《数值分析与计算方法》习题

《数值分析与计算方法》习题 第1章 数值计算方法与误差 1.将3.141，3.14，3.15，22/7分别作为π的近似值，试确定它们各有几位有 效数字，并确定其相对误差限。 解:记x=π=3.14159265…， **** x =3.141， x=3.14， x=3.15， x=22/7。 1234 1-3**1)由|x- x|=|π-3.141|=0.0005…?0.005=10/2，所以x 有3位有效数字，进而 11 1-3*|E(x)|?10/(2×3)?0.0017， r1 故近似值3.141的相对误差限δ?0.0017。 1 1-3**2)由|x- x|=|π-3.14 |=0.001…?0.005=10/2，所以x 有3位有效数字，进而 22 *1-3|E(x)|?10/(2×3)?0.0017， r2 故近似值3.14 的相对误差限δ?0.0017。 2 1-2**3)由|x- x|=|π-3.15|=0.008…?0.05=10/2，所以x 有2位有效数字，进而 33 1-2*|E(x)|?10/(2×3)?0.017， r3 故近似值3.15的相对误差限δ?0.017。 3 1-3**4)由|x- x|=|π-22/7|=0.001…?0.005=10/2，所以x 有3位有效数字，进而 44 1-3*|E(x)|?10/(2×3)?0.0017， r4 故近似值22/7的相对误差限δ?0.0017。 4 2.计算sin1.2,问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01,, 解:设取n位有效数字，由sin1.2,0.93„,故α,9，又由 1 ***-n+1-4|E(x)|,|x-x|/|x|?10/2α?0.01,,10， 1r 解上不等式得n=4 ?3(利用4位数学用表求1,cos2的近似值，比较不同方法计算所得结果的误差。 解:用4位数学用表直接计算: ?1,cos2?1,0.9994,0.0006， 只有1位有效数字 改用其他的计算方法: ,?2??24cos2,sin2/(1+cos2) ?(0.03490)/1.9994?6.092×10，具有4位有效数1)1, 字。 ,?2?42)1,cos2,2sin1?6.09×10，具有3位有效数字。 ,,?4而准确值1,cos2,6.0917„×10，故以上3种算法的误差限分别为0.1×10,,444，0.0003×10，0.002×10。 4(用秦和韶方法求多项式 2345 P(x),1，x，0.5x，0.16667x，0.04167x，0.00833x在x = - 0.2的值。 解: K av 5-K K 0 0.00833 0.00833 v = a05 1 0.04167 0.04 v = vx+a104 2 0.16667 0.15867 v = vx+a213 3 0.5 0.46827 v = vx+a322 4 1 0.90635 v = vx+a431 5 1 0.81873 v = vx+a540 ,(- 0.2)= 0.81873 5(求:的值。当x = 1000，y 的准确值为0.01580 y,x，1,x 1)直接相减 y,1001,1000,31.64,31.62,0.02 1y,x，1,x,2)将原式改写为 x，1，x 则 y = 0.01581 第2章 非线性方程的数值解法 ,x,(用牛顿法解方程x,e=0在x=0.5附近的近似根. 要求<0.001. 计x,xn，1n算过程保留5位小数. ,x,0.5,0.5,,解:令f(x)= x,e，取x=0.5，则=0.064 61>0， f(0.5)f(0.5),(0.5,e)(,e)0 于是取初始值x=0.5. 0 牛顿迭代公式为 ,xn(),efxxnn,,,, (n=0,1,2,…) xxxn，nn1,xn,()1，efxn x=0.5, 0 ,0.50.5,e x,0.5,,0.566311,0.51，e x,x,0.0663110 ,0.566310.56631,e x,0.56631,,0.567142,0.566311，e x,x,0.00083,0.00121 于是取x=0.56714为方程的近似根. 2. 用弦截法求方程x,sinx,0.5=0在[1.4，1.6]之间的一个近似根，满足 ，计算过程保留4位小数. x,x,0.01k，1k 解:设f(x)=x,sinx,0.5，取，f(1.4)=,0.085 5<0, f(1.6)=0.100 4>0， x,1.4,x,1.601 故f(x)=0在[1.4, 1.6]内有根. f(x)n弦截法的公式为: x,x,(x,x)n，1nnn,1f(x),f(x)nn,1(n=1,2,…)于是，代入函数f(x)，本题有迭代公式 x,sinx,0.5nn x,x,(x,x) n，1nnn,1x,x,sinx，sinxnn,1nn,1 1.6,sin1.6,0.5 x,1.6,(1.6,1.4),1.491921.6,1.4,sin1.6，sin1.4 08 1，不满足精度要求. x,x,0.121 当n=2时， 1.4919,sin1.4919,0.5 x,1.4919,(1.4919,1.6),1.497031.4919,1.6,sin1.4919，sin1.6 ，满足精度要求. x,x,0.005132 ,1.4970 所求方程的解为x* 3( 求方程 3 f(x),x,x,1,0 在区间[1, 1.5]内的实根。要求准确到小数点后第2位。 解: 用二分法，这里a = 1, b = 1.5， 且f (a) < 0，f (b) > 0。取区间[a, b]的中点x = 1.25将区间二等分，由于f (x)< 0，即f (x)与f (a)同号，故所求的根必在x0000的右侧，这里应令a = x = 1.25，b = b = 1.5，而得到新的有根区间(a, b)。 10111 对区间(a, b)再用中点x = 1.375二分，并进行根的隔离，重复步骤2、3; 111 如此反复二分下去，我们预先估计一下二分的次数:按误差估计式 1* x,x,b,a,(b,a)kk，1k，1k，12 解得k = 6，即只要二分6次，即达所求精度。计算结果如下表: k abxf (x)的符号 k k k k 0 1 1.5 1.25 - 1 1.25 1.5 1.375 + 2 1.25 1.375 1.3125 - 3 1.3125 1.375 1.3438 + 4 1.3125 1.3438 1.3281 + 5 1.3125 1.3281 1.3203 - 6 1.3203 1.3281 1.3242 - -53 4(求方程在[0, 0.5]内的根，精确到10。 x,3x，1,0 解:将方程变形 13 x,(x，1),,(x)3 2因为，在[0, 0.5]内为增函数，所以 ,'(x),x,0 2 L,max,'(x),0.5,0.25,1满足收敛条件，取x = 0.25，用公式(2.3)算得 0 x = , (0.25) = 0.3385416 1 x = , (x) = 0.3462668 21 x = , (x) =0.3471725 32 x = , (x) =0.3472814 43 x = , (x) =0.3472945 54 x = , (x) =0.3472961 65 x = , (x) =0.3472963 76 *取近似根为x = 0.347296 5( 用牛顿迭代法建立求平方根 (c >0)的迭代公式。 c 2 解:设，(x >0)则c就是f (x) =0的正根。由为f’ (x) = 2x，所f(x),x,c 以由(2.5)得迭代公式 2xc,k xx,,kk，12xk ,,1c,,或 (2.6) xx,，k，1k,,2xk,,由于x >0时，f’ (x) >0，且f, (x)< 0，根据定理3知:取任意初值，(2.5)x,c0 所确定的迭代序列{x}必收敛于。 ck 6(用上题公式求 0.78265 取初值x = 0.88，利用公式(2.6)的计算结果见表 k xk 0 0.88 1 0.88469 2 0.88468 3 0.88468 故可取 0.78265,0.88468 3* = 1.32472，若取初值x = 0.6，例如，已知方程f (x) = x – x – 1 = 0的一个根为x0 f(x)*0用牛顿法，反而比x = 0.6更偏离根x。若改用牛顿下山x,x,,17.9010f'(x)0 法 f(x)k (k = 0, 1, 2, „) xx,,,k，1kf'(x)k 计算，仍取x = 0.6计算结果列表 2- 中 0 k x, k 0 1 0.6 5 1 1/21.14063 2 1 1.36681 3 1 1.32628 4 1 1.32472 由此可见，牛顿下山法使迭代过程收敛加速。 -437(用双点弦截法求方程在x = 1.5附近的根，使绝对误差精确到10。 x,x,1,0 解:取初值x = 1.5，x = 1.4，按公式(2.10)得迭代格式 01 3(x,x,1)(x,x)kkkk,1 x,x,k，1k33(x,x,1)(x,x,1)kkk,1k,1 按上式计算得: x = 1.33522 2 x = 1.32541 3 x = 1.32472 4 x = 1.32472 5 *取x , 1.3247 第,章 线性代数方程组的数值解法 1..用列主元消去法解线性方程组 xxx12,3，3,15,123, xxx,18，3,,,15,123 ,xxx，，,6123, 计算过程保留4位小数. 12,3315，， ,,解:[Ab]=,183,1,15 (选为主元) a,,18？21,, ,,1116，， ,183,1,15，， ,,(r,r)12 ,,,,12,3315(换行，消元) ,, ,,1116，， 12rr，2118,183,1,15，，1rr，31,,18 (选为主元，并换行,,,,,0,12.33335a,1.166732,, ,,01.16670.94445.1667，，消元) (r,r)23,183,1,15，，1rr，32,,1.1667 ,,,,,,01.16670.94445.1667 ,, ,,003.14289.4285，， 系数矩阵为上三角形矩阵，于是回代得解 9.4285x,,3.000033.1428 x,[5.1667,0.9444，3.0000]/1.1667,2.00002 x,[,15，3.0000,3，2.0000]/(,18),1.00001 T 方程组的解为X,(1.000 0,2.000 0,3.000 0) 2. 证明解线性方程组AX=b的雅可比迭代收敛，其中 410，， ,, A= 121,, ,,011，， 证明:由该线性方程组的系数矩阵A得其雅可比迭代矩阵为 0,0.250，， ,,,0.50,0.5 B, 0,, ,,0,10，， 求矩阵B的特征根，解 0 ,0.250 ,0.50.5 ,01 2,,,,(,0.5),0.25，0.5 2,,(,,0.625),0 解得特征根:. ,,0,,,,0.79,,,0.79123 因为所有，由定理可知，该线性方程组的雅可比迭代收敛. ,,1k 3(用列主元高斯消去法求解方程 xxx2,，3,1,123, xxx 4，2，5,4,123 ,xx，2,712, 由于解方程组取决于它的系数，因此可用这些系数(包括右端项)所构成解: 的“增广矩阵”作为方程组的一种简化形式。对这种增广矩阵施行消元手续: 2,131,,,,* 4254,, ,,1207,, 第一步将4选为主元素，并把主元素所在的行定为主元行，然后将主元行换到第一行得到 10.51.251,,4254,,,,,,第一步消元*2,131,,,,,0,20.5,1,,,, ,,,,120701.5,1.256,,,, 10.51.25110.51.251,,,,,,,,第二步消元第三步消元,,,,,01,0.250.5,,,,,01,0.250.5,,,, ,,,,00,0.8755.25001,6,,,,消元过程的结果归结到下列三角形方程组: xxx，0.5，1.25,1,123,xx ,0.25,0.5 ,23 ,x,,63, 回代，得 x9,,1, x1 ,,,2 ,x6,,,3, 4(用直接三角分解法解 x12314,,,,,,1,,,,,, x252,18,,,,,,2 ,,,,,,31520x3,,,,,, 解:(1)对于r = 1，利用公式(3.19)、(3.20)计算 u,1u,2u,3111213 l = 2 l= 321 31 (2)对于r = 2，利用(3.21)计算 = 5 – 2 ， 2 = 1 u,a,lu22222112 = 2 – 2 ，3 = -4 u,a,lu23232113 (a,lu)(1,3，2)323112 l,,,,532u122 (3)r = 3 u,a,(lu，lu),5,(3，3，(,5),(,4)),,24333331133223于是 1123,,,,,,,, A,211,4,LU,,,, ,,,,3,51,24,,,, (4)求解: Ly = b 得到 y = 14 1 y = b – ly = 18 – 2 ， 14 = -10 22211 y = b – (ly + ly) = 20 – (3， 14 + (-5)(-10)) = - 72 33311322T从而 y = (14, -10, -72) 由Ux= y 得到 y,723 x,,,33u,2433 (y,ux),10,(,4，3)2233 x,,,22u122 y,(ux，ux)14,(2，2，3，3)1122133 x,,,11u111 T x,(1,2,3) 5(用雅克比迭代法和高斯――赛得尔迭代法解线性方程组 x9,1,17,,,,,,1,,,,,, x,180,7,,,,,,2 ,,,,,,,1098x3,,,,,, 解:所给线性方程组的系数矩阵按行严格对角占优，故雅克比迭代法和高斯――赛得尔迭代法都收敛。 -1 D = diag (9, 8, 9) D = diag (1/9, 1/8, 1/9) 01/91/97/9,,,,,,,,,1,11/800 ,,7/8,IDADb,,,, ,,,,1/9007/9,,,, 雅克比迭代法的迭代公式为: 01/91/97/9,,,,,,,,(k，1)(k) 1/8007/8,，XX,,,, ,,,,1/9007/9,,,, (0)T取X = (0, 0, 0)，由上述公式得逐次近似值如下: k 0 1 2 3 4 X (i) 0.77780.97380.99420.99930,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 0.87500.97230.99930.99930,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,00.88890.97530.99930.9993,,,,,,,,,, 高斯――赛得尔迭代法: 1,(k，1)(k)(k)，，x,x，x，7123,9,1,(k，1)(k，1)(k)，，x,x，x，7 ,2138, 1,(k，1)(k，1)(k，1)，，xx0x8,，,，312,9, 迭代结果为: k 0 1 2 3 4 (i) x0.77780.99420.99981.0000,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 0.97220.99931.00001.0000,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,00.97530.99931.00001.000,,,,,,,,,, 第4章 插值与曲线拟和 1. 已知函数表 x0 1 2 3 4 5 f(x),7 ,4 5 26 65 128 求证由此构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数为1. 证明:作均差表 一阶均差 二阶均差 三阶均差 f(x)xkk 0 -7 1 -4 3 2 5 9 3 3 26 21 6 1 4 65 39 9 1 5 128 63 12 1 因为三阶均差均为常数1，可见该函数表的牛顿插值多项式最高次幂为3次， 且其系数为1. 2. 已知一组试验数据 2 2.5 3 4 5 5.5 xk 4 4.5 6 8 8.5 9 yk 试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数) 解:设直线y,a+ax，那么a,a满足的法方程组公式为 0101 ,，,anaxy,,kk01, ,2ax，ax,xy,,,,kkkk01, 代入数据，经计算得到法方程组为 6，22,40aa,01 ,22a，90.5a,161.2501, 解得a=1.229 a=1.483 01 所求直线方程为 y=1.229+1.483x * 例:用线性插值求 (x = 10.723805) 115 解:设y,x，取x = 100，x = 121 01 则 y = 10 y = 11 01 从而 11,10 115,P(115),10，(115,100),10.71428 1121,100 * 3(用抛物插值求，(x = 10.7238) 115 解:设，函数表为 y,x x 100 121 144 y 10 11 12 (115,121)(115,144)115,P(115),，102(100,121)(100,144) (115,100)(115,144)，，11 (121,100)(121,144) (115,100)(115,121)，，12(144,100)(144,121) ,10.7228 = 0, 2, 3, 5，对应的函数值为y = 1, 3, 2, 5，作三次牛顿插值多项式 4(已知x 解:作差商表 x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 22,,()11(2)(2)(3)Nx,，x,，xx,,，xx,x,, ,,3310,, 如已知x = 0, 2, 3, 5, 6时，对应的函数值为y = 1, 3, 2, 5, 6(即增加了一个点)，作差商表 x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 6 6 1 -1/6 -1/4 -11/120 四次牛顿插值多项式为 23,,N(x),1，x,1，x(x,2),，x(x,2)(x,3),,,4310,, 11,,，x(x,2)(x,3)(x,5),, ,,120,, 11,,Nxxxxx,()，(,2)(,3)(,5),,,3120,, 5(求满足条件 x 1 2 3 y 2 4 12 y’ 3 的插值多项式及余项。 解:设插值多项式H(x)，满足所给的已知条件，按牛顿插值的构造思想: 3 H(x),N(x)，K(x,1)(x,2)(x,3)32 N(x),f(x)，f[x,x](x,x)20010其中 ，f[x,x,x](x,x)(x,x)01201 f(1),f(2)2,4 f[1,2],,,21,21,2 f(2),f(3)4,12 f[2,3],,,82,32,3 f[1,2],f[2,3]2,86 f[1,2,3],,,,31,31,32 N(x),2，2(x,1)，3(x,1)(x,2)2 2 ,2，2x,2，3x,9x，6 2,3x,7x，6 为确定k值，对前式求导，得: ,,,, H(x),N(x)，k(x,1)(x,2)，(x,1)(x,3)，(x,2)(x,3)32 ,令x = 2，代入上式，且注意插值条件，得 H(2),33 ,, H(2),N(2)，k(,1),332 ,因为，所以k = 2，于是 N(2),52 2H(x),3x,7x，6，2(x,1)(x,2)(x,3)3 32,2x,9x，15x,6 ,可以验证 H(x),fi,0,1,2,H(2),33ii3 余项 (4)f(), R(H,f),(x,1)(x,2)(x,3)(x,2)4! 第5章 数值积分和数值微分 1. 取m=4,即n=8，用复化抛物线求积公式计算积分 1.22 ln(1，x)dx,0 计算过程保留4位小数. 1.2,02解:n=8, h=,f(x)=ln(1+x) ,0.158 计算列表 = f(x)k2 ln(1，x)k k奇数号 偶数号 端点 xk 0 0.00 0 1 0.15 0.022 3 2 0.30 0.086 2 3 0.45 0.184 4 4 0.60 0.307 5 5 0.75 0.446 3 6 0.90 0.593 3 7 1.05 0.743 1 8 1.20 0.892 0 1.396 1 0.987 0 0.892 , 0 代入抛物线求积公式 1.2h2 ln(1，x)dx,[f，f，4(f，f，f，f)，2(f，f，f)]081357246,03 0.15 , [0.8920，4，1.3961，2，0.987],0.42253 2. 将区间[1,9]8等分，试用复化梯形公式求积分 9 6x,5dx,1 的近似值，计算过程中保留3位小数. 解:计算列表 k x f(x),6x,5kk 0 1 1.000 1 2 2.646 2 3 3.606 3 4 4.359 4 5 5.000 5 6 5.568 6 7 6.083 7 8 6.557 8 9 7.000 h=1, 用梯形公式 79h 6x,5dx,[f(x)，f(x)，2f(x)],k08,12k,1 1 ,，[1，7，2(2.646，3.606，4.359，5.000，5.568，6.083，6.557)]2 =37.819 3(利用数据表 x0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 k f 4 3.93846 3.76470 3.50685 3.20000 2.87640 2.46000 2.26549 2 (x) k 计算积分 14* , Idx2,01，x 解:直接求解得 *1 I,4arctgx|,,,3.1415926？0 取n = 8用复化梯形公式 ，111131,,,,,,,,T,，f(0)，2f，2f，2f，2f,,,,,,,,8,828482,,,,,,,,， ，537,,,,,,，2f，2f，2f，f，，1 ,,,,,,,848,,,,,,， ,3.13899 取n=4,用辛卜生公式 ，111131,,,,,,,,S,，f(0)，4f，2f，4f，2f,,,,,,,,4,468482,,,,,,,,， ，537,,,,,,，，，4f，2f，4f，f1 ,,,,,,,848,,,,,,， ,3.14159 4(求形如 1 f(x)dx,Af(x)，Af(x)0011,,1 的两点求积公式。 本题的解法很多，结果也不一定相同，下面介绍两种解法。 解: (1)用梯形公式(即以x = -1，x = 1为节点的插值型求积公式)立即可得 01 , f(x)dx,f(,1)，f(1),1, 显然，此求积公式只具有一次代数精确度。 (2)若对求积公式中的四个待定系数A, A, x, x适当选取，使求积公式对01012f (x) = 1，x，x，x都准确成立，即得方程组 3 A，A,2,01,Ax，Ax,00011,, 2,22Ax，Ax,0011,3,33,Ax，Ax,00011, 求解得 331,, A,A,x,,x,010133故得 1,,,,33,,,, () ,,，fxdxff,,,,,,133,,,,显然，此求积公式具有三次代数精确度。容易验证，它也是插值型求积公式。 5(运用高斯――勒让德公式计算积分 1 x，1.5dx,2.399529,,1 解:两点公式 1 x，1.5dx,1.5,0.577350，1.5，0.577350,2.401848,,1 两点梯形公式 111,,x，1.5dx,21，1.5，,1，1.5,2.288246 ,,,,122,, 三点公式: 1，1.5,0.5555560.725403，2.274597，0.8888891.5，，xdx, , 1 ,2.399709 三点辛卜生公式: 11 ，，x，1.5dx,0.5，41.5，2.5,2.395742,,13 4b,ah,,*I,S,M ,,n41802,, 第6章 常微分方程初值问题的数值解法 1. 取h=0.1, 用改进欧拉法预报,校正公式求初值问题 2,,,1，，yxy ,y(0),1, 在x=0.1, 0.2处的近似值. 计算过程保留3位小数. 解:预报,校正公式为 2,,，,，，，yyhf(x,y)yh(1xy)kxkkkk，k1, ,2hh2y,y，[f(x,y)，f(x,y)],y，(2，x，y，x，y),，，，k1kkkk1kkkk1，，k1k122, h=0.1,x=0，y=1，x=0.1，于是有 001 2,y,1，0.1(1，0，1),1.21, ,0.122y,1，(2，0，1，0.1，1.2),1.227,12, h=0.1,x=0.1，y=1.227，x=0.2，于是有 112 2,,1.227，0.1(1，0.1，1.227),1.488y2, ,0.122y,1.227，(2，0.1，1.227，0.2，1.488),1.528,22, 所求为y(0.1),y=1.227 y(0.2),y=1.528 12 2. 用四阶龙格,库塔法求解初值问题 ,y，y,1, ,y(0),0, 取h=0.2, 求x=0.2, 0.4时的数值解. 要求写出由h,x,y直接计算y的迭代公式. kkk+1 计算过程保留3位小数. 已知四阶龙格,库塔法斜率值公式为 11hh ,=f(x,y) ,=f(x+h，y+,) ,=f(x+h，y+,) ,=f(x+h，1kk2kk13kk24k2222y+h,) k3 解:,=f(x,y)=1,y 1kkk 1h0.2 =f(x+h，y+),1,,0.9(1,y) ,,y,,2kk1kk1222 1h0.21 ,=f(x+h，y+,)=,0.91(1,y) ,y,,3kk2kk2222 ,=f(x+h，y+h,)==0.818(1,y) 1,y,0.2,4kk3kk3 h 代入公式 ,，(,，2,，2,，,)yyk，1k12346 0.2 , y，[(1,y，2，0.9(1,y)，2，0.91(1,y)，0.818(1,y)]kkkkk6 ,y，0.181(1,y),0.181，0.819ykkk 于是有 y(0.1),y ,0.181，0.819，0,0.1811 y(0.2),y,0.329 ,0.181，0.819，0.1812 3( 用欧拉法求初值问题 0.9,yy',,, x1，2, ,yxx(),1,000, 当h = 0.02时在区间[0, 0.10]上的数值解。 0.9 解 把代入欧拉法计算公式。就得 f(x,y),,y1，2x 0.9y,y,hynnn，11，2xn ,,0.018,,,1,yn,0,1,？,5n,,1，2xn,, 具体计算结果如下表: n xyy(x) , = y(x) - yn n nnnn 0 0 1.0000 1.0000 0 1 0.02 0.9820 0.9825 0.0005 2 0.04 0.9650 0.9660 0.0005 3 0.06 0.9489 0.9503 0.0014 4 0.08 0.9336 0.9354 0.0018 5 0.10 0.9192 0.923 0.0021 在上表中y(x)列，乃是初值问题(9.5)、(9.6)的真解 n ,0.45 y(x),(1，2x) 4(求解 dy2x,,y,, dxy, ,y(0),1, 在区间[0, 1.5]上，取h = 0.1。 解: (1)用欧拉法计算公式如下: ,,2xn,, y,y，hy,y,1,h,0.1nnn，10,,yn,, (2)用迭代一次的改进欧拉法计算公式如下: ,,2x(0)n,, yyhy,，,n，n1,,yn,, h(0),,y,y，f(x,y)，f(x,y)n，1nnnn，1n，12 ，，,,,,2x2xh(0)nn，1,,,, ,y，y,，y, ,,nnn，1(0),,,,2yy,,n,,n，1,,，， y,1,h,0.10 本题的精确解为，可用来检验近似解的精确程度。计算结果如y(x),1，2x 下表: 准确解 迭代一次 x欧拉法yn n y(x),1，2x改进欧拉法yn nn 0 1 1 1 0.1 1.1 1.095909 1.095445 0.2 1.191818 1.184096 1.183216 0.3 1.277438 1.260201 1.264911 0.4 1.358213 1.343360 1.341641 0.5 1.435133 1.416102 1.414214 0.6 1.508966 1.482956 1.483240 0.7 1.580338 1.552515 1.549193 0.8 1.649783 1.616476 1.612452 0.9 1.717779 1.678168 1.673320 1.0 1.784770 1.737869 1.732051 1.1 1.85118 1.795822 1.788854 1.2 1.917464 1.852242 1.843909 1.3 1.984046 1.907323 1.897367 1.4 2.051404 1.961253 1.949359 1.5 2.120052 2.014207 2.000000 5(导出用三阶泰勒级数法解方程 22 y',x，y 的计算公式 : 解 因 22 y',f(x,y),x，y 22,, y,f',2x，2yy',2x，2y(x，y) 22222,,,,,,, y,f,2，2yy,2(y'),2，4xy，2(x，y),(x，3y) (4),,,,,,,,,,y,f,2yy，2y'y，4y'y ,,,,,2yy，6y'y 222222,4y，4x(3x，5y)，8y(x，y)(2x，3y) 故 1123,,, y,y，hf，hf，hfn，1nnnn26而 4h(4) R,f(,)x,,,x3nnn，14! (k)其中表示f(x, y)对x的k阶偏导数在x = x点上的值。 fnn 6(用龙格――库塔法解初值问题 2 y’ = x – y (0?x?1) y(0) = 1 解 : 取 h = 0.1，由(9.22)得 2,k,x,y1nn,2k,(x，0.05),(y，0.05k),2nn1 ,2k,(x，0.05),(y，0.05k),3nn2 ,2,(，0.1),(，0.1)kxyk4nn3, 把初始条件x = 0，y = 1，代入,得k = -1，k = -0.9475，k = -0.9501，k = 0.8950，001234 将这些k值代(9.22)，得 0.1y,1，,1，2(,0.9475,0.9501),0.8950,,1 6 ,0.90516 重复上述步骤可算出y，y，„，y等。 2310 7(求y’ = x + y, y (0) = 1 当x = 0.1到0.5，步长h = 0.1时的数值解。 解 先用前面讲过的方法计算出表头 y = 1; y = 1.11034; 01 y = 1.24281; y = 1.39972 23 将上述值代入(9.35)式，计算得: y = 1.58364; y = 1.79742 45 8(试用差分法解方程 x,,,y,2(9x，2)y,,2(9x，2)e0,x,1 ,y(0),0,y(1),1, 1解 将[0, 1]划分为四等分，即取，得五个节点 h,4 113 x,0,x,,x,,x,,x,101234424差分方程为 y,2y，y,xnnn,，11n,2(9x，2)y,,2(9x)ennn，2,2h,,n,1,2,3 , , ,,y,0,y,104, 将它改写成 22xn,,，，,,y21h(9x)yy2h(9x)e,,1212,，，，nnnnn ,,,y0,y104, 在每个内点列方程得 yy,2.5312，,,0.6821,12,yyy ,2.8125，,,1.3396 ,123 ,yy,3.0938,,3.315623, 由追赶法递推公式解得: y = 1.4855 y = 1.2802 y = 0.7753 321