实用圆切线方程的证明

实用圆切线方程的证明实用圆切线方程的证明关于圆的切线方程及相关公式的证明一、点P(x,y)在圆上 00 2221、在圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r上，则过点P(x,y)的切线方程为 00 2(x-a) (x-a) +(y-b) (y-b) =r或(x-a) (x-x) +(y-b) (y-y) =0 000000 yb,0222k,证明:?P(x,y)在圆上，(x-a) +(y-b) =r，圆心O(a,b)，OP的斜率 0000x,a0 xa,01y,y,,(x,x)?切线的斜率为，切线方程00 ,,ybk0 (x...

实用圆切线方程的证明关于圆的切线方程及相关公式的证明一、点P(x,y)在圆上 00 2221、在圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r上，则过点P(x,y)的切线方程为 00 2(x-a) (x-a) +(y-b) (y-b) =r或(x-a) (x-x) +(y-b) (y-y) =0 000000 yb,0222k,证明:?P(x,y)在圆上，(x-a) +(y-b) =r，圆心O(a,b)，OP的斜率 0000x,a0 xa,01y,y,,(x,x)?切线的斜率为，切线方程00 ,,ybk0 (x,a)(x,x)，(y,b)(y,y),0 ? 0000 222-a) +(y-b) =r ? (x00 2?+?得出(x,a)(x,x+x,a)+(y-b)(y,y+y,b)= r 000000 2(x,a) (x,a) +(y,b) (y,b) =r 00 2222、在圆的特殊方程x +y=r上，则过点P(x,y)的切线方程为 00 2xx + yy,=r (当a=0，b=0) 00 22223、在圆的一般方程x+y+Dx+Ey+F=0(D+E-4F,0)上，则过点P(x,y)的切00 x，xy，y00线方程为xx + yy + D×( )+ E×( )+ F =0 0022 22证明:x+y+Dx+Ey+F=0 224DED，E,F22()()，，，,xy化成圆的标准方程 224 224DED，E,F22()()，，，,xy?P(x,y)在圆上，，OP的斜率0000224 E，y02,1k?切线的斜率为，切线方程,Dk，x02 - 1 - D x，02y,y,,(x,x)00 E，y02 DE ? x(，)(x,x)，(y，)(y,y),0000022 224DED，E,F22()()，，，,xy ? 00224 ?+?得出 224DDEED，E,F()()()() ，,，，，，,，，,xxxxyyyy00000022224 2222()()4x，xy，yDED，E,F00，，，，，，，,xxDyyE 0024244 x，xy，y00xx + yy + D×( )+ E×( )+ F =0 0022二、点P(x,y)在圆外 11 222222PA,(x,a)，(y,b),r1、切线长 (标准方程(x-a) +(y-b) =r) 11 证明:用勾股定理。 2222切线长 (一般方程x+y+Dx+Ey+F=0) PA,x，y，Dx，Ey，F1111 证明:把圆的方程整理成标准方程，用勾股定理。 2、过切点AB弦的直线方程 2222 (1) (x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)= r (弦方程) (标准方程(x-a) +(y-b) =r) 11 2 (x-a) (x-a) +(y-b) (y-b) =r(切线方程) 00? 圆上切线圆外弦 y，yx，x11 (2)xx + yy + D×( )+ E×( )1122 22+ F =0 (一般方程x+y+Dx+Ey+F=0) (弦方程) x，xy，y 00 xx + yy + D×( )+ E×( )+ F =0(切线方程) 0022 - 2 - 证明(1):设切点A(x,y)，B(x,y)，过切点A、B的切线方程为 01010202 2(x,a) (x,a) +(y,b) (y,b) =r 0101 2(x,a) (x,a) +(y,b) (y,b) =r 0202 ?两条切线均过P(x,y) 11 2则 (x,a) (x,a) +(y,b) (y,b) =r ? 011011 2 (x,a) (x,a) +(y,b) (y,b) =r? 021021 由??式得出点A(x,y)，B(x,y) 满足线性方程 01010202 2 (x,a) (x,a) +(y,b) (y,b) = r 11 2因此AB的直线方程(x,a) (x,a) +(y,b) (y,b) = r 11 22证明(2): x+y+Dx+Ey+F=0 设切点A(x,y)，B(x,y)，过切点A、B的切线方程为 01010202 y，yx，x0101 xx + yy + D×( )+ E×()+ F =0 010122 y，yx，x0202 xx + yy + D×( )+ E×()+ F =0 020222 ?两条切线均过P(x,y) 11 y，yx，x101101xx + yy + D×( )+ E×()+ F =0 ? 01101122 y，yx，x102102 xx + yy + D×( )+ E×()+ F =0 ? 02101122 由??式得出点A(x,y)，B(x,y) 满足方程 01010202 y，yx，x11 xx + yy + D×( )+ E×( )+ F =0 1122 - 3 - 因此该方程为AB的直线方程。 22223、两圆x+y+Dx+Ey+F=0和x+y+Dx+Ey+F=0相交，其公共弦的方程为 111222 (D-D)x+(E-E)y+(F-F)=0 121212 证明:设交点A(x,y)，B(x,y)，分别代入两个圆的方程 1122 22x+y+Dx+Ey+F=0 ? 1111111 22x+y+Dx+Ey+F=0 ? 1121212 ?,?得 (D-D)x+(E-E)y+(F-F)=0 12112112 同理把B(x,y)代入得 (D-D)x+(E-E)y+(F-F)=0 1221221222 可见点A(x,y)，B(x,y) 满足线性方程 (D-D)x+(E-E)y+(F-F)=0 1122121212因此该方程为AB的直线方程。三、过两点为直径圆的方程过A(x,y)，B(x,y)两点为直径的圆，其方程为(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)=0 11221212证明:取圆上任意一点M(x,y)，MA?MB(M与A、B点重合除外)。 222总有MA+MB=AB成立 222222 (x,x)+(y,y)+(x,x)+(y,y)=(x,x)+(y,y)11222121 222222(x,x),(x,x)+(y,y),(y,y) +(x,x)+(y,y)=0 12112122 22(x,x)( x,x+x,x)+ (y,y)(y,y+y,y)+(x,x)+(y,y)=0 2121212122 2(x,x)( x,x)+ (x,x) (x,x)+ (x,x)+(y,y)( y,y)+ (y,y) (y,y)+ (y21221221221 2,y)=0 2 (x,x)( x,x)+ (x,x) (x,x+ x,x)+(y,y)( y,y)+ (y,y) (y,y+ y,y) 212212212212=0 2(x,x)( x,x)+2(y,y)( y,y)=0 2121 则 (x,x)( x,x)+ (y,y)( y,y)=0 1212 - 4 -

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