课时作业(十四)[第14讲用导数研究函数单调性与极值][时间：45分钟分值：100分]eq\a\vs4\al\co1(基础热身)1．函数f(x)＝x3－x的单调增区间为________________________________________________________________________．2．如果函数y＝f(x)的图象如图K14－1，那么其导函数y＝f′(x)的图象可能是图K14－2中的________________________________________________________________________．(填序号)图K14－1图K14－23．函数f(x)＝x3－3x2＋7的极大值是________． 4．若函数y＝lnx－ax的增区间为(0,1)，则a的值是________．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________．6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝________.7．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,2)，则b＝________，c＝________.8．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图K14－3，则该函数有________个极大值；________个极小值．图K14－39．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是________．10．[2023·福建卷改编]若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于________．11．[2023·苏北四市一调]已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是________．12．设f(x)，g(x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)，g(x)的导函数，且满足f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当a
f(b)g(x)；(2)f(x)g(a)>f(a)·g(x)；(3)f(x)g(x)>f(b)g(b)；(4)f(x)g(x)>f(b)g(a)．13．(8分)已知函数f(x)＝eq\f(4x2－7,2－x)，x∈[0,1]，求f(x)的单调区间．14．(8分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－eq\f(2,3)时都取得极值．(1)求a，b的值；(2)若f(－1)＝eq\f(3,2)，求f(x)的单调区间和极值．15．(12分)已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．16．(12分)已知函数f(x)＝|ax－2|＋blnx(x>0，实数a，b为常数)．(1)若a＝1，f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，求b的取值范围；(2)若a≥2，b＝1，求方程f(x)＝eq\f(1,x)在(0,1]上解的个数．课时作业(十四)【基础热身】1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))[解析]由f′(x)＝3x2－1>0得，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，故单调增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞)).2．(1) [解析]由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，所以只有(1)正确．3．7[解析]由f′(x)＝3x2－6x易得，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)，故极大值为f(0)＝7.4．1[解析]由条件可知，y′＝eq\f(1,x)－a>0的解集为(0,1)，代入端点值1，可知a＝1.【能力提升】5．(2，＋∞) [解析]f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞2.6．5[解析]∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，又f(x)在x＝－3时取得极值，∴f′(－3)＝30－6a＝0，则a＝5.7．－eq\f(3,2) －6[解析]因为f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由
题
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设知－10，b>0，∴ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝9，当且仅当a＝b＝3时，ab有最大值，最大值为9.11．[－2，－1] [解析]因为f′(x)＝3mx2＋2nx，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′－1＝3m－2n＝－3，,f－1＝－m＋n＝2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝3，))所以f′(x)＝3x2＋6x，又f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，所以f′(x)＝3x2＋6x≤0在区间[t，t＋1]上恒成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′t＝3t2＋6t≤0，,f′t＋1＝3t＋12＋6t＋1≤0，))解之得t∈[－2，－1]．12．(3) [解析]∵f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′<0，∴f(x)g(x)为减函数，又∵af(x)g(x)>f(b)g(b)．13．[解答]对函数f(x)求导，得f′(x)＝eq\f(－4x2＋16x－7,2－x2)＝－eq\f(2x－12x－7,2－x2).令f′(x)＝0，解得x1＝eq\f(1,2)，x2＝eq\f(7,2).当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下
表
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：x0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))1f′(x)－0＋f(x)－eq\f(7,2)－4－3所以，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，f(x)是减函数；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))时，f(x)是增函数．14．[解答](1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由题意，得x＝1和x＝－eq\f(2,3)为f′(x)＝0的解，∴－eq\f(2,3)a＝1－eq\f(2,3)，eq\f(b,3)＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))，∴a＝－eq\f(1,2)，b＝－2.(2)由(1)知f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2－2x＋c，由f(－1)＝－1－eq\f(1,2)＋2＋c＝eq\f(3,2)，得c＝1，∴f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2－2x＋1，f′(x)＝3x2－x－2.f′(x)的变化情况如下：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))(1，＋∞)f′(x)＋－＋∴f(x)的递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))和(1，＋∞)，递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1)).当x＝－eq\f(2,3)时，f(x)有极大值，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\f(49,27)；当x＝1时，f(x)有极小值，f(1)＝－eq\f(1,2).15．[解答](1)f′(x)＝3x2－a，故3x2－a≥0在R上恒成立，∴a≤0.(2)f(x)在(－1,1)上单调递减，则3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2在(－1,1)上恒成立，∴a≥3.16．[解答](1)a＝1，则f(x)＝|x－2|＋blnx＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋2＋blnx0eq\f(a,2)，则g′(x)>－a＋eq\f(a,2)＋eq\f(a2,4)＝eq\f(aa－2,4)≥0，即g′(x)>0，∴g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,a)))上单调递增．当x≥eq\f(2,a)时，g(x)＝ax－2＋lnx－eq\f(1,x)，g′(x)＝a＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,x2)>0，∴g(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，＋∞))上是单调增函数．∵g(x)的图象在(0，＋∞)上不间断，∴g(x)在(0，＋∞)上是单调增函数．∵geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))＝lneq\f(2,a)－eq\f(a,2)，而a≥2，∴lneq\f(2,a)≤0，则geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))<0，g(1)＝|a－2|－1＝a－3，①当a≥3时，∵g(1)≥0，∴g(x)＝0在(0,1]上有惟一解，即方程f(x)＝eq\f(1,x)解的个数为1个；②当2≤a<3时，∵g(1)<0，∴g(x)＝0在(0,1]上无解，即方程f(x)＝eq\f(1,x)解的个数为0个．
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