60),0.1，P(X,70),0.2，P(X,80),0.7. X的分布列为
X的数学期望为EX,60×0.1，70×0.2，80×0.7,76.
X
的方差为DX,(60,76)2×0.1，(70,76)2×0.2，(80,76)2×0.7,44.
?答案一:
花店一天应购进16枝玫瑰花(理由如下:
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位:元)，那么Y的分布列为
Y的数学期望为
EY,55×0.1，65×0.2，75×0.16，85×0.54,76.4.
Y的方差为
DY,(55,76.4)2×0.1，(65,76.4)2×0.2，(75,76.4)2×0.16，(85,
76.4)×0.54 ,112.04.
由以上的计算结果可以看出，DX0,所以零点在区间(0，1)上，选C
【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。
- 14 -
log2x,x 0, 11.(2010天津理)(8)若函数f(x)= log(,x),x 0,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围1 2
是
(A)(-1，0)?(0，1) (B)(-?，-1)?(1,+?)
(C)(-1，0)?(1,+?) (D)(-?，-1)?(0,1)
【答案】C
【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。 由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。
a 0a<0 f(a) f(,a) loga loga或
log(,a) log(,a)2112 2 2
a 0 a 0 或 a 1或-1 a 0 1 1a a a 2
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在(0，1)上时，不等号的方向不要写错。
12.(2010天津理)(2)函数f(x)=2,3x的零点所在的一个区间是
(A)(-2，-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)
【答案】B
【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。 由f(,1) x1,3 0,f(0) 1 0及零点定理知f(x)的零点在区间(-1，0)上。 2
【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。
x2+2x-3,x 013.(2010福建文)7(函数(的零点个数为 ( ) fx)= -2+lnx,x>0
A(3 B(2 C(1 D(0
【答案】B
【解析】当x 0时，令x,2x,3 0解得x ,3;
当x 0时，令,2,lnx 0解得x 100，所以已知函数有两个零点，选C。
【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。 2
- 15 -
14.(2010湖北文)3.已知函数f(x)
A.4 B. log3x,x 0x 2,x 0，则f(f()) 191 4 C.-4 D-1 4
【答案】B 1111【解析】根据分段函数可得f() log3 ,2，则f(f()) f(,2) 2,2 ， 9994
所以B正确.
二、填空题
1.(2010上海文)14.将直线l1:x,y,1 0、l2:nx,y,n 0、l3:x,ny,n 0(n N，*
n 2)围成的三角形面积记为Sn，则limSn 。 n
【答案】1 2
【解析】B(nn,) 所以BO?AC， n,1n,1
1n2n,1 Sn= 2 (2,) 2n,122(n,1)
所以limSn n 1 2
2.(2010湖南文)10.已知一种材料的最佳加入量在100g到200g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 g
【答案】171.8或148.2
【解析】根据0.618法，第一次试点加入量为
110，(210,110) 0.618,171.8
或 210,(210,110) 0.618,148.2
【命题意图】本题考察优选法的0.618法，属容易题。
1, 3x,2,x 3.(2010陕西文)13.已知函数f(x), 2若f(f(0)),4a，则实数a, . x,ax,x 1,
答案 2
【解析】f(0)=2，f(f(0))=f(2)=4+2a=4a，所以a=2
4.(2010重庆理)(15)已知函数f,x,满足:f,1, 1，44f,x,f,y, f,x,y,,f,x,y,,x,y R,，则f,2010,=_____________.
解析:取x=1 y=0得f(0) 1 2
- 16 -
法一:通过计算f(2),f(3),f(4)........，寻得周期为6
法二:取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)
联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故f,2010,=f(0)=
5.(2010天津文)(16)设函数f(x)=x-1 21,对任意x [1,, )，f(mx)+mf(x)<0恒成立，x
则实数m的取值范围是________
【答案】m<-1
【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。
已知f(x)为增函数且m?0
若m>0，由复合函数的单调性可知f(mx)和mf(x)均为增函数，此时不符合题意。 M<0，时有mx,1m111,mx, 0 2mx,(m,) 0 12 2x2因为y 2x2在mxxmxm
1x [1,, )上的最小值为2，所以1+2 2即m2>1,解得m<-1. m
【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。
6.(2010浙江文)(16) 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值 。
答案 20
7.(2010天津理数)(16)设函数f(x) 2 2 ，对任意x ,, ，x,1 3 x f ,4m2f(x) f(x,1),4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是 . m
【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。
3x2
2222依据题意得2,1,4m(x,1) (x,1),1,4(m,1)在x [,, )上恒定成立，即2m
13232,4m ,,,1x [,, )上恒成立。 在m2x2x2
3325152,4m ,当x 时函数y ,2,,1取得最小值,，所以，即22xx3m3
(3m2,1)(4m2,3)
0，解得m
或m 【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解
8.(2010广东文数)
- 17 -
29.(2010江苏卷)11、已知函数f(x) x,1,x 0,则满足不等式f(1,x2) f(2x)的x的x 0 1,
范围是_____。
2 1,x 2x【解析】
考查分段函数的单调性。 x (,1) 2 1,x 0
三、解答题
1.(2010福建文)21((本小题满分12分)
某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30?且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。(?)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少,
(?)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值; (?)是否存在 ，使得小艇以 海里/小时的航行速度行
驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,若存在，试确定 的取值范
若不存在，请说明理由。 围;
- 18 -
- 19 -
2.(2010湖北文)19.(本小题满分12分)
已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位:m)，其中有部分旧住房需要拆除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b(单位:m)的旧住房。
(?)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式:
(?)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少,(计算时取1.1=1.6) 522
- 20 -
2009年高考题
1.(2009福建卷文)若函数f,x,的零点与g,x, 4,2x,2的零点之差的绝对值不超过x
0.25， 则f,x,可以是
A. f,x, 4x,1 B. f,x, (x,1) 2
C. f,x, e,1 D. f,x, In x,x
1 2
答案 A
解析 f,x, 4x,1的零点为x=
点为x=0, f,x, In x,
因为g(0)= -1,g(12x,f,x, (x,1)的零点为x=1, f,x, e,1的零4 31 x的零点为x=.现在我们来估算g,x, 4,2x,2的零点，
22 11)=1,所以g(x)的零点x (0, ),又函数f,x,的零点与22
g,x, 4x,2x,2的零点之差的绝对值不超过0.25，只有f,x, 4x,1的零点适合，故选A。
2.(2009山东卷文)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a 1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .
答案 {a|a 1}
- 21 - x
解析 设函数y ax(a 0,且a 1}和函数y x,a,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a 1)有两个零点, 就是函数y ax(a 0,且a 1}与函数y x,a有两个交点,由图象可知当x0 a 1时两函数只有一个交点,不符合,当a 1时,因为函数y ax(a 1)的图象过点(0,1),而直线y x,a所过的点(0，a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a 1}.
【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答
3.(2009山东卷理)(本小题满分12分)
两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在
(1)将y表示成x的函数;
(11)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. 对城A和城B的总影响度最小,若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。 解法一:(1)如图,由题意知AC?BC,BC 400,x,y
其中当x y=0.065,所以k=9 224k,(0
x22x400,x49(0 x 20) 所以y表示成x的函数为y 2,x400,x2
4989 (,2x)18x4,8(400,x2)2
(2)y 2,,y' ,3,,令 222322x400,xx(400,x)x(400,x)
18x4 8(400,x2)2,所以x2 160,即x ,当0 x 时,
18x4 8(400,x2)2,即y' 0所以函数为单调减函数,当x 20时, 18x4 8(400,x2)2,即y' 0所以函数为单调增函数.所以当x 时, 即当C点到城 - 22 -
A
的距离为时, 函数y
解法二: (1)同上.
(2)设m x2,n 400,x2,
则m,n 400,y 49,(0 x 20)有最小值. x2400,x249,,所以 mn
4949m,n14n9m11y , (,) [13,(,)] (13,12) 当且仅当mnmn400400mn40016
4n9m n 240 即 时取”=”. mn m 160
下面证明函数y 49,在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. m400,m
设04×240×240
9 m1m2<9×160×160所以4(400,m1)(400,m2),9m1m2 0, m1m2(400,m1)(400,m2)
所以(m2,m1)494(400,m1)(400,m2),9mm12在 0即y1 y2函数y ,m400,mm1m2(400,m1)(400,m2)
(0,160)上为减函数.
同理,函数y 49,在(160,400)上为增函数,设1609×160×160 所以
4(400,m1)(400,m2),9m1m2 0, m1m2(400,m1)(400,m2)
- 23 -
所以(m2,m1)494(400,m1)(400,m2),9mm12在 0即y1 y2函数y ,m400,mm1m2(400,m1)(400,m2)
(160,400)上为增函数.
所以当m=160
即x =”,函数y有最小值, 所以弧
小.
【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.
5. (2009湖南卷理)(本小题满分13分)
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面
工程费用为(2x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元。
(?)试写出y关于x的函数关系式;
(?)当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小, 上存在一点，
当x 时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最
m,1 x
mm所以
-1)+
(2,x xx
256x ,2m,256. x解 (?)设需要新建n个桥墩，(n,1)x m，即n=
(?) 由(?)知，f'(x) ,
3
2256mx2313m,mx2 2(x2,512). 22x 令f'(x) 0，得x 512，所以x=64
当00. f(x)在区间(64，640)内为增函数，
所以f(x)在x=64处取得最小值，此时，n
故需新建9个桥墩才能使y最小。 m640,1 ,1 9. x64
- 24 -
a 0.1,15ln,(x 6) a,x6.(2009年上海卷理)有时可用函数f(x)
x,4.4,(x 6) x,4
描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(x N)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。
(1)证明 当x 7时，掌握程度的增加量f(x,1),f(x)总是下降;
(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为 *
(115,121],(121,127],(121,133]。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。
证明 (1)当x 7时，f(x,1),f(x) 0.4 (x,3)(x,4)
而当x 7时，函数y (x,3)(x,4)单调递增，且(x,3)(x,4)>0„„..3分
故f(x,1),f(x)单调递减
当x 7时，掌握程度的增长量f(x,1),f(x)总是下降„„„„„..6分
(2)由题意可知0.1+15ln
整理得a=0.85„„„„„„.9分 a,6a e0.05 a,6
e0.05
6 20.50 6 123.0,123.0 (121,127]„„.13分 解得a 0.05e,1
由此可知，该学科是乙学科„„„„„..14分7.(2009上海卷文)(本题满分16分)本题共有
2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分 .
有时可用函数
描述学习某学科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数(x N)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.
(1)证明:当x 7时，掌握程度的增长量f(x+1)- f(x)总是下降;
- 25 - *
(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115，121,,(121,127,, (127,133,.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.
证明 (1)当x 7时，f(x,1),f(x) 0.4 (x,3)(x,4)
而当x 7时，函数y (x,3)(x,4)单调递增，且(x,3)(x,4) 0
故函数f(x,1),f(x)单调递减
当x 7时，掌握程度的增长量f(x,1),f(x)总是下降
(2)有题意可知0.1,15ln
整理得a 0.85 a,6a e0.05 a,6
e0.05
6 20.50 6 123.0,123.0 (121,127]„„.13分 解得a 0.05e,1
由此可知，该学科是乙学科„„„„„..14分
2007—2008年高考题
一、选择题
1.(2008年全国一2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一
过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是
答案 A
2.(2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x) 的图象可能是 ( )
A(
B(
C(
D( ( ) - 26 -
答案 D
3.(07广东)客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是 ( )
A
答案 C
4.某地一年内的气温Q(t)(单位:?)与时刻t(月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10? .令C(t)表示的时间段[0，t]的平均气温，
C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是 ( )
B C D
答案 A
解析 由图可以发现当t=6时，C(t)=0，排除C;t=12时，C(t)=10，排除
D;t在大于6 的某一段气温超于10，所以排除B，故选A。
二、填空题
xx6.(2007年上海4)方程 9,6 3,7 0的解是
答案 log37
三、解答题
- 27 -
8.(2008年江苏卷17)某地有三家工厂，分别位于矩形
ABCD
的顶点A,B 及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km ，
为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上
(含边界)，且A,B与等距离的一点O 处建造一个
污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道
的总长
为ykm(
(?)按下列要求写出函数关系式:
?设?BAO= (rad)，将y表示成 的函数关系式;
?设OP x(km) ，将y表示成x的函数关系式(
(?)请你选用(?)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短(
解 本小题主要考查函数最值的应用(
(?)?设AB中点为Q，由条件知PQ 垂直平分AB，若?BAO= (rad) ，则 DOPCAB
AQ1010 , 故OB ，又OP,10,10tan ， cos cos cos
1010,,10,10tan ， 所以y OA,OB,OP cos cos OA
所求函数关系式为y 20,10sin ,10 0 cos 4
?若OP=x(km) ，则OQ,10,x，所以
所求函数关系式为y x,0 x 10,
(?)选择函数模型?，
y ,10cos cos ,(20,10sin )10(2sin ,1) cos2 cos2
令y 0得sin 1 ，因为0 ，所以 =.当
0, 时，y 0，y是 的减函462 6
(10,103)(km)。这时数;当 , 时，y 0，y是 的增函数.所以当 =时，yiin6 64
km处。 点0位于线段AB 的中垂线上，且距离
AB - 28 -
9.(2008年湖北卷20).(本小题满分12分)水库的蓄水量随时间而变化.现用t表示时间，以月为单位，年初为起点.根据历年数据，某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于t的近似函数关系式为
t (,t2,14t,40)e5,50,0 t 10,
V(t) 4(t,10)(3t,41),50,.10 t 12.1
(?)该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i,1 t i表示第i月份(i 1,2, ,12),问一年内哪几个月份是枯水期,
(?)求一年内该水库的最大蓄水量(取e 2.7计算).
解 (1)?当0,t 10时，V(t)=(-t+14t-40)e21t4,50 50,
化简得t-14t+40>0,
解得t,4，或t,10，又0,t 10，故0,t,4.
?当10,t 12时，V(t),4(t-10)(3t-41)+50,50,
化简得(t-10)(3t-41),0,
解得10,t,241，又10,t 12,故 10,t 12. 3
综上得00ïïf(x)=ïílog(-x)x<01ïï2ïî【2012海南嘉积中学期末理15】若函数，若f(a)>f(-a)，则
实数a的取值范围是 (
【答案】(,1,0) (1,, ) a 0 a 0 log(
1,a) log(2,a);a loga2 log1 a (,1,0) (1,, ) 2【解析】由题意得 或 2
【2012 黑龙江绥化市一模理11】设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x R，都有
1 f(x) ,1f(x) f(x,4)，且当x [,2,0]时， 2 ，若在区间(,2,6]内关于x的方程x
f(x),loga(x,2) 0(a 1)恰有三个不同的实数根，则a的取值范围为( )
A. (1,2) B.(2,,
) C.
D.
【答案】D
(x,2)g(x) loga【解析】令，由题意若在区间(,2,6]内关于x的方程
f(x),loga(x,2) 0(a 1)恰有三个不同的实数根，所以
【2012 浙江瑞安期末质检理10】定义函数 g(2) 3g(6) 3，解得4 a 2 f(x) x x ， x 其中表示不超过x的最大整数， - 43 -
a,49x 0,n,(n N*)时，a则使当设函数f(x)的值域为集合A，记A中的元素个数为n，为最小时的n是( )
A(7 B(9 C(10 D(13
【答案】C
f(x) 【解析】0 x 1时，01a, 1 ;1x 时，2f(x) x ，a2 2;
2 x 3,f(x) 2x a3 4,3 x 4,f(x) 3x ,a4 7,4 x 5,f(x
) 4x ,a5 11,5 x 6,f(x) 5x ,a6 16,
,9 x 10,f(x) 9x ,a10 46,a11 57,a12 69,a13 796 x 7,f(
x) 6x ,a7 22,7 x 8,f(x) 7x ,a8 29,8 x 9,f(x) 8x
,a9 37
100n2,n,2an,491 (n,),n 10an n2n2，取得最小值。
a,b ，当x a,b 时的值【2012浙江瑞安期末质检理17】对于函数y f(x)，若存在区间
域为 ka,kb (k 0)，则称y f(x)为k倍值函数.若f(x) lnx,x是k倍值函数，则实数k的取值范围是 . 1(1,1,)e 【答案】
【解析】、因为f(x) lnx,x是k倍值函数，f(x)在 a,b 上增，
lna,a kalnb,b kb在(0,, )上有两根，则g(x) lnx,(1,k)x,有两个零点，y lnx与y (k,1)x相交两点，k,1 0，k 1,
当111 k 1,e时相切，所以e;
【2012 延吉市质检理8】函数f(x)的定义域为R，且满足:f(x)是偶函数，f(x,1)是奇函数，若f(0.5)=9，则f(8.5)等于
A(,9 B(9
【答案】B C(,3 ( ) D(0
【解析】因为f(x)是偶函数，f(x,1)是奇函数，所以
f(,x) f(x),f(,x,1) ,f(x,1)，函数是周期函数,周期T=8，所以f(8.5)=9
- 44 -
【2012武昌区高三
年级
六年级体育公开课教案九年级家长会课件PPT下载六年级家长会PPT课件一年级上册汉语拼音练习题六年级上册道德与法治课件
元月调研文】某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位:万
2l 5.06x,0.15x和L2 2x，其中x为销售量(单位:辆)1元)分别为(若该公司在这两地
共销售15辆车，则能获得的最大利润为 万元(
【答案】 45(6
【解析】本题主要考查函数的应用问题及二次函数的最值. 属于基础知识、基本运算的考查. 设甲地销量为x辆，则乙地销量为15,x辆，总利润为y(单位:万元)，则
y 5.06x,0.15x2,2(15,x),(0 x 15,x N)，
2y ,0.15x,3.06x,30,(0 x 15,x N) 二次函数对称轴为x 10.2 即
?x N，故x 10辆时y最大，最大值为45(6万元。
【2012黄冈市高三上学期期末考试文】某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元。
(1)把每件产品的成本费P(x)(元)表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费;
(2)如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查:每件产品的销售价Q(x)与产品件数x有如下关系:Q(x) 170,0.05x，试问生产多少件产品，总利润最高,(总利润=总销售额-总的成本)
【解析】本题主要考查函数的应用问题、逻辑思维能力、推理论证能力.
P(x)
解:(?)
12500,40,0.05xx „„„„„„„„„„„„„„„3分 由基本不等式得P(x) 40 90
12500 0.05xx当且仅当，即x 500时，等号成立 „„„„„„„„5分 P(x) 12500,40,0.05xx，成本的最小值为90元( „„„„„„„„6分 ?
(?)设总利润为y元，则
y xQ(x),xP(x) ,0.1x2,130x,12500
,0.1(x,650)2,29750
当x 650时,ymax 29750 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分
答:生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29750元(„ „„12分
- 45 -
【2012 宁德质检理】(本小题满分13分)
已知函数f(x) 2x,k 2,x,k R.
(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值;
(2)若对任意的x 0,, ,都有f(x) 2,x成立，求实数k的取值范围。
【2012 深圳中学期末理】(本小题满分14分)
已知集合D (x1,x2)x1 0,x2 0,x1,x2 k (其中k 为正常数(
(I)设u x1x2，求u的取值范围(
(1,x1xk2
1)(,2) (
(II)求证:当k 1时不等式x12,k)2
x2对任意(x1,x2) D恒成立;
(1,x1) (k,2
1)(,x2)2
(III)求使不等式x1x22k对任意(x1,x2) D恒成立的k的范围(
xx1,x2
22kxk
【答案】(I)1x2 (2) 4，当且仅当1 x2 2时等号成立，
k2
(0,
故u的取值范围为4]
((3分)
(1,x1x1x1x
1)(,2) ,x1x2,,2
(II) 变形，得x1x2x1x2x2x1
x1x2x2
1,2k2,
xx, x1k2,1
1x2,1x2,x,2 u,,2
12x1x21x2u. (5分)
- 46 -
k2k2
20 u (0,]2k,1k 1k,1 044上是增函数， ,2在由，又，，?f(u) u,u
k2k2,1k242k2 ,,2 ,2, (,)22211k,1k44kk2(,x1)(,x2) u,,2xx2u4所以1(
11k2,x1)(,x2) (,)2
xx22k成立( (9分) 即当k 1时不等式1(
22111,kk2k2(,x1)(,x2) u,,2 f(u)(,) f()xxu4， 2(III)令1，则2k
k2k2
f(u) f()u (0,]4对4恒成立的k的范围(即求使(10分)
11k2,x1)(,x2) (,)2
xx22k对任意(x1,x2) D恒成立，必有0 k 1， 由(II)知，要使1(
1,k2
f(u) u,,
221,k 0u因此，?函数在
上递减，在, )上递增，
k2k2k2
f(u)
f()(0,] 4，必有44上恒有要使函数f(u)在，
42即k,16k,16
0，解得0 k (14分)
【2012?泉州四校二次联考理】(本小题满分13分)
省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射
性污染指数f,x,与时刻x(时)的关系为
f,x, x2,a,2a,,x 0,24 x2,13，
1 a 0, 2 ，若用每天f,x,的最大值为当天的综合放射性污其中a是与气象有关的参数，且
染指数，并记作M,a,(
t
(1)令xx2,1，x 0,24 ，求t的取值范围;
(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污
染指数是否超标,
(本小题满分13分)
【解】(1)当x 0时，t,0; „„„„„„„„1分
- 47 -
当0 x 24x,1
时，x 2
(当x 1时取等号)， t x
x2,1 1
x,1 0,1
2
?x，
0,1
即t的取值范围是 2 ( „„„„„„„„4分
a
(2)当 0,1
2 g,t, t,a,2a,2
时，记3
,t,3a,2,0 t
g,t, 3 a
t,a,2,a t 1
则 32 „„„„„„„„8分
?g,t,在 0,a a,1
上单调递减，在 2 上单调递增，
g,0, 3a,2 1
且3,g 2 a,7 1 1
6,g,0,,g 2 2 a,4 (
g 1 ,0 a 1 a,7,01
M,a,
2 4 a
64
g
故 ,0,,1
4 a 1
2 3a,2
3,1
4 a 1
2. „„„„„„„„10分 a 4
?当且仅当9时，M,a, 2. 0 a 44
故当9 a 1
时不超标，当92时超标( „„„„„„„„13分
2010年联考题
题组二
一、填空题
y lg|x|
1.(安徽两地三校国庆联考)函数x的图象大致是 ( ) - 48 -
答案 D
2((池州市七校元旦调研)对于正实数 ，记M 为满足下述条件的函数f(x)构成的集合:,x1,x2 R且x2 x1，有
, (x2,x1) f(x2),f(x1) (x2,x1)(下列结论中正确的是
( )
A(若f(x) M 1，g(x) M 2，则f(x) g(x) M 1 2
f(x) M 1g(x) Mf(x) Mg(x) 2，且g(x) 0，则 1，2 B(若
C(若
D(若f(x) M 1，g(x) M 2，则f(x),g(x) M 1, 2 f(x) M 1，g(x) M 2，且 1 2，则f(x),g(x) M 1, 2
答案 C
【解析】对于, (x2,x1) f(x2),f(x1) (x2,x1)，即有, f(x2),f(x1) x2,x1，令f(x2),f(x1) kf(x) M 1，g(x) M 2，即有x2,x1，有, k ，不妨设
, 1 kf 1,, 2 kg 2
f(x),g(x) M 1, 2(
，因此有, 1, 2 kf,kg 1, 2，因此有
3((安徽两地三校国庆联考)函数f(x) xcosx,1,x (,5,5)的最大值为M，最小值为m，则M,m等于( )
A(0
答案 C
- 49 - B(1 C(2 D(4
4.(岳野两校联考)若f(x)是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有 f(x,4) f(x),4
1) 2，则f(2009)和f(x,2) f(x),2,且f(的值是( )
A(2008 B(2009 C(2010 D(2011
答案 C
,1f(x)f(x)，且对于任意的R5((安徽两地三校国庆联考)设定义在上的函数的反函数为
,1,1x R，都有f(,x),f(x) 3，则f(x,1),f(4,x)等于( )
A(0 B(-2 C(2 D(2x,4
答案 A
6.(昆明一中三次月考理)已知函数f(x) logax(a 0,a 1)的图象如右图示，函数y g(x)的图象与y f(x)的图象关于直线y x对称，则函数y g(x)的解析式为
A.g(x) 2x B. g(x) () C. g(x) log1x
212x
D.g(x) log2x
4，x答案:B7.(昆明一中三次月考理)已知函数y f(x)是偶函数，当x 0时，有f(x) x,
且当x [,3,,1]，f(x)的值域是[n,m]，则m,n的值是
A( 1
3 B(2 3 C(1 D(4 3
答案:C8. (昆明一中二次月考理)如图表示函数象，则( ) (其中)的图A( B(
- 50 -
C(
答案:B D(
9.
(昆明一中二次月考理)偶函数
满足
=
，且在
时，，则关于的方程，在上解的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:D
二、填空题
log2x(x 0)1,若f(a)=.则a的值为 1.(安徽两地三校国庆联考)已知函数f(x)= x2 2,(x 0)
答案 1
2.(安庆市四校元旦联考)已知关于x的方程x ax,1有一个负根，但没有正根，则实数a的取值范
围是
答案 a?1
3.(安徽两地三校国庆联考)给出定义:若m,11 x m,22(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x} m. 在此基础上给出下列关于函数f(x) |x,{x}|的四个命题:
1kx (k Z)y f(x)y f(x)22?的定义域是R，值域是[0，];?的图像关于直线对称;
11 ,2,2 y f(x)y f(x) 上是增函数; ?函数是周期函数，最小正周期是1;? 函数在
则其中真命题是__ (
答案 ???
4(已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a、b R满足:
f(2n)f(2n)bn a f(a b) af(b),bf(a)，f(2) 2，nn(n N*)，2n(n N*)，
- 51 -
{b}{a}考察下列结论，?f(0) f(1);?f(x)为偶函数;?数列n为等差数列;?数列n为
等比数列，其中正确的是_______(填序号)
答案 ???
5((昆明一中二次月考理)函数答案:0
6((师大附中理)已知函数f(x) 1,3(x,1),3(x,1)2,(x,1)3,则f,1(8) __________。 答案:0
,7((师大附中理)假设x1 ,97，对于n 1(n N)有xn 则____________( n，计算乘积:xn,1
=______。 x1x2x3x4x5x6x7x
答案:384
8.(昆明一中二次月考理)直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(k?N*)个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数。下列函数:
?f(x)=sinx; ?f(x)=π(x,1)+3; ?
其中是一阶格点函数的有 .
答案:???
三、解答题
1((本题满分14分)已知函数f(x)
?求函数f(x)的周期; 2 ?， 13sinxcosx,cos2x,(x R) 2
?函数f(x)的图象可由函数y sinx的图象经过怎样的变换得到,
解:(1
)f(x) 112x,(2cos2x,1) 2x,cos2x sin(2x,) 622
所以 函数f(x)的周期是
(2)将函数y sinx的图象向左平移
的 个单位，再将所得图象上每一点的横坐标变为原来61 倍(纵坐标不变式)，得函数f(x)的图象 2
2.(本小题满分12分)(安徽两地三校国庆联考)
- 52 -
机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元(
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)从第几年开始，该机床开始盈利(盈利额为正值);
(3)使用若干年后，对机床的处理
方案
气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载
有两种:
(?)当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床;
(?)当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床(
请你研究一下哪种方案处理较为合理,请说明理由(
x(x,1) y 50 12x, 4 ,98 ,2x2,40x,98.2 解 (1)依题得:(x N*)
2,2x,40x,98 0,得:10x 10(2
)解不等式
?x N*,?3?x?17，故从第3年开始盈利。
(3)
(?)y9898 ,2x,40, 40,(2x,) 40,12xxx 98
x时，即x=7时等号成立( 2x 当且仅当
到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30,114万元(
(?)y=-2x2+40x-98=-(x-10)2+102，当x=10时，ymax=102
故到2011年，盈利额达到最大值，工厂获利102+12,114万元
盈利额达到的最大值相同，而方案?所用的时间较短，故方案?比较合理(
3((本小题满分12分)(安徽两地三校国庆联考)
2,,fx 2ax,2x,3,a，如果函数y f,x,在区间 ,1,1 上有零点，已知a是实数，函数
求a的取值范围.
解:若a 0 , f(x) 2x,3 ,显然在 ,1,1 上没有零点, 所以 a 0.
令 4,8a,3,a, 8a,24a,4 02a
, 解得
- 53 -
a
?当
y f,x, ,1,1 上; 时, 恰有一个零点在
y f,x, ,1,1 ?当f,,1, f,1, ,a,1,,a,5, 0，即1 a 5时，在上也恰有
一个零点.
?当y f,x,在 ,1,1 上有两个零点时, 则
a 0 8a2,24a,4 0 1,1 , 1 2a f,1, 0 f,,1, 0
a 0 8a2,24a,4 0 1,1 , 1 2a f,1, 0 f,,1, 0 或
解得a
5或a
a . 综上所求实数a的取值范围是 a 1 或
4.(本小题满分13分)(安徽两地三校国庆联考)
定义在R上的函数y=f(x)，f(0)?0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b?R，有f(a+b)=f(a)f(b)，
求证:f(0)=1;
求证:对任意的x?R，恒有f(x)>0;
(3)证明:f(x)是R上的增函数;
(4)若f(x)?f(2x-x2)>1，求x的取值范围。
解 (1)令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2?f(0)?0 ?f(0)=1
f(,x)
(2)令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ?1f(x)
由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 f(x)
?1 0f(,x)又x=0时，f(0)=1>0
?对任意x?R，f(x)>0
(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0
?
f(x2) f(x2) f(,x1) f(x2,x1) 1f(x1) - 54 -
?f(x2)>f(x1) ?f(x)在R上是增函数
(4)f(x)?f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，
f(x)在R上递增
?由f(3x-x2)>f(0)得:3x-x2>0 ? 0
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