2012年理科实验班自主招生考试数学试卷(一)

2012年理科实验班自主招生考试数学试卷（一） 2012年理科实验班自主招生考试数学试卷（一） 　 一、选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1．（3分）在﹣0.3168中，用数字4替换其中的一个非0数字后，使所得的数最大，则被替换的数字是（  ） 　 A． 1 B． 3 C． 6 D． 8 　 2．（3分）如图，线段AF中，AB=a，BC=b，CD=c，DE=d，EF=e．则以A，B，C，D，E，F为端点的所有线段长度的和为（  ） 　 A． 5a+8b+9c+8d+5e B． 5a+8b+10c+8d+5e 　 C． 5a+9b+9c+9d+5e D． 10a+16b+18c+16d+10e 　 3．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（ac，b）所在象限是（  ） 　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 　 4．（3分）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD的长等于（  ） 　 A． B． C． 12 D． 　 5．（3分）给出一列数 ，在这列数中，第50个值等于1的项的序号是（  ） 　 A． 4900 B． 4901 C． 5000 D． 5001 　 6．（3分）如图，⊙O1与⊙O2外切于P，⊙O1，⊙O2的半径分别为2，1．O1A为⊙O2的切线，AB为⊙O2的直径，O1B分别交⊙O1，⊙O2于C，D，则CD+3PD的值为（  ） 　 A． B． C． D． 　 二、填空题 7．（5分）已知，且a+b+c≠0，那么直线y=mx﹣m一定不通过第 　_________　象限． 　 8．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC=　_________　． 　 9．（5分）如图，在直角△ABC中，AB=AC=2，分别以A，B，C为圆心，以为半径做弧，则三条弧与边BC围成的图形（图中阴影部分）的面积为　_________　． 　 10．（5分）分解因式：2m2﹣mn+2m+n﹣n2=　_________　． 　 11．（5分）如图：四边形EFGH是一个长方形台球桌面，有白、黑两球分别位于A，B两点的位置上．试问，怎样撞击白球A，才能使白球A先碰撞台边GH，再碰撞FG，经两次反弹后再击中黑球B？ （将白球A移动路线画在图上，不能说明问题的不予计分） 　 12．（5分）有三位学生参加两项不同的竞赛，则每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有两位学生参加的概率为　_________　． 　 13．（5分）设[x] 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示不超过x的最大整数（例如：[2]=2，[1.25]=1），则方程3x﹣2[x]+4=0的解为 　_________　． 　 14．（5分）如图，是一个挂在墙壁上时钟的示意图．O是其秒针的转动中心，M是秒针的另一端，OM=8cm，l是过点O的铅直直线．现有一只蚂蚁P在秒针OM上爬行，蚂蚁P到点O的距离与M到l的距离始终相等．则1分钟的时间内，蚂蚁P被秒针OM携带的过程中移动的路程（非蚂蚁在秒针上爬行的路程）是　_________　 cm． 　 三、解答题 15．（12分）已知A、B两地相距45千米，骑车人与客车分别从A、B两地出发，往返于A、B两地之间．如图中，折线表示某骑车人离开A地的距离y与时间x的函数关系．客车8点从B地出发，以45千米/时的速度匀速行驶．（乘客上、下车停车时间忽略不计） ①在阅读如图的基础上，直接回答：骑车人共休息几次？骑车人总共骑行多少千米？骑车人与客车总共相遇几次？ ②试问：骑车人何时与客车第二次相遇？（要求写出演算过程）． 　 16．（12分）如图1：等边△ADE可以看作由等边△ABC绕顶点A经过旋转相似变换得到．但是我们注意到图形中的△ABD和△ACE的关系，上述变换也可以理解为图形是由△ABD绕顶点A旋转60°形成的．于是我们得到一个结论：如果两个正三角形存在着公共顶点，则该图形可以看成是由一个三角形绕着该顶点旋转60°形成的． ①利用上述结论解决问题：如图2，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BFC都是等边三角形，求四边形ADFE的面积； ②图3中，△ABC∽△ADE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=θ，仿照上述结论，推广出符合图3的结论．（写出结论即可） 　 17．（12分）在三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C对应的边分别是a，b，c，其中a﹣b=2，CD⊥AB于D，BD﹣AD=2，求△ABC三边的长． 　 18．（12分）按下面规则扩充新数：已有a和b两个数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3． ①求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数； ②能否通过上述规则扩充得到新数5183？并说明理由． 　 19．（14分）如图，二次函数y=ax2+bx（a＞0）的图象与反比例函数图象相交于点A，B，已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）． ①求实数k的值； ②求二次函数y=ax2+bx（a＞0）的解析式； ③设抛物线与x轴的另一个交点为D，E点为线段OD上的动点（与O，D不能重合），过E点作EF∥OB交BD于F，连接BE，设OE的长为m，△BEF的面积为S，求S于m的函数关系式； ④在③的基础上，试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时E点的坐标；若不存在，说明理由． 　 2012年理科实验班自主招生考试数学试卷（一） 参考答案与试题解析 　 一、选择题 1．（3分）在﹣0.3168中，用数字4替换其中的一个非0数字后，使所得的数最大，则被替换的数字是（  ） 　 A． 1 B． 3 C． 6 D． 8 考点： 有理数大小比较．1051400 专题： 存在型． 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ： 先用4替换该数中任一不等于0的数，再根据负数比较大小的法则进行解答即可． 解答： 解：若使所得数最大，则替换后的数的绝对值应最小， 当4替换3时所得数为：﹣0.4168； 当4替换1时所得数为：﹣0.3468； 当4替换6时所得数为：﹣0.3148； 当4替换8时所得数为：﹣0.3164； ∵0.4168＞0.3468＞0.3164＞0.3148， ∴﹣0.4168＜﹣0.3468＜﹣0.3164＜﹣0.3148， ∴﹣0.3148最大， ∴被替换的数字是6． 故选C． 点评： 本题考查的是有理数的大小比较，解答此题的关键是熟知两负数比较大小时，绝对值大的反而小． 　 2．（3分）如图，线段AF中，AB=a，BC=b，CD=c，DE=d，EF=e．则以A，B，C，D，E，F为端点的所有线段长度的和为（  ） 　 A． 5a+8b+9c+8d+5e B． 5a+8b+10c+8d+5e 　 C． 5a+9b+9c+9d+5e D． 10a+16b+18c+16d+10e 考点： 比较线段的长短．1051400 分析： 首先求出以A为端点线段的长度，类比依次求出B、C、D、E为端点的线段的长度，然后求出这些线段的长度总和． 解答： 解：以A为端点线段有AB、AC、AD、AE、AF，这些线段长度之和为5a+4b+3c+2d+e， 以B为端点线段有BC、BD、BE、BF，这些线段长度之和为4b+3c+2d+e， 以C为端点线段有CD、CE、CF，这些线段长度之和为3c+2d+e， 以D为端点线段有DE、DF，这些线段长度之和为2d+e， 以E为端点线段有EF，线段的长度为e， 故这些线段的长度之和为5a+8b+9c+8d+5e， 故选A． 点评： 本题主要考查比较线段的长短的知识点，解答本题的关键是求出A，B，C，D，E，F为端点的所有线段的条数，本题不是很难． 　 3．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（ac，b）所在象限是（  ） 　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 考点： 二次函数图象与系数的关系．1051400 专题： 计算题 一年级下册数学竖式计算题下载二年级余数竖式计算题 下载乘法计算题下载化工原理计算题下载三年级竖式计算题下载 ． 分析： 根据二次函数的图象判断a、b、c的符号，再判断点P所在的象限． 解答： 解：抛物线开口向上，∴a＞0， 抛物线对称轴y=﹣＞0，且a＞0，∴b＜0， 抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0， ∴点P（ac，b）在第四象限． 故选D． 点评： 本题考查了二次函数的图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 　 4．（3分）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD的长等于（  ） 　 A． B． C． 12 D． 考点： 勾股定理；特殊角的三角函数值．1051400 分析： 分别延长AD、BC，两条延长线相交于点E，构造特殊三角形ABE，其中有一个锐角是60°，∠A是90°，那么另一个锐角是30°，在Rt△CDE中，∠E=30°，有CD=10，可求DE，那么AE的长就求出，在Rt△ABE中，利用∠E的正切值可求出AB，在Rt△ABD中，再利用勾股定理可求斜边BD的长． 解答： 解：延长AD、BC，两条延长线相交于点E， ∵在Rt△ABE中，∠A=90°，∠B=60°， ∴∠E=90°﹣60°=30°． ∴在Rt△DCE中，∠E=30°，CD=10， ∴DE=2CD=20， ∴AE=AD+DE=20+4=24． ∴在Rt△ABE中，AB=AE•tan∠E=AE•tan30°=×24=8， ∴在Rt△ABD中， BD====4． 故选A． 点评： 关键是作辅助线，构造特殊直角三角形，然后利用了勾股定理、特殊三角函数值解题． 　 5．（3分）给出一列数 ，在这列数中，第50个值等于1的项的序号是（  ） 　 A． 4900 B． 4901 C． 5000 D． 5001 考点： 规律型：数字的变化类．1051400 专题： 规律型． 分析： 观察数字可知分子分母的和为k的分数的个数为k﹣1，并且分子分母的和为偶数的项中，有一个值等于1，依此即可求出第50个值等于1的项的序号． 解答： 解：第50个值等于1的项的分子分母的和为2×50=100， 由于从分子分母的和为2到分子分母的和为99的分数的个数为： 1+2+…+98=4851． 第50个值等于1的项为． 故4851+50=4901． 故选B． 点评： 本题考查了规律型：数字的变化，有一定的难度，找到分子分母的和与分数的个数的关系，以及分子分母的和为偶数的项中，有一个值等于1的规律是解题的关键． 　 6．（3分）如图，⊙O1与⊙O2外切于P，⊙O1，⊙O2的半径分别为2，1．O1A为⊙O2的切线，AB为⊙O2的直径，O1B分别交⊙O1，⊙O2于C，D，则CD+3PD的值为（  ） 　 A． B． C． D． 考点： 相切两圆的性质．1051400 专题： 计算题． 分析： 分别求出CD和PD的长度，再计算CD+3PD： （1）由相似关系求PD的长度．连接O1O2，则O1O2过P点，三角形O1PD相似于O1BO2，由相似关系求出PD； （2）由切割线定理求CD的长度．这个要分两步做： ①由勾股定理求出O1A、O1B的长度．在直角三角形O1O2A和O1AB中，分别用勾股定理求出O1A、O1B的长度； ②由切割线定理求O1D的长度．由切割线定理O1A2=O1D•O1B，所以O1D可求出来．而O1D=O1C+CD=2+CD，故CD可求． 解答： 解：连接O1O2， ∵AO2=1，O1O2=3， ∴AO1==2， ∴BO1===2， ∴由切割线定理O1A2=O1D•O1B，得O1D==， ∴CD=O1D﹣O1C=﹣2， 又∵cos∠O2O1B==， 则PD2=4+﹣cos∠O2O1B=4+﹣×=， ∴PD=， ∴CD+3PD=﹣2+3×=． 故选D． 点评： 本题考查了相切两圆的性质，三角形的相似以及性质，是重点知识，要熟练掌握． 　 二、填空题 7．（5分）已知，且a+b+c≠0，那么直线y=mx﹣m一定不通过第 　二　象限． 考点： 一次函数的性质；等式的性质；比例的性质．1051400 专题： 计算题． 分析： 根据比例的性质得到3a+2b=cm，3b+2c=am，3c+2a=bm，相加即可求出m的值是5，得出y=5x﹣5，即可得出答案． 解答： 解：∵， ∴3a+2b=cm，3b+2c=am，3c+2a=bm， ∴5a+5b+5c=（a+b+c）m， ∵a+b+c≠0， ∴m=5， ∴y=mx﹣m=5x﹣5， ∴不经过第二象限． 故答案为：二． 点评： 本题主要考查对一次函数的性质，比例的性质，等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知求出m的值是解此题的关键．题型较好． 　 8．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC=　30°　． 考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．1051400 专题： 数形结合． 分析： 根据三角形外角的性质，可得：∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，∠AED=∠EDC+∠C． 解答： 解：∵△ADE中，AD=AE， ∴∠ADE=∠AED； ∵∠AED=∠EDC+∠C①，而∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD②； ∴②﹣①得：2∠EDC=∠B﹣∠C+∠BAD； ∵AB=AC， ∴∠B=∠C； ∴∠EDC=∠BAD=30°． 故答案为：30°． 点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，难度不大，注意等腰三角形性质的掌握与运用． 　 9．（5分）如图，在直角△ABC中，AB=AC=2，分别以A，B，C为圆心，以为半径做弧，则三条弧与边BC围成的图形（图中阴影部分）的面积为　　． 考点： 扇形面积的计算；等腰三角形的性质．1051400 专题： 计算题． 分析： 阴影部分的面积=三角形ABC的面积减去三个扇形的面积，然后根据扇形的面积公式和三角形的面积公式计算即可． 解答： 解：三个扇形的面积S==， ∴S阴影部分=S△ABC﹣S=•2•2﹣=2﹣． 故答案为2﹣． 点评： 本题考查了扇形的面积公式：S=．也考查了三角形的面积公式． 　 10．（5分）分解因式：2m2﹣mn+2m+n﹣n2=　（2m+n）（m﹣n+1）　． 考点： 因式分解-分组分解法．1051400 专题： 计算题． 分析： 多项式有5项，采用分组分解法，1，2，5项结合，因式分解，再与3，4两项提公因式． 解答： 解原式=（2m2﹣mn﹣n2）+（2m+n） =（2m+n）（m﹣n）+（2m+n） =（2m+n）（m﹣n+1）． 故答案为：（2m+n）（m﹣n+1）． 点评： 本题考查了分组解法进行因式分解，关键是分组后组与组之间可以继续进行因式分解． 　 11．（5分）如图：四边形EFGH是一个长方形台球桌面，有白、黑两球分别位于A，B两点的位置上．试问，怎样撞击白球A，才能使白球A先碰撞台边GH，再碰撞FG，经两次反弹后再击中黑球B？ （将白球A移动路线画在图上，不能说明问题的不予计分） 考点： 作图—应用与设计作图．1051400 专题： 作图题． 分析： 分别作出点A关于HG的对称点A′，点B关于FG的对称点B′，然后连接A′B′，交HG、FG于点M，N，再连接AM、BN，则白球A移动路线图可得． 解答： 解：（1）作出点A关于HG的对称点A′，点B关于FG的对称点B′， （2）连接A′B′，分别交HG、FG于点M、N， （3）连接AM，BN， 所以白球A的移动路线为A→M→N→B． 点评： 本题是考查了作图问题的应用与设计作图，利用轴对称的性质作出对称点是解题的关键，难度中等． 　 12．（5分）有三位学生参加两项不同的竞赛，则每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有两位学生参加的概率为　　． 考点： 列表法与树状图法．1051400 分析： 先根据题意画出树状图，从图上可知每项竞赛只许有两位学生参加的情况有6种，共有8种等可能的结果，再根据概率公式求解即可． 解答： 解：用A、B分别表示两项不同的竞赛，如图所示： 每项竞赛只许有两位学生参加的情况是AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，共6种， 则每项竞赛只许有两位学生参加的概率为=． 故答案为：． 点评： 本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 　 13．（5分）设[x]表示不超过x的最大整数（例如：[2]=2，[1.25]=1），则方程3x﹣2[x]+4=0的解为 　﹣4或﹣或﹣　． 考点： 取整计算．1051400 分析： 首先令[x]=n，可得方程3x﹣2n+4=0，即可求得x的值，然后由[x]≤x＜[x]+1，可得关于n的不等式组，解不等式组即可求得n的值，则代入方程即可求得x的值，注意要检验． 解答： 解：令[x]=n，代入原方程得3x﹣2n+4=0，即x=， 又∵[x]≤x＜[x]+1， ∴n≤＜n+1， 整理得：3n≤2n﹣4＜3n+3，即﹣7＜n≤﹣4， ∴n=﹣4或n=﹣5或n=﹣6， ∴当n=﹣4时，x=﹣4， 当n=﹣5时，x=﹣， 当n=﹣6时，x=﹣， 经检验，x=﹣4或x=﹣或x=﹣是原方程的解． 故答案为：﹣4或﹣或﹣． 点评： 此题考查了取整函数的知识．注意[x]≤x＜[x]+1性质的应用是解此题的关键． 　 14．（5分）如图，是一个挂在墙壁上时钟的示意图．O是其秒针的转动中心，M是秒针的另一端，OM=8cm，l是过点O的铅直直线．现有一只蚂蚁P在秒针OM上爬行，蚂蚁P到点O的距离与M到l的距离始终相等．则1分钟的时间内，蚂蚁P被秒针OM携带的过程中移动的路程（非蚂蚁在秒针上爬行的路程）是　16π　 cm． 考点： 弧长的计算．1051400 专题： 压轴题． 分析： 作出辅助线得出△OMN≌△Q2OP，进而得出∠OPQ2=∠NOM=90°，得出从而蚂蚁P在1分钟时间内被秒针OM携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ1，OQ2为直径的两个圆，求出即可． 解答： 解：过M作MN⊥L于点N，过O作L的垂线交于点Q1，Q2，连接PQ2，则MN∥OQ2， ∠M=∠MOQ2， ∵OM=OQ2，MN=OP， ∴△OMN≌△Q2OP， ∴∠OPQ2=∠MNO=90°， ∴点P在以OQ1为直径的圆上，同理点P在以OQ2为直径的圆上， 从而蚂蚁P在1分钟时间内被秒针OM携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ1，OQ2为半径的两个圆，移动的路程为： 2×8π=16π． 故答案为：16π． 点评： 此题主要考查了弧长的计算以及物体移动路线问题，此题综合性较强得出从而蚂蚁P在1分钟时间内被秒针OM携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ1，OQ2为直径的两个圆是解决问题的关键． 　 三、解答题 15．（12分）已知A、B两地相距45千米，骑车人与客车分别从A、B两地出发，往返于A、B两地之间．如图中，折线表示某骑车人离开A地的距离y与时间x的函数关系．客车8点从B地出发，以45千米/时的速度匀速行驶．（乘客上、下车停车时间忽略不计） ①在阅读如图的基础上，直接回答：骑车人共休息几次？骑车人总共骑行多少千米？骑车人与客车总共相遇几次？ ②试问：骑车人何时与客车第二次相遇？（要求写出演算过程）． 考点： 一次函数的应用．1051400 专题： 应用题；图表型． 分析： （1）看图可知，折线图中有两段水平的线，故休息了两次，时间是两次之和（看横轴）； （2）根据题意，客车一小时行驶45千米，故它的图象是两小时一个来回．从左向右看，两条折线的第二个交点就是它们第二次相遇．求出EF的函数解析式就可以了，找到特殊点（9，0）和（10，45）用待定系数法可求出． 解答： 解： （1）依题意得：骑车人共休息2次；骑车人总共骑行90千米；骑车人与客车总共相遇8次； （2）已知如图：设直线EF所表示的函数解析式为y=kx+b． 把E（9，0），F（10，45）分别代入y=kx+b， 得 ， 解得 ， ∴直线EF所表示的函数解析式为y=45x﹣405， 把y=20代入y=45x﹣405，得45x﹣405=20， ∴． 答：时骑车人与客车第二次相遇． 点评： 本题考查了一次函数的应用：通过 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 当中的信息是解题关键；根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．此题比较复杂，首先是正确理解题意，这要求仔细观察图象，从图象中得到需要的信息，关键知道它们走的方向不同．此外还用到了待定系数法求函数解析式． 　 16．（12分）如图1：等边△ADE可以看作由等边△ABC绕顶点A经过旋转相似变换得到．但是我们注意到图形中的△ABD和△ACE的关系，上述变换也可以理解为图形是由△ABD绕顶点A旋转60°形成的．于是我们得到一个结论：如果两个正三角形存在着公共顶点，则该图形可以看成是由一个三角形绕着该顶点旋转60°形成的． ①利用上述结论解决问题：如图2，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BFC都是等边三角形，求四边形ADFE的面积； ②图3中，△ABC∽△ADE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=θ，仿照上述结论，推广出符合图3的结论．（写出结论即可） 考点： 旋转的性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质．1051400 专题： 计算题． 分析： ①最外沿大五边形等于一个正三角形+2个直角三角形，故可求其面积；用大五边形面积减去3个三角形面积即可求得结果（三角形ABD、三角形ACE、三角形ABC）； ②结论应该是：如果两个等腰三角形有公共顶点，则该图形可以看成是一个三角形绕着该顶点旋转θ度形成的． 解答： 解：①SFDAE=SDFECB﹣S△ABD﹣S△ABC﹣S△ACE， =S△BCF+S△BDF+S△CEF﹣S△ABD﹣S△ABC﹣S△ACE， =××5+﹣××3﹣×2×4﹣×3×4， =6； ②结论：如果两个等腰三角形有公共顶角顶点，顶角均为θ， 则该图形可以看成一个三角形绕着该顶点旋转θ形成的． 点评： 本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和三角形面积的计算，解题的关键是要把握图形的变换． 　 17．（12分）在三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C对应的边分别是a，b，c，其中a﹣b=2，CD⊥AB于D，BD﹣AD=2，求△ABC三边的长． 考点： 勾股定理．1051400 专题： 计算题． 分析： 设出斜边长和斜边上的高，利用锐角三角函数表示出a与b的和，再利用已知条件中的两边之差求得a和b的值即可． 解答： 解：设AB=c，CD=h BD=a×sinA=a×，AD=b×cosA=b×， BD﹣AD=﹣==2 a﹣b=2 a+b=（）×c 两边同时平方得：c2+2ab=c2 ∴2ab=c2， ∵ab=ch， ∴ab=ch=c2， ∴4h=c a2+b2﹣2ab=8 c2﹣2ch=8 c2﹣c2=8 c=4 a=+ b=﹣ 点评： 本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用锐角三角函数值表示出两直角边的和，然后利用已知条件求得两直角边的值． 　 18．（12分）按下面规则扩充新数：已有a和b两个数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3． ①求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数； ②能否通过上述规则扩充得到新数5183？并说明理由． 考点： 因式分解的应用．1051400 分析： ①将2与3分别代入求解，再取其最大的两个值依次代入即可求得答案； ②找到规律：设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数，即可得当a=2，b=3时，x+1=3m×4n，然后求解即可． 解答： 解：①∵a=2，b=3， c1=ab+a+b=6+2+3=11， ∴取3和11， ∴c2=3×11+3+11=47， 取11与47， ∴c3=11×47+11+47=575， ∴扩充的最大新数575； ②5183可以扩充得到． ∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）﹣1， ∴c+1=（a+1）（b+1）， 取数a、c可得新数 d=（a+1）（c+1）﹣1=（a+1）（b+1）（c+1）（a+1）﹣1=（a+1）2（b+1）， 即d+1=（a+1）2（b+1）， 同理可得e=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）﹣1， ∴e+1=（b+1）2（a+1）， 设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数， 当a=2，b=3时，x+1=3m×4n， 又∵5183+1=5184=34×43， 故5183可以通过上述规则扩充得到． 点评： 此题考查了因式分解的应用，解题的关键是找到规律设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数． 　 19．（14分）如图，二次函数y=ax2+bx（a＞0）的图象与反比例函数图象相交于点A，B，已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）． ①求实数k的值； ②求二次函数y=ax2+bx（a＞0）的解析式； ③设抛物线与x轴的另一个交点为D，E点为线段OD上的动点（与O，D不能重合），过E点作EF∥OB交BD于F，连接BE，设OE的长为m，△BEF的面积为S，求S于m的函数关系式； ④在③的基础上，试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时E点的坐标；若不存在，说明理由． 考点： 二次函数综合题；解二元一次方程；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义．1051400 专题： 计算题． 分析： ①把A（1，4）代入即可； ②过B作BM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，过A作AH⊥x轴于H，两线BN和AH交于Q，设OM=c，ON=d，c＞0，d＞o，根据S=S△ABQ﹣S△AOH﹣S△BNO﹣S矩形ONQH，和cd=4，求出c=2，d=2，得到B（﹣2，﹣2），把A（1，4）和B（﹣2，﹣2）代入抛物线得出方程组，求出方程组得解即可； ③充分利用（﹣2，﹣2）这一坐标，由△DFE相似于△DBO求得EF的长（含m），再表示出F到x轴的距离，利用△EDB的面积减去△EDF的面积即可建立S与m的函数关系 ④S=m（1+﹣m），当m=时，S最大，把m=代入即可求出s，从而得到E的坐标． 解答： 解：①把A（1，4）代入得：k=xy=4， 答：实数k的值是4． ②过B作BM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，过A作AH⊥x轴于H，两线BN和AH交于Q， 设OM=c，ON=d，c＞0，d＞o， 则：S=S△ABQ﹣S△AOH﹣S△BNO﹣S矩形ONQH， 即：3=（1+c）（4+d）﹣×1×4﹣cd﹣d×1， cd=k=4， 解得：c=2，d=2， ∴B（﹣2，﹣2）， 把A（1，4）和B（﹣2，﹣2）代入抛物线得：， 解得：， ∴y=x2+3x， 答：二次函数y=ax2+bx（a＞0）的解析式是y=x2+3x． ⑨把y=0代入y=x2+3x得：x2+3x=0， 解得：x1=0，x2=﹣3， ∴D（﹣3，0）， 即OD=3， ∵B（﹣2，﹣2）， ∴由勾股定理得：OB=2， ∵EF∥OB， ∴△DFE∽△DBO， ∴=， ∴=， ∴EF=2﹣m， 过F作FC⊥x轴于C， 根据相似三角形的对应高之比等于相似比得：=， ∴=， FC= S=S△EDB﹣S△EDF =DE×BM﹣FC×DE， 即S=﹣m2+m， ∴S与m的函数关系S=﹣m2+m． ④S=﹣m2+m． 当m=时，S最大，是， ∴， 答：在③的基础上，S存在最大值，S的最大值是，此时E点的坐标是（﹣，0）． 点评： 本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，反比例函数的图象上点的坐标特征，解二元一次方程，三角形的面积，平行线的性质，勾股定理，函数的最值，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度． 　 参与本试卷答题和审题的老师有：liume。；zcx；sd2011；zjx111；王岑；星期八；bjy；yangwy；lantin；gsls；HLing；zhangCF；sjzx；workholic；ZJX；zhqd（排名不分先后） 菁优网 2013年8月18日