前述两自由度系统动力方程
（3.1）
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量。
上式中
质量矩阵、
刚度矩阵、
位移矩阵
和激励矩阵
。
方程（3.1）中当质量矩阵和刚度矩阵确定后，系统动力方程可完全确定。
M、K 的确定
（1）假设外力是以准静态方式施加于系统，加速度为零
，有
。假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第 j 个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移，即 ：
代入 ：
所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵 K 的第 j 列
等于在第 i 个坐标上施加的力。
结论：刚度矩阵 K 中的元素
是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。
（2）假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移，则
。若它们使系统只在第 j 个坐标上产生单位加速度，而在其他各个坐标上不产生加速度
这组外力正是质量矩阵 M 的第 j 列。
结论：质量矩阵 M 中的元素
是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。
、
又分别称为质量影响系数和刚度影响系数。根据它们的物理意义可以直接写出系统质量矩阵M和刚度矩阵K，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法。
例：写出 下图所示系统M 、 K 及运动微分方程。
解：先只考虑静态
令
，只使m1产生单位位移，m2和m3不动。
使m1产生单位位移所需施加的力：
；保持m2不动所需施加的力：
；保持m3不动所需施加的力：
。
在三个质量上施加力
，能够使得
，得到系统刚度矩阵的第一列。
令
，只使m2产生单位位移，m1和m3不动使m2产生单位位移所需施加的力：
；保持m1不动所需施加的力：
；保持m3不动所需施加的力：
。刚度矩阵：
只使m3产生单位位移，m1和m2不动.使m3产生单位位移所需施加的力：
；保持m2不动所需施加的力：
；保持m1不动所需施加的力：
。刚度矩阵：
只考虑动态
令
，只使m1产生单位加速度，所需施加的力：
m2和m3加速度为零（m1产生单位加速度的瞬时，m2和m3尚没有反应）
，
在三个质量上施加力
，能够使得
，从而得到质量矩阵的第一列。
同理令
得
令
，得
。
运动微分方程：
例：双刚体杆
每杆质量m，杆长度l水平弹簧刚度k，弹簧距离固定端a，求：
以微小转角
为坐标，写出微摆动的运动学方程。
解：
令：
，
则需要在两杆上施加力矩
，
，分别
对两杆 O1、O2 求矩：
，
令：
，
则需要在两杆上施加力矩
，
，分别对两杆 O1、O2 求矩：
，
刚度矩阵：
令：
，
，则需要在两杆上施加力矩
，
，
令：
，
，则需要在两杆上施加力矩
，
，
质量矩阵：
运动学方程：
位移方程和柔度矩阵
对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过刚度矩阵建立作用力方程来得更方便些，柔度定义为弹性体在单位力作用下产生的变形，物理意义及量纲与刚度恰好相反。
无质量弹性梁，有若干集中质量。假设
是常力，以准静态方式作用在梁上，梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。
取质量
的静平衡位置为坐标
的原点
矩阵形式：
，
，
称为柔度影响系数，物理意义：系统仅在第 j 个坐标受到单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移。
是柔度矩阵。
当
是动载荷时，集中质量上有惯性力存在
位移方程：
；
作用力方程
，对比可见：若K非奇异，柔度矩阵与刚度矩阵的关系：
应当注意：对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），柔度矩阵不存在。
原因：在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动而无法计算各个坐标上的位移。位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。
例题：求图示两自由度简支梁横向振动的位移方程。已知梁的抗弯刚度矩阵为
由材料力学知，当B点作用有单位力时，A点的挠度为：
柔度影响系数：
，
，
柔度矩阵：
位移方程：
例：求柔度阵
解：
（1）在坐标 x1 上对质量 m1 作用单位力，系统在坐标 x1、x2、x3 上产生位移为:
（2）在坐标 x2 上对质量 m2 作用单位力
，
，
（3）在坐标 x3 上对质量 m3 作用单位力
，
，
柔度矩阵：
质量矩阵和刚度矩阵的正定性质
对于定常约束系统：
动能：
，势能：
，
，除非
即，
；
势能：对于仅具有稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值，当各个位移
不全为零时，V > 0。对于具有随遇平衡位置的系统，存在刚体位移时，K 半正定。
耦合与坐标变换
矩阵中非零的非对角元元素称为耦合项，质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合，刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。
如果系统仅在第一个坐标上产生加速度
不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起惯性力。
出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度还会在别的坐标上引起惯性力。
同理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力；而出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力。
例：研究汽车上下振动和俯仰振动的力学模型，
表
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示车体的刚性杆AB的质量为m，杆绕质心C的转动惯量为Ic，悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为 k1 和 k2 的两个弹簧来表示，选取D点的垂直位移
和绕D点的角位移
为坐标，写出车体微振动的微分方程。
解：车体所受外力向D点简化为合力 PD 和合力矩 MD，微振动，杆质心的垂直位移和杆绕质心的角位移：
，
采用拉氏方法建立方程
动能：
势能：
计算广义力 Q1 和 Q2
代入拉格朗日方程，得：
矩阵形式：
如果D点选在这样一个特殊位置，使得：
则
只存在惯性耦合，而不出现弹性耦合。
如果D点选在质心C：
只存在弹性耦合，而不出现惯性耦合。
令：
，
，
D点和C点的坐标之间的关系：
，
写成矩阵形式：
，
有
称为坐标变换矩阵。
在C点加一对大小相等、方向相反的力，
得：
，
，即
，
。从而有
，
验证：
，
结论：
假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标X 和Y 有如下的变换关系：
，其中T 是非奇异矩阵，如果在坐标X下系统的运动微分方程为：
那么在坐标Y 下的运动微分方程为：
当T 矩阵非奇异时，称矩阵A 与矩阵（TTAT）
合同
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，线性代数知， 合同矩阵具有相同的对称性质与相同的正定性质。
对称性质：若矩阵A 对称，则（TTAT）对称
证明：矩阵A 对称，A＝AT
则有：(TTAT)T＝TTAT(TT)T＝TTAT
正定性质：若原来的刚度矩阵K 正定，则（TTKT）仍正定
因此坐标变换X ＝TY 不改变系统的正定性质，对于质量矩阵也如此。
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