【doc】卡尔达诺《大术》的思想来源及影响

【doc】卡尔达诺《大术》的思想来源及影响 卡尔达诺《大术》的思想来源及影响 第23卷第2期 2002年6月 首都师范大学(自然科学版) JournalofCapitalNormalUni一1 (Natura]~:ieneeEdition) Vol23.No.2 June.2002 卡尔达诺《大术》的思想来源及影响 程小红 (北^学数学系白然科学史教研室婀安710069 摘要 通过详细分析卡尔达潇的《大术》,指出《大l术》的世想主要振于阿抗伯和古希 腊数学,并探讨了《太术》对当时 数学发展所带来的影响. 关键词:卡尔达诺《大术》,阿扎伯.占希腊 中图分类号:O1I 卡尔达诺在1545年发 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 的着作《大术》中系统 地讨论了三,四次方程的代数解法,被称之为16世 纪的一颗璀璨明珠关于三,四次方程代数求解的研 究已有很多,笔者不予赘述.本文重点分析卡尔达诺 《大术》的思想来源及影响 早在十二世纪,就有一批阿拉伯和古希腊的着 作传人欧洲.如欧几里得的《几何原本》,托勒密的 《大汇编》及花拉子米的《代数学》等这些着作的广 泛流传,成为后继数学家学习和研究的经典,也是欧 洲数学发展的源头.仔细分析卡尔达诺的《大术》,可 以清楚地看到阿拉伯和古希腊数学对它的影响 1卡尔达诺《大术》沿袭了阿拉伯代数 学的传统 阿拉怕对卡尔达诺的影响主要来自于花拉子 米.数学史家波耶称卡尔达诺为花拉子米的忠实信 徒.卡尔达诺在1553年列出的l2位最伟大的数 学家中,花拉子米就为其中之一.从很大程度来 说,卡尔达诺的成果实际上就是花拉子米工作的延 续 毫无疑问,卡尔达诺很熟悉花拉子米的《代数 学》.在《大术》中,卡尔达诺详细介绍了花拉子米关 于二次方程的代数解法和相应的几何证明.并给出 收稿日期:2~Ol一113—14 本文为笔者博士论文的一部分 一 种不同于花拉子米的证明.然而,根据考察,卡尔 达诺似乎没有直接看到花拉子米的原着.而是通过 斐渡那契1202年的着作《算盘书》获知花拉子米的 工作的.卡尔达诺在第一章开头说道:"这门艺术起 源于阿拉伯数学家穆萨(Morse)的儿子穆罕穆德 (Mahomet),比萨的莱昂纳多为此提供了可靠的根 据."这里穆罕穆德指的应该是花拉子米,而莱昂 纳多则指斐波那契斐波那契的《算盘书》共有十五 章,最后一章的第三部分详细地介绍了花拉子米对 二次方程的代数求解和相应的几何证明.斐波那契 在空白处标上了花拉子米的名字,这与卡尔达诺所 述是一致的.在卡尔达诺提供的几个二次方程的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ,其中有两个问题卡尔达诺提到是源于花拉子米 的《代数学》.然而研究表明,花拉子米的《代数学》中 并没有这两个问题,但是在斐波那契的《算盘书》中 却发现了类似的问题,这也就更加证实了卡尔达诺 很可能就是通过《算盘书》这个渠道熟识了花拉子米 的工作. 通过对花拉子米《代数学》和卡尔达诺《大术》的 比较研究,可以看到两者工作的相似性: 1)《大术》与《代数学》编排基本一致 从形式上来看,卡尔达诺《大术》与花拉子米的 《代数学》编排基本一致.花拉子米按照方程的系数 和常数均为正而把低于三次的方程分为6种类型. 对每一种类型分别给出求解公式,并对后3种类型 第2期程小红:仁尔逸《大术》的'g魁来源及影响 绐出相应的几何证明,随后配上一些问题与我国古 代着作的编排方式——问,答,术,注也很相似Lj此 相对应的,卡尔迭诺也以同样的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 把三次方程和 四次方程分为13种和加种类型,对每一种类型的 方程,有具体的求解 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf .同样附加卜代数求解过程 的几何证明,最后提供符台这种类型的问题 2)两者的学术思想上存在继承关系 卡尔达诺的《大术》与花拉子米的《代数学》不仪 形式上相似.思想上也有某种继承关系二者都是以 方程为研究对象,以构造算法为主要目标.求解过程 实际上就是利用代数恒等式的推导过程如花拉子 米在解决二次方程配方时利用恒等式(n+b)=" +b+2.b,而卡尔达诺在寻求=px+的解时, 使用了恒等式(o+b)=?+b'+3.6(?+b).同 时,都给出代数求解过程对应的几何证明,而所做的 几何证明不过是证实代数推导过程正确的一种手 段 再有,关于证明.二者都是对具体的数字方程来 证,但却具有一般性,其证明适合于这一娄的方程. 3l《大术》与《代数学》都使用文字叙述 花拉子米的代数学是典型的文词代数.在《代数 学》中,无论是方程的表达还是求解过程或者结果花 拉子米都是使用文字叙述的,鲜见缩写蒯和符号. 卡尔达诺在1539年的着作(PracticaArJthemeticaeGe— neral[s}中曾经使用了帕乔利的符号来表示未知数及 未知数的高次幂.但是,在《大术》中,卡尔达诺却舍 弃了这一表达 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ,而与花拉子米一样,对于方程及 公式也都是文字陈述.如方程'+px=q,卡尔达诺 写作"立方,边等于数….而求解公式则是这样描述 的:"取系数?的立方,加上常数一半的平方,然后取 j 和的平方根,作两个这样的表达式给其中的一个式 子加上常数的一半,另一个则减掉常数的一半,分别 取这两个式子的立方根.用前一个式减去后一个式 取为方程的解"." 对于具体的方程,也是如此.如方程十60x= 2(),卡尔迭诺的表述是"一个立方和六十个边等于二 十. 4)两者的几何证明极为相似 分析卡尔达诺的几何证明,我们发现他的一些 证明方法与花拉子米所用的极为相似花拉子米的 证明不同于欧几里得的综合证明,他的证明带有 明显的东方特色,更多类似于中国的出入相补原理 所谓出人相补原理,用现代语言来说.就是这样的明 显事宴:一个平面图形从一处移置他处.面积不变. 又若把图形分割成若干块.那么各部分面积的和等 于原来图形的面积,因而图形移置前后诸面积问的 和,差有着简单的相等关系立体情形也是如此. 以下我们以方程x+lO=39为例0,来看看花拉 子水的证明 如图1:首先作正方形o6,边长为未知数,那 么正方形的面积为在此正方形的每条边上作一 个矩形,分别为cd,e,矩形的一条边长是,另 1n 一 条边长为.根据题没,这时所围成的图形的面积 aI. 等于39作出角上的4个小正方形,小正方形的边 1n 长为,因此4个小正方形的面积和为25这样最" 外层的大正方形的面积就为64,大正方形的边 长为8,于是我们得到方程的解:8—2:3 g | I 从花拉子米的几何证明可以看出,他所构造的 图形面积之间有简单的相等关系,而无需经过繁复 的逻辑推理.直观性较强在卡尔达诺的《大术》 中,有很多类似于花拉子米的证明.我们举一个比较 典型的例子.在求解四次方程时,卡尔达诺给出了代 数表达式 (一+0+b)=(A+?)+2bA+2ab+6' 的几何证明汪明过程如下: 如图2:把正方形AF分成两个正方形舡)和DF 以及另外两个矩形DE和DC,在AF的两个边上外 加折形KFG.完成大正方形Alt.折形KFG的面积为 为了便丁理解.我们采用现代说祛 : =_丽 一 v(, q/2) 首都师范大学(自然科学版)2o02年 2GC×AB与2GC×BC.正方形AH由正方形AF 形KFG和正方形册构成于是有 S^日=(AB+Bc+CC)=S^,+s+s 折了重要的引导作用. 2古希腊数学对卡尔达诺的影晌 : (AB+BC)+2GC×AB+2GC×BC+GC 显然.在证明过程中,卡尔达诺与花拉子米一样采取 了对平面图形的分割和移置,利用图形面积问的简 单相等关系得到结构. 囤2 上述表达式是四次方程求解的关键.我们知道, 求解四次方程的技巧在于把方程两边配成完全平方 式.通过开方把原四次方程化为二次方程来求解.第 一 步是先把方程的一边化为完全平方式,然后经过 适当填补项,再把两边都变为完全平方式例如四次 方程的一边已经是完全平方式 +6+9=(+3) 为了使另一侧也是完全平方式,需要填补项并且要 使填项后仍保持完全平方式,根据上述证明的表达 式,取^=,?=3,填上b+2X2b+6b,这时原式 变为 +6+9+b.+2b+6b:(2+3+b) 至于b的值,则由方程另一边的表达式来决定. 卡尔达诺的《大术》沿袭了花拉子米的代数传 统,但是又比花拉子米技高一筹,这不仅仅表现在方 ,花拉子米在求解方程的根 程的复杂性上.众所周知 时.不考虑方程的负根.但是,卡尔达诺却在书中的 第一章系统地讨论了根的性质与方程系数之间的关 系,尤其是对负根的讨论.再有,花拉子米在阐述求 解的规则时,他是通过具体的数字方程来体现一般 的求解规则的.而卡尔达诺则不然,他用文字直接陈 述了抽象方程的求解公式,虽然这对于方程的求解 没有什么不同,但是对后来的韦达创立符号代数起 卡尔达诺的《大术》无疑是一部代数学着作但 是,和同时代的其他学者一样,他也很重视严格的逻 辑推理.卡尔达诺曾多次提及欧几里得.在求解过程 中他对重要的代数步骤都要求作出几何证明,这不 仅有花拉子米的影响,当然还有欧几里得《原本》的 影响.而且,卡尔达诺《大术》中还包含一些欧氏风格 的纯粹的综合证明. 以方程+口=px为例,此方程的解需要利用 方程Y=PY+目的解来求得很容易得到这两个方 程的解之间的关系:=姜?=. 以下就是卡尔达诺对这个结论的证明过程: 如图3:作一边长为GH的正方形GK,和一个正 方形^B,令明=Y,S=P,F:q,则有 GH=S'×GH+F 把GK分割成两个矩形,和HL,并且有 s={s 在图形AB上取AD使得 = S=丢5 6 D E . |C 图3 第2期崔小红:卡尔达诺《太术》的崽想来源及影响21 取CE为与矩形c口面积相等的正方形的边,取HK 的中点l",然后取点,使得MN=CB,则NK和HN 为方程的根.显然 HK={+,_=_ NK={一『二3c了 下面我们来证明HN是方程 +q=px 的根很显然 =HN=HNxHN 而 S=3HM+? 根据《几何原本》第二卷的命题4, (HMxNK)=HKxNK因此 X+=PY 因此HN为方程的解,同理可以证明NK为方程的 解. 上述证明完全是古希腊式的综合证明.在他的 证明过程中,我们无法看出其代数求解过程,这与花 拉子米的证明不同花拉子米的证明过程实际上是 对代数求解过程的几何解释,其求解过程可以清晰 地表现出来另外,卡尔达诺的这些证明与我们前面 提到的证明不同之处,从图形上也可以明显地体现 出来,前面的证明所作的图形很直观地表达了面积 的关系,而后来证明中图形却没有发挥什么作用,结 论的获得需要繁复的逻辑推理. S比HN多23卡尔达诺《大术》的影响 =HNx(S^口一HK×NK) G:sxGH+F 因此 F=GHx(CK~一S^)=HK×(GK一SH) 但是 GK—S=Sm—Sc 而 Sm—S?=HM一MN 于是 F=HK×(HM一MN) 根据《几何原本》第二卷的命题4 HM一MN=2(MNxNK)+NK =(M,v+MK)xNK=HNxNK 因此 F=HKxHN×NK HN+F=HNx(S—HKxNK) +HK×HNxNK=HNxS 从而HN满足方程 卡尔达诺对数系的充实有相当的贡献.在《大 术》中,他接受无理数为数,并随意施加各种运算,而 不再有几何上的顾忌.再有,尽管他不承认负数,却 在第一章详尽地讨论了方程的负根而在研究三次 方程不可约时,又萌芽出了虚数的概念,并涉及到虚 数的乘法运算正是受到卡尔达诺的启发,1572年 Bombelly在其着作《代数学》中明确地引入了虚数. 从思想方法来看,卡尔达诺关于三,四次方程的 求解方法为寻求四次以上的方程根式求解指明了方 向.正是沿着卡尔达诺的思路,着名数学家阿贝尔最 终证明了四次以上的一般方程没有根式解在此基 础上,数学家伽罗华找到了四次以上方程根式可解 的条件,并最终创立了群论. 最后,卡尔达诺对韦达创立符号代数也起到了 积极的引导作用. 卡尔达诺的《大术》是继古希腊和阿拉伯以来人 们在数学方面所取得的第一次突破,激发了人们研 究代数的热情.自此之后,代数与几何的研究局面开 始发生逆转,数学家把更多的关注给予了代数. 参考文献 lCartBoyerAHisto~'ofMathematics.1ohnWiley&Sons.Inc.1989284 2Jaeque~neA.StedallOfOlIrOwnNation:Johnwauls'sAccountofMathematle~Leanfingi nMedievalEnglandHistoriaMathemafi. ca200I,28:73—122 3GirolamoCardano.MagnaDoverPub~eations,Inc,1545 4BI-VderWaerden.AHistoryofAlgebra.Springer—Ve~agBedinHeidelberg 5吴文俊.出人相补原理见:是文俊论数学机械化.济南:山东教育出版杜,1995170 6KapinskiLC.RobertofChester'SLnTransIationoftheAlgebraofAI.KhowarizmiNewY0r k:I91579,81 7包方勋.阿拉伯代数方程求解几何方法的比较研究自然科学史研究,1997,】 6(2):119 22首都师范大学(自然科学版)2002年 TheSourcesandInfluenceofArsMagna ChengXiaobeng DepartmentMathematics.r',orlhweslUnive~ity.Xi.an7t0069 Abstract ThispaperpointsoutthesourcesofArsMagnafromArabandGreece,anddescribesitsinfluen ce Keywords:Cardano'5ArsMagna.Arab.Greece 上接第l7页 参考文献 S+NandaFuzzyAlgebrasOverAFuzzyFields[J】.FuzzySetsAnd8telTfl$,1990.37:99— 103 Wen— xiangGu.I"1IIuFu,[gebr~AndFuzzyFieldsRedfined[JJ.Fuzzy.SetsAndstenns,1993,53:1 05—107 ShiFu—GuiL-FuryRelationsAndT,FuzzyGroup~【JJTheJounralofFuzzyMathematics2000,2:49I,499 史福贵L.集台套.集台套理论皿应用[J模糊系统与数学,1995,4:65,72 张可铭.郑崇友L—Fuzzv子域与L-Fuzzy线性空闸[J](待发表) 国俊—Fuzzy拓扑空问论[M:州安:陕西师范大学版杜,1988 L?-FuzzyAlgebrasOverL?-FuzzySubfields ZhangKeming Dep~lmentMathematics.Capita]NormalUniversity.Beijing100037) Abstract Inthispaper,theconecptsofL-FuzzyalgebrasoverL?Fuzzysubfieldsareint~:lueed,whereL isacompletelydis? tribulivelatlicAndeusetheheorvofIheL?nesledselsandL3?nestedsetstogiveitsaseriesofch aracterizations. Keywords:L-Fuzzysubfield,L-Fuzzylinearspace,L-Fuzzyalgebra,— nestedset,Lg-nestedset