全特征子群特征子群正规子群间的关系
(2010-12-30 13:59:12)
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特征子群
全特征子群
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摘 要 本论文通过对近世代数的一些基本定理及相关性质的阐述，如：全特征子群，特征子群，正规子群等等。从而推导出全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。本文的结构是先从相关的定理及相关性质着手，然后根据定理及相关性质来推导全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。本文先从全特征子群开始研究，依次为特征子群，正规子群。经过本文对全特征字群，特征子群，正规子群的研究，我发现了其规律：全特征子群包含与特征子群，特征子群包含于正规子群;全特征子群 特征子群 正规子群。
关键字 全特征字群 特征子群 正规子群 陪集
一、有关群的定理
定理1 设H是群G的一个子群，如果H对G的每个自同态映射都不变，既对每个自同态映射θ都有
θ（H）∈H，
则称H为群G的一个全特征子群。
定理2 设H是群G的一个子群，a∈G。则称群G的子集aH=｛ax|x∈H｝为群H关于子群H的一个左陪集。而称Ha=｛xa|x∈H｝为群G关于子群H的一个右陪集。
左陪集的相关性质：⑴如果a∈H,则a∈aH。
⑵a∈H ﹤﹦﹥aH=H
⑶b∈aH﹤﹦﹥aH=bH
⑷aH=bH，即a与b同在一个作陪集中﹤﹦﹥ a b∈H（b ∈H）
⑸若aH∩bH≠空集，则aH=bH
定理3 对群G的所有自同构都不变的子群，亦即对G的任何自同构ε都有
ε（N）∈N
的子群N，叫做G的一个特征子群。
定理4 如果用aH，bH，cH，…表示子群G中的所有不同的左陪集，则有等式G=aH∪bH∪cH…,称其为群G关于子群H的左陪集分解。而称｛a,b,c, …｝为G关于H的一个左陪集代表系。
同理关于有陪集的分解：G=H a ∪H b ∪Hc …。则称{ a ，b ，c ，…}是关于子群H的一个右陪集代表系。
例1：取S的子群H={(1)，（12）}，则（1）H={（1），（12）}，H（1）={（1），（12）}，（13）H={（13），（123）}，H（13）={（13），（132）}，（132）H={(132),(23)};H（123）={（123），（23）}。则有:S=H∪(13)H∪(132)H=H∪H(13)∪H（123）。
定理5 设H，K是群G的两个子群，则群G关于交H∩K的所有左陪集，就是关于H与K的左陪集的所有非空的交。
即有：c（H∩K）=cH∩cK。
定理6 设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有
aN=Na,
则称N是群G的一个正规子群。
定理7 设群G的子群H由有限个元素构成，即H={a,b,c, …n}则称H为G的一个有限子群。
例2：H≦G，且H有有限个元素构成，H={a,b,c, …n},则称H为G的一个有限子群。
定理8 群G中关于子群H的互异的左（或右）陪集的个数，叫做H在G的指数，记为：（G∶H）。
定理9 设H是有限群G的一个子群，则：|G|=|H|（G∶H），从而任何子群的阶和指数都是群G的阶的因数。
推论 有限群中的每个元素的阶都整除群的阶。
例3：由于S(3)=6，故三次对称群S(3)的子群及元素的阶都是6的因数。例如：子群H={（1），（12）}的阶是2，指数是3，且有|S(3)|=|H|（S(3):H）,即6=2 ?3。
定理10 设G是一个有限群，又K≤H≤G，则：（G∶K）（H∶K）=（G∶K）。
定理11 如果用aH，bH，cH，…表示子群G中的所有不同的左陪集，则有等式G=aH∪bH∪cH…,称其为群G关于子群H的左陪集分解。而称｛a,b,c, …｝为G关于H的一个左陪集代表系。
同理关于有陪集的分解：G=H a ∪H b ∪Hc …。则称{ a ，b ，c ，…}是关于子群H的一个右陪集代表系。
例1：取S的子群H={(1)，（12）}，则（1）H={（1），（12）}，H（1）={（1），（12）}，（13）H={（13），（123）}，H（13）={（13），（132）}，（132）H={(132),(23)};H（123）={（123），（23）}。则有:S=H∪(13)H∪(132)H=H∪H(13)∪H（123）。
二、讨论全特征字群，特征子群，正规子群间的关系
证明：①因为G与e都是G的特征子群，特征子群一定是正规子群显然反之不成立。
例如，由于Klein四元群是交换群，它的每个子群都是正规子群，因此由已知可得N={e,a}是Klien的一个正规子群，但它不是Klien的特征子群。
是Klien的一个自同构，然而却有
θ（N）={e,b}≠N
②同理G与e都是群G的全特征子群，显然。且全特征子群一定是特征子群显然。反之不成立。
例如：群G的中心C是G的一个特征子群。
证明：任取c∈C，x∈G, θ∈AutG,则
θ（c）x=θ（c）[θ（θ（x））]= θ[cθ(x)]
=θ[θ(x)c]=θ[θ(x)]θ(c)
=xθ（c）
即θ（c）∈C, θ（c） C,即C是G的一个特征子群。
但应注意，群的中心不一定是全特征子群。
例如：有理数域Q上的2阶线性群G=GL（Q）的中心（Q上所有2阶纯量矩阵）不是全特征子群。
证明：任取A∈G,即A为有理数域Q上一个2阶满稚方阵，则ㄧAㄧ是个有理数。因此可令
ㄧAㄧ=
其中a,b为奇数，n(A)是与A有关的整数。
由于ㄧABㄧ=ㄧAㄧㄧBㄧ，故有
n(AB)=n(A)+n(B).
于是易知
η：是G到自身的一个映射。又η（AB）=
故η是群G的一个自同态映射。但是，η把G的 中心元素 却变成非中
心元素 ，因此，G的中心不是全特征子群。
又：若S和T为群G的子集，则其成绩为G的子集，其定义为
其中，S和T不必然需要是子群。其乘积的结合律源自群的結合律。因此，群子集的乘积定义出了一个G幂集上的自然么半群结构。
即使S和T为G的子群，其乘积也不必然会是个子群。其乘积为子群若且唯若ST = TS。在這一情形之下，ST会是个由S和T生成出的群，即ST = TS =
。若S或T有一是G的正子群，上述情形便会满足，ST会是个子群。设S是正规子群，则根据第二同定理，S ∩ T是T的正规子群且ST/S同于 T/(S ∩ T)。
若G为一有限群，且S和T为G的子群，則ST的元素个数可由乘积公式给定：
即使S和T都不是正规子群。
特别地，如果S和T的交集仅为单位元，那么ST的每一个元素都可以唯一地表示为乘积st，其中s位于S内，t位于T内。如果 S和T还是可交换的，那么ST就是一个群，称为扎帕-塞普乘积。更进一步，如果S或T在ST中正规，那么ST便称为半直积。最后，如果S和T都在ST中正规，那么ST便称为直积。
由此引入：一个群按其子群的分解
1） 设已知群G的两个子集M和N，所谓这两个集的乘积MN，是群G中所有能表示成M中某一元素和N中某一元素的乘积的那样一些元素的集合.如果M和N这 两个集合之一是由一个元素a所成的，那么我们就得出：一个元素和一个集合的乘积aN，或一个集合和一个元素的乘积Ma的定义.
子集的乘法满足结合律：
(MN)P=M(NP),
但一般说来，不满足交换律.如果对于某两个集合M和N等式
MN=NM
成立（就是说，对任意两个元素a和b，a∈M，b∈N，可以找到这样两对元素a′，a″∈M和b′，b″∈N，使ab=b′a′, ba=a″b″），那么集合M和N就称为可换的.这一情形的特例是一个元素和一个子群可换，两个子群可换等等.
可注意的是：在A和B都是群G的子群时，集合AB不一定是一个子群，也就是说，两个子群A和B的乘积AB一般来说并不等于所定义的子群{A，B}.我们只能断定
AB {A，B}.
群G的子群A和B所生成的子群{A，B}与这两个子群的乘积AB相重合的充分必要条件是A与B可换.
2） H是群G的子群当且仅当其为非空集且在乘积和逆运算下为封闭的。(封闭条件是指：任两个在H内的元素a和b，ab和a?1都为在H中。这两个条件可以结合成一个等价的条件：任两个在H内的a和b，ab?1也会在H内。)在H是有限的情状下，则H是一个子群当且仅当H在乘积下为封闭的。(在此一情下，每一个H的元素a都会产生一个H的有限循环子群，且a的逆元素会是a?1 = an ? 1，其中n为a的目。)
上述的条件可以用同态来叙述；亦即，H为群G的子群当且仅当H为G的子集且存在一个由H映射到G的内含同态(即对每个a，i(a) = a)。
子群的单位元亦是群的单位元：若G是个有单位元素eG的群，且H为具有单位元素eH之G的子群，则eH = eG。
一个子群内的一元素之逆元素为群内的此元素的逆元素：若H是群G的子群，且a和b为会使得ab=ba=eH之H内的元素，则ab = ba = eG。
子群A和B的交集亦为一个子群。但其联集亦为一个子群当且仅当A或B包含着另外一个，像是2和3是在2Z与3Z的联集中，但其总和5则不是。
若S是G的子集，则存在一个包括S的最小子群，其可以由取得所有包括S的子群之交集来找出；此一最小子群被标记为且称为由S产生的子群。G内的一个元素在内当且仅当其为S内之元素的有限乘积且其逆元。
在证明的过程中我们用到两个重要的定理：欧拉定理和拉格朗日定理以及欧拉函数。
综上所述：全特征子群包含与特征子群，特征子群包含于正规子群。
三、总结
根据本篇论文的研究，我们从中得到了全特征字群，特征子群，正规子群间的关系则：全特征子群包含与特征子群，特征子群包含于正规子群。设是一个群，H是G的子集，若H在运算·下也是群，则称H是G的子群。H是G的子群，若H的左陪集与右陪集相等，则称H是G的正规子群，又称自共轭子群。对G中任一元素α,映射Piα:g->αg（α逆）对G中任意g定义G到G上的一个一一对应,且为G的一个自同构，称为内自同构。一个正规子群就是一个在所有内自同构下不变的子群，因此又称为不变子群。对于群G的子群H来说，它在G中的左陪集与右陪集不一定相等，但对一些G和G的一些特殊子群，则具有性质："x?G，都有xH=Hx. 这样的子群被称为正规子群. 正规子群是一类特殊的子群，它在整个群论中起到非常重要的作用. 把正规子群与群的同态与同构结合起来，可以得到群论中最基本最重要的一些结果.
浙公网安备 33021202002483