初中圆的定理

初中圆的定理 1 一、 切线问题 1) 切线的概念:直线与圆只有一个交点(切点) 2) 切线的判定:圆心到被研究直线的距离( ) 3) 切线的性质:连接圆心与切点 ? 直角 t R l OP 互余问题 勾股定理 4) 关于切线问题的基本辅助线方法 知切线，则连半径，用垂直或等腰? 过 圆心作垂直，证垂线段 拓展:坐标系中的问题: ?1 确定相关点的坐标 2 2 1 2 2 1 (两点间的距离) 1 2 k b y kx d o o (点到直线的距离) 5) 切线长定理 1. 过圆外一点向圆可作2 条切线 2. 定点与切点的距离相等: 拓展: 、 、 连结 (圆心角) ? ? ? 连结 t t 的平分线 是 ) 平分 (利用垂径定理， 连结 AOB OP AB AB OP 平分 2 2 2 AB OP 平分弧 (等积法) 2 =OC×CP AO 2 =OC×OP AP 2 =PC×0P (射影定理) Rt?APO 2 6) 多切线问题 1. “圆外切三角形”或“三角形的内切圆” : a、圆心 O 是三角形三个 角平分线的交点(即到 3 边距离相等的点):内心 b、内切圆半径与三角形面 积关系: ? ? 2 1 c、 ) 作 作角平分线(过 作内切圆 当三角形为直角三角形: ) ( 2 1 当三角形为正三角形: a r 6 3 2. “圆外切四边形”或“四边形的内切圆”: 对边之和相等 当四边形是正方形: a r 2 1 当多边形为正六边形: a r 2 3 3. 由圆外一点引切线的“周长”问题: ? 3 7) 其他问题 1. 结合一元二次方程中的韦达定理 2. 结合直角三角形:勾股定理、等积法(三角函数、相似) 特殊直角三角形:30?直角三角形 ( 2 : 3 : 1 ) 45?直角三角形( 2 : 1 : 1 ) 3. 弦切角问题(省略) 二、 弦、弧、圆心角、圆周角、圆 1) 弦:圆上任意2 点的连线段 1. 最长弦:直径 2. 过圆内一点(除圆心):最长弦是直径;最短弦是与最长弦(直径) 垂直的弦。 3. 弦心距:圆心到弦的距离 利用垂径定理及勾股定理计算 弦越长，弦心距越短 等弦对等弦心距 4. 垂径定理:过圆心的线(半径、直径、直线、弦心距等)垂直弦 平分弦 平分弦所对的圆心角、圆周角(优弧、劣弧) 5. 垂径定理的逆定理:过圆心的线，弦，“平分垂直，平分 6. 圆心到弦上动点的距离的取值范围: 弦心距 7. 平行弦间的距离:?圆心同侧: 2 1 ;?圆心异侧: 2 1 拓展:平行弦所夹的弧相等，弦相等等腰梯形的性质 (同一底的角相等;对角线相等) 8. 注意:?垂径定理(逆定理)运用，常连接构造Rt?/等腰? 勾股定理/“三线合一”的思路 ?弦所对圆心角1 个;弦所对圆周角2 个，并且互补 2) 弧:?劣弧 ?优弧 ?半圆 弧长: 180 n R l AB (n 是弧所对圆心角的度数)结合旋转问题，求扫 过的路径 1 8 0 n R l 路 径 = (n:旋转角 R:旋转点与旋转中心的距离) 3) 圆心角:顶点为圆心，其余2 点在圆周上 A B = 圆心角度数 圆周角:3 点均在圆周上 = 2×圆周角度数关于角度 计算转换为弧考虑 注:关注连结半径后出现的等腰三角形及其外角问题 4 4) 弧，半径扇形: 2 1 3 6 0 2 n R S l R 弧 扇 形 结合旋转问题，求扫过的面积 2 3 6 0 n R S (n:旋转角 R:旋转点与旋转中心的距离) 5) 弦，弧弓形(拱桥问题:弦长是跨度;拱高 = 半径 — 弦心距) ?(作圆)“补圆”:作弦的中垂线弧上任取一点连成弦作该弦的中 垂线交点为圆心 ?计算公式: 2 2 2 1 2 R R 弦 拱 高 拱高 弦心距 6) 圆的基本概念: 动点到定点的距离等于定长:(若有坐标系，利用两点距离公式 算r ) ? 圆心:定位置(圆心是直径的中点中位线或直角三角形斜边上的 中线 1 2 斜边) ? 半径:定圆的大小 、 2 、 ? 圆的对称性:圆既是轴对称图形，也是中心对称图形 (无数条对称轴) (圆心是对称中心) ? 如何确定圆 a:一点:无数个圆(大小不一，位置不定) b:二点:无数个圆(大小不一，但圆心都在二点所在线段的中垂线 上) c:三点(必须不在同一直线上):唯一确定一个圆三角形一定有 外接圆:圆心是三边中垂线交点 (外心) d:四点:构成四边形对角互补(点到顶点距离相等，即r ) 判定四点共圆 外角,内对角 ? 圆的表达方式 o ? (O 为圆心) 5 7) “四等”定理(在同圆或等圆中) 等弦心距 等弦 等弧 等圆心角 等圆周角 ” 另: 取，使 1 1 2 2 2 ? 又 A D B 三角形三边关系) 三、 与圆有关的位置关系 1) 点和圆的位置关系:研究点到圆心的距离OP 与半径R 的大小关系 ?点在圆内 ?点在圆上 ?点在圆外 ?若点在圆内，则“点到圆的最短距离”+“点到圆的最长距离”=直径 ?若点在圆外，则“点到圆的最短距离”=“点到圆的最长距离”—直径 ?做结合坐标问题，则 2 2 1 2 1 2 (O(x 1 ，y 1 )P(x 2 ，y 2 )) 2) 直线和圆的位置关系:研究圆心到(被研究)直线距离d 与半径R 的大 小关系 ?相切 ?相交 (结合:垂径定理、勾股定理、等腰三角形) ?相离 ?若结合坐标问题 直线为X 轴/Y 轴 则 直线为一次函数则 0 0 2 1 kx y b d k 0 0 x y 圆心 ， 6 3) 圆和圆的位置关系:研究两圆心的距离与R、r 之间的关系 ?外离 相离 外离: ?外切 内含:d R r ?相交 相切 外切: ?d 内切 内切:d R r ?内含 相交 四、 正多边形和圆 1) 几个基本概念: O 圆心 正多边形的中心 正多变形外接圆与内切圆的圆心 n R 半径 正多边形的半径 正多边形外接圆半径 r n 边心距 外接圆的弦心距 内接圆的半径 中心角?AOB:正多边形的外接圆圆心角 正多边形的周长: n l n 正多边形的面积: n 1 1 l 2 2 n n n n 正多边形的内角和: 2 1 8 0 n n n 每 个 内 角 : 正多边形的外角和: 360 360 n 每个外角: (无交点) (一个交点) (两个交点) 7 2) 几个特殊的正多边形问题 ?正三角形: ?正方形: ?正六边形 1 2 2 2 3 2 3 6 1 2 3 2 3 3 2 2 2 3 4 2 2 2 3 3 2 3)正多边形的镶嵌问题: 正三边形(6 个)、正四边形(4 个)、正六边形(3 个) 组合:正三边形(3 个)+正四边形(2 个) 正三边形(2 个)+正六边形(2 个)/ 正三边形(4 个)+正六边形(1 个) 五、 圆锥的问题 1) 几个基本概念: S:圆锥顶点 AS:母线 l 母 ( ) OS:圆锥的高 2 2 2 母 OB:底面半径 2) 圆锥侧面展开图:扇形 360 2 180 180 n l n R r l r n l 母 弧 母 1 1 2 2 2 侧 弧 母 母 扇形 2 侧 母 全 底 + r 拓展:处理曲面上的距离问题转化为侧面展开图处理 8 3)圆锥的构成方式: (1)扇形“卷成”圆锥:R=L 母 ; L 弧=2?r ; n=360r/ L 母 (2)Rt?绕各边旋转360? 绕直角边a : r=b h=a L 母=c S 侧面积= ?bc 绕直角边b: r=a h=b L 母=c S 侧面积= ?ac 绕斜边c:r=h(斜边上的高)S 侧面积= ?(a+b)h(斜边上的高) (3)绕等腰三角形的对称轴旋转360?:r=1/2 底 L 母=腰长 S 侧面积=1/2 底*腰长?