模糊拓扑空间的不动点定理.doc

模糊拓扑空间的不动点定理.doc 模糊拓扑空间中一个不动点定理的构造 摘要 不动点定理是20世纪数学发展中的重大课题，其影响遍及整个数学界。此定理涉及数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 、拓扑学、非线性分析等多种问题，运用不动点定理，可以解决数学中出现的许多问题，简单、方便、实用。 本学位论文分为四章， 第一章，简述了不动点定理的来源;第二章，重点介绍不劳威尔不动点定理及其主要的性质和应用;第三章，介绍拓扑学，主要是拓扑空间及连续映射在拓扑空间中的推广和相关的性质。第四章，介绍模糊拓扑空间，并对不劳威尔不动点定理进行了推广。本文是从分析和拓扑的角度 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 了一系列不同空间中的不劳威尔不动点定理和其中一些定理的证明及应用.并对胡诚明定义的乘积诱导Fts进一步探讨，由此获得了一个新的不动点定理。 关键词:不劳威尔不动点定理，拓扑空间，模糊拓扑空间，乘积诱导Fts 1 A FUZZY TOPOLOGICAL SPACE STRUCTURE OF FIXED POINTS THEOREM ABSTRACT Fixed point theorem is the development of mathematics in the 20th century, a major issue, its impact throughout the mathematical community. This theorem involves mathematical analysis, topology, nonlinear analysis and other issues, using the fixed point theorem, can solve many problems arising in mathematics, simple, convenient and practical. The thesis is divided into four chapters, the first chapter outlines the source of the fixed point theorem; second chapter, focusing on the non-Lao Weier fixed point theorem and its main properties and applications; the third chapter introduces the topology, mainly topological space and continuous mapping of topological spaces in the promotion and related properties. The fourth chapter introduces the fuzzy topological space, and not Lao Weier fixed point theorem is extended. This article is from the perspective of topological analysis and summary of a series of different Spaces Lao Weier fixed point theorem and some proof of the theorem and its application. And define the product of Cheng Ming Hu Fts further explore the induction, which acquired a new The fixed point theorem. KEY WORDS: fixed point theorem is not Lao Weier, topological space, fuzzy topological space, the product induced Fts 目录 前言: ............................................ 2 第一章 不动点定理的来源 ........................... 4 第二章 不动点定理 ................................. 7 ?2.1布劳威尔不动点定理 ....................... 7 ?2.1.1一维布劳威尔定理 .................... 7 ?2.1.2 不动点定理反映了函数的整体性质 .... 10 ?2.1.3单调函数的不动点定理 ............... 12 ?2.1.4 二维布劳威尔定理 ................... 14 ?2.2 一般空间上的不动点定理 .................. 18 ?2.3 不动点定理的应用 ........................ 21 第三章 拓扑空间与连续映射 ........................ 24 ?3.1 拓扑空间 ................................ 24 ?3.2连续映射 ................................ 28 第四章 模糊拓扑空间中的一个不动点定理的构造 ..... 31 ?4.1 F格及模糊拓扑空间 ...................... 32 ?4.2 乘积诱导Fts和不动点定理 ............... 33 结论 ............................................. 35 参考文献: ....................................... 36 致谢 ............................................. 37 1 前言 不动点定理的产生是数学发展史上的一次重大突破，它涉及诸多数学分支，其应用十分广泛，相关领域的研究至今仍呈现勃勃生机。数学中的许多重要的定理，如隐函数定理、微分方程解的存在性定理等，都可以用不动点定理给出简洁的证明。 拓扑空间与不动点理论是非线性泛函分析的重要组成部分，与近代数学的许多分支都有着紧密的联系，在研究各类方程解的问题中起着重要的作用(近一个世纪以来，国内外众多的专家学者在各种空间中，针对不同的映射，进行了拓扑度理论的研究，并得到了许多著名的不动点定理，直接或间接地在物理、微分方程等学科里获得广泛的应用( 上世纪初期，Brouwer对有限维空间中连续映射建立了Brouwer度，之后，Leray和Schauder推广了Brouwer度，在Banach空间中建立了紧映射场的拓扑度，即Leray-Schauder度(在此基础之上，许多学者开始进行了大量深入的研究，不断将拓扑度的基本概念推广到更大的范围(比如从Banach空间到局部凸空间，甚至为更一般的拓扑向量空间，使度理论成为更具一般性的理论;或者保留Banach空闻的框架，在映射方面进行推广，比如在Banach空间建立A-proper映射的广义拓扑度及集值映射的广义拓扑度( 算子或映射的不动点理论与拓扑度理论有着深刻的联系(在理论发展上二者相互伴随，影响深远(Brouwer不动点定理及Schauder不动点定理提出后极大地推动了不动点理论的研究和泛 2 函分析与微分方程等学科的发展(之后，Kakutani把Brouwer不动点定理推广到有限维空间中多值映射的情形，再次掀起不动点理论研究及应用的浪潮(集值映射的拓扑度理论也随之建立起来(近年来，许多研究者往往在进行拓扑度研究时同时考虑不动点定理(比如张石生等在概率线性赋范空间中建立了度理论，并以此为工具得出了概率线性赋范空间中的某些不动点定理( 3 第一章 不动点定理的来源 不动点定理是20世纪数学中的一支奇葩，半个多世纪以来，它一直是世界数学名家追逐的目标之一，其影响可以说遍及整个数学。 px()古老的袋鼠方程求根，可以转化为不动点问题，设使多项 gxxpx()(),,px()0,gxx(),x式，令，那么解方程等于解。若满足0 gx()px()0,gxx(),xx，即是关于的不动点，那么正是方程的根。 0000 (,),,,fx()gxxfx()(),,一般地考虑上定义的连续函数，那么 fx()0,x的不动点也是的根。这是若取定作迭代: 1 xgxn,,()1,2,... nn，1 xx,gx(){}x如果收敛，例如，那么由于也是连续函数，将有n0n gxgx()(),，于是我们得到 n0 xgx,() 00 xgx()xfx()0,是的不动点，于是成为的根。 00 这种用迭代法求不动点的思想，当然早就有了，并非20世纪的产物，真正引人注目的不动点理论起源于荷兰数学家布劳威尔的工作。这位直觉主义数学哲学的创始人也是一位拓扑学家，1909年开始，他以《曲面上一对一的映为自身的连续映射》为题发 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 了一系列论文，创立了不动点理论，现在以他的名字命名的布劳威尔定理(n=2)是: 平面内闭单位圆盘上映为自身的任何连续映射，至少有一个不动点。这个定理惊动了整个数学界。他的假设甚少:任何比单位圆盘上的映入自身的连续映射都行，可是结论十分明确、丰富;至少有一个不动点。其意义简直可以和搞死证明任何代数方程少有一复根相比美。 这个定理很简单明了，但证明却相当麻烦，因为条件少，只有连续性的假设，所以微分积分一套工具用不上。你想沿用迭代法思 fx()|()|1fx,xfx,()想，可是没有具体性质(仅知道)，不能判明nn，1是否收敛。布劳威尔于是另辟蹊径，将大数学家庞加莱研究常微分 4 方程奇点时使用的拓扑学方法引过来，用基本群(通论群)解决了这一课题(n=2情形)。 拓扑学的同伦和同调方法，时20世纪数学中的两个主要工具，不动点理论得力于它，同时也刺激它获得迅猛发展。本 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 在介绍布劳威尔定理证明时，从“欣赏”的角度介绍这两个基本工具，窥其一斑，也许可使不熟悉拓扑学的读者得以领略其概貌。 作为布劳威尔不动点定理的继续，美国数学家莱夫兹在1923年发现了更深刻的不动点定理，现称为莱夫希兹不动点定理，这是一个新的高峰，我们将在第五部分中介绍它，这一定理还是解决不动点的有无问题。1927年，丹麦数学家尼尔森发表文章研究不动点个数问题。创始了不动点类理论，提出尼尔森数概念。截止1962以前，能够计算尼尔森数的映射只是很简单的情形，我国的江泽涵、姜伯驹、石根华等人大大推广了可计算尼尔森数的情形，并得出莱夫希兹不动点定理的逆定理，这是很好的工作。 不动点理论的另一个发展方向是不限于欧式空间中多面体上的映射，而考察一般的距离空间或线形拓扑空间上的不动点问题。最先给出的结果是波兰数学家巴拿赫，他于1922年提出的压缩映像 xfx,()x原理发展了迭代思想。它将中的可看成距离空间中的nn，1n ff点列，仍是这一空间上到自身的映射，如果满足压缩条件 ((),())(,),01fxfyaxya,,,,, ,(,)xyyf 表示与之间的距离，那么必有唯一的不动点，这一定x 理证明并不难，但用处极广，微分方程、函数方程、隐函数理论中的许多存在性与唯一性问题均可归结为此定理的推论。这一定理在为所有泛函分析教科书中均有介绍。欧式空间是有限维的线性赋范空间，我们能否在无限维空间的单位球上得出布劳威尔不动点定理,一般式不成立的，波兰数学家肖德尔证明了:线性赋范空间凸子集C到C上的紧映射至少有一个不动点。这一定理将连续映射的条件加强为紧映射，因而，运用紧映射可用有限秩映射逼近的结果获得了不动点定理的新进展，这一定理有多种推广和应用，我们也将也第四章加以介绍。 不动点理论进入70年代又别开生面。老掉牙的区间到区间的迭 5 xfxxabn,,,()[,],1,2,...代，出现了意想不到的结果。1973年nnn，1 4月的一天，美国马里兰大学的研究生李天岩和他的导师约克偶然 f研究这个区间迭代，证明了以下事实，如果区间上映射有3-周期点，则对任何正整数n都有n周期点(指经过n次迭代后回到原处，不动点是1-周期点)。这一结果发人深思如有了周期点，则会 x出现乱七八糟的现象，这时你随便从一点出发迭代，不要说收敛n x某一数做不到，而且的规律完全无法知道，呈现出一片混沌n (Chaos)景象。这是不动点理论不存在情形的发展。 6 第二章 不动点定理 ?2.1布劳威尔不动点定理 ?2.1.1一维布劳威尔定理 [1]fx() 定理2.1.1.1 设是定义在[0,1]上的连续函数，且满足0()1,,fxfxx(),x,[0,1]，则必存在，使。 000 Fxfxx()(),,FF(0)0(1)0,,或证 :作函数。如，则0或1即为 xff(0)0(1)1,,或定理要求的，定理已成立(此时将有)。由条件0 0()1,,fxFfFf(0)(0)0,(1)(1)10.,,,,,知故只需再在FF(0)0(1)0,,和的情形下证明定理。 fx()Fx()由于是连续函数，故也是连续函数。因此当由0出发x Fx()F(0)F(1)变到1时，将从正值连续变到负值，所以必至少有一 fxx(),xFx()0,点，使。这正是。? 0000 7 图1 现在我们对这一定理作些说明。 (1)一个将某集A映懂啊自身中的映射称为自映射。定 f理2.1.1.1中的是集合[0,1]上的自映射。 ffAA(),xA,(2)设是A上的映射，且值域。若，且0fxx(),fx，则称为在A中的一个不动点。不动点不必唯一，000 如图1中就画了三个。 1R(3)我们主要观察欧式空间，数轴是一维欧式空间，数轴上的点可和全体实数一一对应。数轴上两点A和B的距离定义为与这两点对实数a和b之差的绝对值。 dABab(,)||,, 。 2R 具有笛卡尔直角坐标的平面，是二维欧式空间。平面 8 (,)xy上的点P和一对有序坐标一一对应。平面上两点PxyPxy(,),(,)之间的加法，数乘和距离分别定义为 111222 (,)(,)(,)xyxyxxyy，,，，11221212 ,,,,(,)(,)xyxy是实数 1 222dPPxxyy(,)[()()],,，,121212 (,,)xyz组成，和 同样可定义三维欧式空间，它由三元有序数组 平面上类似地定义加法，数乘和距离。 nnRR 一般地，我们定义n维欧式空间如下:由n元有序数组(,,...,)aaa所组成，其中的加法，数乘和距离分别定义为 12n ABaaabbb，,，(,,...,)(,,...,)1212nn ,，，，(,,...,)ababab1122nn ,,(,,...,)aaa,,12n ,(,,...,)aaa,,,12n 1 2222dABababab(,)[()()...()],,，,，，,1122nn 其中AaaaBbbb,,(,,...,),(,,...,).1212nn , 平面上的点A相当于位置向量。点的加法和数乘，相当于向OA 量的平面四边形加法及向量的放大。而点间距离，及相应向量之差的长度。向量的乘法在这里不予讨论。 nnnnRB{:(0,)1}xRdx,,,B (4)中的单位球是指，记为，它的边界 1n,1RS是n-1维的球面，记为。这样中的单位球是[-1,1],其边界是 22n1RBSS:由+1和-1两点组成。中单位球是单位圆盘D，边界是 332RBS单位圆周C。中的单位球即日常所说的半径为1的球，即通常的球面。 (5)定理2.1.1.1中的闭区间[0,1]可改为[-1,1]，结论及证法均可不变。这是定理1.1可说成: 11RB 中单位球上的任何连续自映射必有不动点。 9 ?2.1.2 不动点定理反映了函数的整体性质 x 函数性质有局部与整体之分。所谓局部性质是指函数在一点0附近的形态，例如在该点的极限、连续、可导等都是。这种局部性质只涉及该点任意小的邻域。所谓整体性质通常是指在一个固定区间上的形态，例如在区间上有界、单调、凹凸、有最大值最小值等等。“分析入微”地研究局部性质，才能深入揭露其整体性质。不动点定理反映了函数的一种整体性质，它的证明需要用到连续函数的介质性定理。这也是一种整体性质，让我们先来叙述这一定理。 [1]fx()定理2.1.1.2(连续函数的介值性定理)若是区间[a,b] fafb()0,()0,,,fc()0,上的连续函数，则必存在一点c，使得。 介值定理是从“连续”(局部性质)的条件得出“介值”存在(整体性质)的结论。现在我们分析不动点定理，这定理的条件只要自映射连续即可，而连续是局部性质，它的结论是在[0,1]中存 fxx(),x，满足。这是关于区间[0,1]的整体性质，证明在一个000 中用了关于整体性质的介值性定理，而介值性定理又依赖于区间他套定理，所以说区间套定理(或有限覆盖定理等于之等价命题)成为沟通连续(局部性质)与存在不动点在(整体性)的桥梁。 fx()fx()定理2.1.2.1 设在[a，b]上连续，的值域包含了[a， fx()b]，则在[a，b]中比至少有一个不动点。 xx,fx()证: 因为的值域包含了[a，b]，所以必有，使12fxafxbaxbaxb(),(),,.,,,,,,Fxfxx()(),,,作则1212 FxfxxFxfxx()()0,()()0.,,,,,,由定理2.1知必有111222 xcx,,Fcfcc()0,().,,即 使? 12 定理2.1.2.1稍加改变即可的常见的另一形式: fx()fx() 定理2.1.2.2 设在[a，b]之连续，且的值域含于[a， 10 fx()b]之中，则在[a，b]中比至少有一个不动点。 faafbb(),(),,, 证明和定理1.1类似，此时 故令Fxfxx()(),,,FaFb()0,()0,,,则 由定理2.1知必存在c，使Fcacb()0,,,,fx()，此时c即为的不动点。? fx() 综上所述，在[a，b]上连续的函数，或者值域包含[a，b]，或者值域包含在[a，b]中，均存在不动点，在其它情形则不一定有不动点(参见图 a),b), c)). 11 ?2.1.3单调函数的不动点定理 前两节我们讨论的对象是连续函数的不动点，所用的工具是连续函数的介值性定理，这一节我们将研究单调函数的不动点存在定理。 [1]fx() 定理2.1.3.1 设在[a,b]有定义的单调不减函数，其值 fx()域含在[a,b]之中，则在[a,b]至少有一不动点。 证明:让我们考察集合 Sxabxfx,,,{[,]|()} fx()afa,()由于的值域含在[a,b]中，故，这说明S非空。 fx(),ab,,,记为集S的上确界。显然。我们证明是的不, afa,()动点，即。 ,,,f()fx()xfx,()xS,x,,先证 。任取，即。因。单调 fxf()(),,不减，故，于是 xfxf,,()(),xS, ，(对任何均成立) ,,,f()f(),这表明是S的一个上界，是S的上确界，所以。 , fbb(),f(),,,fx()再证 。由于的值域含于[a,b]中，故， fx()ab,,,再由及的单调不减性，可是 afaffbb,,,,()()(), ,,,f()fx()fab()[,].,,从而前已证。据的单调不减性可知， fx()fff()(()),,,fS(),,，这表明，但是的不动点，如今, 12 ''S,,fx()sxabxfx,,,{[,]|()}，记为下确界，同理可证是的最小 不动点。? fx()xfx,() 函数的不动点的存在问题，与迭代过程的收敛nn，1 fx()f性有密切关系。对于[a,b]上的自映射，若再假设连续虽可 fx()x却未见得收敛。如果再假设是判定存在不动点，但迭代序列n 单调不减的，那么就有 fx()定理2.1.3.2 若在[a,b]上有定义，值域含于[a,b]中，fx()aa,,而且在[a,b]上连续和单调不减，则对初始值 0 afan,,()1,2,.... nn,1 fx()bb,必收敛于在[a,b]中的最小不动点。若令，则迭代序0bfb,()fx()列收敛于在[a,b]中的最大不动点。 nn,1 fx()rarb*,*,,fx()证明: 此时必有不动点，任取其一为。由于 fx()单调不减及值域在[a,b]中，可知 afafrrfbb,,,,,()(*)*() 0000 *aarbb,,,,即 0110 **afafaarrfbbfbb,,,,,,,,()(),()()再由 10121201 *aaarbbb,,,,,,可是 012210 反复作下去，即得 aaaa,,,,,...... 012n *,,,,,,,rbbbb...... n210 用单调有界实数列必有极限的定理可知 *****aabbarb,,,,,且fx()。由于是连续函数，从 nn afabfbn,,,(),(),1,2,... nnnn,,11 *******rfx()fx()afabfb,,(),()ab,可知，即都是的不动点，由于是任 **fx()ab,一个不动点，故分别是的最小和最大的不动点。? *fx()aa, 下面作两点说明，第一，为了保证，可以只要求在n 13 *fx()[,]ab[,)ar上单调不减，不要要求在单调不减。第二，严格单调递增加的连续函数如果有根则只有唯一的根，但严格单调增加的连续函数可以又不止一个的不动点。 从图形上看，这是因为前者是和横轴的交点，后者是和y=x fx()的交点，y=x本身也是单调增加函数， 和y=x相交与否增加的熟读有关。 ?2.1.4 二维布劳威尔定理 前两节中我们讨论了一维空间R中的一些不动点定理，现在转向二维和三维的情形。 [3]2B定理2.1.4.1(二维布劳威尔定理)平面上的闭圆盘在、 22fBB:,具有不动点性质，即任一连续映射具有不动点。 我们利用向量场给出二维布劳威尔定理的几何直观证明。考虑闭圆盘在映射前后的情况，倘若定理结论不成立，即经连续映射 14 222BfBB:,后，闭圆盘没有一个点保持不动，这样每一点在映射后都变到园内或圆上的另一处。设闭圆盘的任一P的连续映射象是 '2PB,f的无不动点的连续自映射对应有闭圆盘上的一个无零点 'vPpp(),的连续向量场，即。现在考虑边界园C及C上相应的向v 量场， xC,因为按假设圆上人一点的象不会在圆外，从而对任意，向量vx()总指向圆内。如果给C以逆时针的定向，则我们可以断言:C WvC(,)1,上的向量场的指标。为了说明这一点，我们沿C的定向v WvC(,)1,作C的单位切向量场t，t的指标，因而我们只需证明C vx()tx()上的向量场和t有相同的指标，则则沿圆周C向量必定绕v vx()转过非零整数圈，这样必然出现切线位置，然而根据假设这是 WvC(,)1,不会出现的，故有。 现在考虑圆盘内与边界圆C同心的圆，以及这圆上相应的向量场，则这向量场上的指标也必定等于1.这是因为当边界圆连续地变化到一同心圆时，由于向量场是连续的从而在各同心圆上向量v 场的指标也是连续变化的。但是指标只能取整数，因此必定永远等于其原来的值1，因为从1跳到其他整数将产生指标变化的不连续性(一个连续变化的量如果只能取整数值，它必定是一个常量。这个结论是在许多定理的证明中经常出现的典型数学推理)。从而我们能够找到任意小的同心圆，对这圆上的向量场得指标是1。然而这恰恰又是不可能的。因为根据映射连续的假设，在一个充分小圆 15 上的向量的方向均近似于圆心处得向量方向，因此我们可以选到足 vx()够小的圆，使向量绕它一圈的角度变化的绝对值小于给定的一 。个正角度，例如10，这就意味着这个很小的圆上的向量场的指标v0.这个矛盾说明原先所作的用圆盘到自身的连续映射没有不动点的假设不能成立，从而定理2.1.4.1成立。 2B以上证明利用向量场这一工具，将的无不动点的连续自映 WWvCr,(,())射转化为[0,1]上的连续整值函数，其中r是同心圆的 r,[0,1]C(0)半径，，然而这函数在1处得值为1，而在0处得值为0( 2B变成点圆，指标视为0)，从而得出矛盾。如果将中挖去一点O， WvCr(,())则函数W:就定义(0,1]上，从而得不出矛盾，从而证法失效，或是命题不成立。事实上，挖去一点的圆盘不具有不动点性 22BBO,{}质。“连续自映射”这一条件不变，空间改变为就失去了 22BBO,{}“具有不动点性质”这一特征，这就说明与在某一方面有明显不同的性质。 下面我们用另一种方法来证明二维的布劳威尔定理。首先我们引入收缩核和保核收缩映射的定义 [2]定义2.1.4.1: 设A是拓扑空间X的子集，若存在连续映 rXA:,rAid|,射，使映射r限制在A上时是恒等映射，即(idA表示恒等映射)，则称A是X的收缩核，r是(X到A的)保核收缩映射。 21BS定理2.1.4.2 边界圆不是闭圆盘的收缩核 [2]定义2.1.4.1 拓扑空间X内的一条道路是指一个连续映射,:IX,,,,(0)(1)与，其中I=[0,1],点分别叫做道路的起点和终点。 ,,(0)(1),,:I,X若X的一条道路 满足条件，即起点和终点相同， ,,(0)则称为X的一条环路，叫作这环路的基点。 ,1,,若是一条环路，则由下确定的也是环路:,1,,()(1),01ttt,,,,,,和,,。他于有相同的基点，称为的你环路。若 ,,是基点相同的两条环路，定义它们的乘积为环路 16 1,,,,(2)0tt,,2,,,()t, 1,,,,(21)1,tt,,2 ,,和,,有环路得到乘积。 但基点的所有环路在上述和逆的定义下不能构成一个群，但是经过用“同伦”将所有环路分类后就能到一个群—基本群。 ,,,:IX,定义2.1.4.2 设 是X的两条道路，若存在连续映 HIIX:，,射，使 Htt(0,)(),, HtttI(1,)(),,,,, ,,,,,到则称道路同伦于，记为，连续映射H叫做的同伦。 ,H 一个自然的想法是将相同基点的同伦环路看作是同类的，即本质上是相同的。 引理 空间X内具有相同基点的全体环路构成一个集合，则环路的同伦是这集合上的一个等价关系。 pX,据此引理就可将具有相同基点的所有环路安同伦这一等价关系分成等价类，称这种等价类为同伦类，记所属的同伦类为, 。相应的定义同伦类的乘积和逆: ,,, ,,11,,,,,,,,,,,,,,,,,, 因此我们可用环路同伦类构造一个群。由此我们可得拓扑空间 xX,,,,,,,,,,,,X中以为基点的所有环路同伦类在乘积下构 ,(,)Xx成一个群。这个群称为X在点处得基本群，记为。 x ,(,)Xx我们通过同伦对空间X的每一点建立一个基本群，紧x 接着在连通的空间X中，对X的任意两点总有X中的道路将它们相 pqX、,,(,)Xp,(,)Xq连。则对任意两点有同构于。因此连通空间 ,()XX在每一点处的基本群都同构，可说成是X的基本群，记为。 211BS,()SZ现在我们知道的基本群是平凡的，而边界圆的，这是从环路的角度描述了它们的不同特性，再利用诱导同态这一桥梁我们就可以证明定理2.1.4.2。证明如下: 17 211fBS:,S假如存在连续映射，它使上的每点不动，令 fi211121iBS:,是内含映射，即任一可得 xSixxSBS,,,,,().由 if**121,,,()()()SBS,, 11fixx。(),fiS。是xS,然而对所有有，即得恒等映射，因此 12f()BfiS。是,(),到自身的同构。这样必定是满同态，但是是平*** 1()SZ,凡的，而，这就产生矛盾，从而定理成立。? 应用上述定理可证定理3.1。证明如下:假定存在连续映射 222fxx(),,fBB:,fxx()到xB,，它不具有不动点，则对每一有引从 ''xxx,的射线，它必与边界圆交于唯一的一点，这样确定了闭圆盘到其边界圆上的一个映射 211gBS:,S(如下图)，它使边界圆的每一点保持不动，即有 1fgSid|,，由映射的连续性容易得出映射g的连续性。这样g就1s 21BS是到上的保核收缩映射，于定理3.2矛盾，因而定理3.1成立。 我们已证过的过定理3.2显然对n>2也是成立的，因此 323BSB不是的收缩核。从而可证三维布劳威尔定理，即:闭球体具 33fBB:,有不动点性质，也就是说，每一个连续映射都有不动点。 ?2.2 一般空间上的不动点定理 由于两连续函数之间的距离，都满足距离公理。这一想法把人们的视野扩大了，不动定理除了研究有限的欧式空间上的连续自 18 映射之外，还可以研究函数空间上的不动点。而这时十分诱人的前景，1922年波兰数学家巴拿赫(Banach)证明了: [5]定理2.2.1(压缩映射原理)在完备的距离空间R中的压缩映射象A必有唯一的不动点。 xAxn,,()(0,1,2,...)证明: 由于A是R上的自映射。因此是可以nn，1 作的。利用三角不等式， ,,,,(,)()(,)...()xxxxxxxx,，，，npnnpnpnpnp，，，,，,，,11210 运用A的压缩性质 ,,,,(,)(,),01AxAyxy,,, n, (,)(,)xxxx,,,可以算出 npn，101,, {}x{}x由此可知满足R上饿柯西收敛准则条件，即是R中的柯西nn *xx列。所以收敛于R中某点(由于空间的完备性)。 n xR, 在距离空间中也可引入相应的连续映射的概念:若在0 xx,AxAx,xx,处，对任何，均有，则说A是连续的，而定n0n0n0 ()0xx,,,义为是数列。这样A的压缩性:n0 *,,,(,)(,)AxAyxy,xx,，立即可导出A的连续性。于是，由nnnnn ***xAx,()xAx,AxAx,可知。再由立知，即为所求nn，1n 的不动点。 唯一性的证明可由数列极限的唯一性类似得到。? 下面我们给出不动点定理在希尔伯特空间上的推广。 [5] 定理2.2.2 若C是希尔伯特空间中的闭，有界，凸集，那么C上的非扩张自映射至少有一个不动点。 我们先引入两个引理: 引理1 设u，v是希尔伯特空间H中两个元素，如果存在 ||||,||||||()/2||xuRxvRxuvr,,,,,，,且xH,，使得 22则||||2uvRr,,,。 19 xy， 引理2 F是有界集C上的非扩张自映射。若均xya,及,2 ||()||,||()||,xFxyFy,,,,,,在C内，且则 ||()||2()aFaaC,,,,, 这里，称为C的直径。 ,()||||Cxy,,maxxyC., 现在证明定理2.2.2。分析:首先，非扩张映射F可用压缩映 1Fxx射来近似，有不动点。其次，当然不必是F的不FF,,(1)nnnnn 1xFx,()动点，但距离不超过。于是考察 ,()Cnnn 1QxCxFxC{|||()||()},,,,,。 nn QA然后设法将改造一个直径趋于0的闭集套，由于完备距离空nn 间中这种闭集套必有一公共点，定理遂最后得证。 OC,证明: 不失一般性，设，对任何自然数n>2，作 1F，此时是C到C的压缩映射，必有不动点FF,,(1)nnn xFxx:(),。但 nnnn ||()||||()()||xFxFxFx,,,nnnnn , 1()C ,,||()||Fxn nn11QxCxFxC{|||()||()},,,,,考察，今后我们把这种点称为,()Cnnn Q,,,,,0,||()||有xFx不动点(一般地对的称为不动点)，显然是x,n QQdxxQ,,,,...inf{|||||}。记递缩的非空间集套， 23nn QQd(各点与原点的最小距离)。则是单调不减数列，由于是Cnnn ,()Cddd,的子集，之值不超过，所以。然后，构造直径趋于0nn 1AA的闭集套:。显然，仍是非空递缩AQBOd,，nn(,)nBz n ,()A闭集套，我们来计算。 n 20 xy， 若，这可由引理2看出: ,,xyQaQ,,,则nzn2 ,,()()CC ，,,||()||22()aFaC,2,nn 111||||,||||,OxdOyd,,，,,，其次，若，则 xyBOd,(,),，nnn xy，。再用引理1知 ||||因而Od,,n2 122xydd,,，,n||||() n ,, 1222,，，,dnnddn22()0A,,当时，右端之值趋于0.故 n,,n 由拓扑空间中的康托尔定理，完备距离空间中直径趋于0的 xxA,递缩闭集套必有唯一的一点属于所有套中的闭集:，因00nn xQ,而，亦即 0Bzn 1||()||0xFx,,x，对所有n都成立。故，即为,,,,||()||()xFxC000002,n F不动点。? 在希尔伯特空间上，我们还可以把问题分析得更细致些。如果F不是自映射，则有如下结果(证明略) {||||}xHxc,, 定理2.2.3 设H是希尔伯特空间，C是闭球，则由C到H内的任何非扩张映射必具以下两性质之一: (1) F有不动点 ,CxFx,,,,,(),01(2) 在球而上存在一点，使 x ?2.3 不动点定理的应用 [5](1) 代数基本定理的证明 21 nfzaazaz()...,，，， 定理2.3.1 设是复多项式，则必有01n一根。 i,azren,,,,1,,02令,。记证明:不妨设n aaa,，，，2||...||今再定义 01n, fz(), ,,in(1),,zz||1,,ae ,gz(), fz(),,,n,1zz||1{:||}zza,显然g是连续函数。今考察C，C是复平面上紧凸集，,,az ||1z,现证g是C到C上自映射。若，则 |()|fz,，,，，，，,，,,|()|||1(1||...||)/112gxaaaa01n, a ||1z, 若则 znn,,11()|(...)/|,,,，，gzzaazaz01n, a ,,，，(1)(||...||)/aaaa01n, ,2a,,，,1aa 2 xx,故C对g不变，有布劳威尔不动点定理，g存在不动点即为00 fz()0,的根。? [5](2) 经济平衡点问题 PPP,...., 设有N个生产者各生产某种产品12NGGG,...., 12N XXX,,...,xPP数量分别为,表示的产品被消费的数量， N12Nijii iiijYXx,, ,j,1 axX,/为第i种产品的最大需求量。称为生产系数。我们假定ijijj X()IAXY,,Aa,()它们是与无关的常数，此时有此处。经济平衡iij 22 YYYYXXX,,(,,...,)(,,...,)求X点问题是给出。然而实际上应认为1212NN aa是连续的非负函数。(这比假定是常数更接近实际)，这样就会ijij 涉及到非线性映射的不动点了。 PxG现在假设生产者当其收入为时用于购买第j种产品所iij xfx,,0()0时，所有fx()花的钱为，我们称之为需求函数。当。 ijiiji P如果以所有收入买别人的产品，则有等式 i N xfx,(),,1iiji PxGP另一方面，表示收入的应是各个生产者购买的总值: jiiij N xfx,(),,1iiji 这样我们所要解决的经济平衡点问题的提法是: j xfxjN()(1,2,...,),如果关于有N各单变量函数，再按照iiji 2Nxxxx,(,,...)iN,1,2,...,排成个函数的方阵，记，满足 12N N****xxxx,(,,...,)，则必存在点满足 xfx,()N,12,iiji jiN**。 xfx,(),, jiji[5](3) 微分方程的初值问题 ji [0,]T 设在区间上考虑下述常微分方程的初值问题: du,,,,gtutT(,)0, dt , ,u(0)0,, ut()这里在[0，T]上一阶连续可微，且在O点出为0的函数全体记11'CuC,||||max{||||,||||}uuu,为。如果对。定义范数其中1 1||||max|()|uut,C。则是线性赋范空间。 0tT,(0,) d1C 我们将微分子算子记为L。L是到连续函数空间C[0,T]0dt ,1L的映射，它是双射，因而有你算子，它可表示为 23 t,1'()()()(),LftfxdxutLufu,,,, , 0,1L现证是有界算子。由上式知 tt '||||||()||max|()|||||||||||||||||ufxdxfxdxTfTLuuLu,,,,,,,,,tT(0,),00 ,1||||(1)||||.uTLu,，Lfu(),,。因此记我们就有 ,1||()||(1)||||LfTf,， ,1L故事有界算子。由泛函分析知识可知线性有界算子必连续。 第三章 拓扑空间与连续映射 ?3.1 拓扑空间 [10]定义3.1.1 设X为非空集合，T为X的子集簇，如果满足下列条件: XT,,,(1) ABT,,ABT,(2)若则。 24 TTAT,,,.则(3)若 1AT,1 则称T为X的拓扑。 如果T为集合X的拓扑，则称偶对(X，T)为拓扑空间，或称X为相对于拓扑，T而言的拓扑空间;或者，当拓扑T自明而无需指出时，径X为拓扑空间。此外，T的每一成员均成为拓扑空间 (X，T)的开集。 下面给出几个常见的重要拓扑的例子。 XX,,,2(1) 离散拓扑:空集合的所有子集构成的集族(包括)。 X,,,{,}X(2) 平庸(平凡)拓扑:是非空集合，。 CXX,,{AA(3) 余有限拓扑:设是无穷集，称是的有限集f }{},, X为上的余有限拓扑。 CXX,,{AA(4) 余可数拓扑 设是不可数无穷集，称是的可C X}{},,数子集为上的余可数拓扑。 R,,{UU(5) 欧氏拓扑 —— 是全体实数集合，称是若干个e R}开区间的并为上的欧氏拓扑。(注:“若干”可表示无穷，有穷 R,,或零个，故均含于其中) 上述集族为拓扑需要证明，下面仅证明[3](余有限拓扑) C,,,XX,,证明:(1) 因为是有限集，而，则; f ,,,, 又由定义，在中，即,。 ff AB,,AB,,,,,AB,,, (2) 设，若中有一个是，则自然有; ff XAB,AB, 若均非空，则存在的有限子集，使得11 CCAABB,,,(有限集)，于是， 11 CCCABABAB,,,,,() 1111 AB,AB,AB,由于为有限集，则仍是有限集，则是有限集的余，1111 AB,,,则. f A,,,,,,A(3) 设(指标集)，且存在，使非空。又设,,f, CXBAB,, 这里是上的有限集，于是 ,,, CCABB,,[] (根据摩根律) ,,,,,,,,,,,, BBA因为是有限集，则也是有限集，而是有限集的余，故,,,,,,,,, A,,. ,f,,, 利用类似的方法，可以证明上面的所有例子。 25 [10], 定义3.1.2 设在(X,T)为拓扑空间，如果存在X的度量 ,使得T即是由度量诱导出来的X的拓扑，则称拓扑空间(X,T)为可度量化得空间。 满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的空间呢,这即是所谓可度量化的问题，这一问题是拓扑的重要问题之一。为了考虑映射在某一点处的连续性，提出邻域的概念是必不可少。下面给出拓扑空间中点的邻域的定义。 xXU,,定义3.1.3 设(X,T)为拓扑空间，为X的子集， xVU,,如果存在一个包含的开集V包含于U，即，则称U为xx 的邻域。 xX,点的所有邻域构成的X的子集簇称为点的邻域系。易x见，凡包含x的开集均为x的邻域，并且称为x的开邻域。 定理3.1.1 拓扑空间X的子集U为开集的充分必要条件是U xU,为其每一点的邻域，即:若，则U为x的邻域。 证明:必要性是明显的，现证充分性。设U为其每一点的邻域。 xX,xVU,,.VVU,于是对于每一，存在开集使得从可见xxx VU,.UxV,,{}UV,;可见。所以，由于每xUxUx,,xUx,xUx, V一都是开集，故U为开集。? x 下面介绍拓扑空间上集合的一些重要性质 性质1(关于闭集的性质) 拓扑空间的闭集满足 X,(1) 与是闭集; (2) 任意多个闭集的交是闭集; (3) 有限多个闭集的并是闭集。 证明: (1)已经证过;(2)和(3)可用开集的公理(2)和(3)经摩根律得出。 AB,性质2(关于内点的性质) 设是拓扑空间的子集，有 AB,intintAB,? 若，则; AAintA? 是包含在中的所有开集的并集，因此，是包含在中的最大开集; 26 intAAA,,? 是开集; int()intintABAB,,,? ; int()intintABAB,,,? . 证明: ABA? (提示:只要证明的内点一定是的内点) 设是的内x AB,UxUA,,UB,点，则存在开集，使得;又,则必有，于是， intintAB,B也是的内点。故 ; x A{}U,,,? 设是包含在中的所有开集构成的子集族。(提, ,,,,,UA,示:我们只要证明 intAU,即可) 首先， ，,,,,, AAxUA,,U于是，对于，是的内点，即中所有点均是的内xx,, UA,intxA,intUA,int点。故有, 于是.又，若，则必有一个,,,,, intAUxU,UA,int开集，使得.故对中的所有，有。所以，x,,,,,, intAintAU,有。(并且是开集) ,,,, AintA? 根据?，任意开集的并是开集，则是开集。又，设是 A开集，由?知，是包含在自身内的最大开集，于是有 AAA,intintA.( 是中开集并) ()ABA,,int()intABA,, ? 一方面，由于，根据?，有 ;又 int()intintABAB,,,()ABB,,int()intABB,,，则有 ，故得到 。 ABAB,,,intintAA,intBB,int另一方面，由 且 ，则有,而 int()int(intint)intintABABAB,,,,,int()intintABAB,,,所以，有。 AA,intBB,intABAB,,,intint? 因为 且 ，则有.根据?， AB,int()AB,int()intintABAB,,,是包含在中的最大开集，故有。 AB, 性质3(关于闭包的性质) 设是拓扑空间的两个子集，有 AB,AB,(1)若，则; AAAA(2)是所有包含的闭集的交集，故是包含的最小闭集; AAA,,(3)是闭集; ABAB,,,(4); 27 ABAB,,,(5); CABAintB()intAB,(6)与互余，则与互余。(即) 证明:(1)~(5)留给同学们作为作业，可仿性质2的证明。 CxAxB,,,()int,xAxB,,,int下面仅证明(6)。思路: 即) CAxAx,,(),,xA，意味着的任一邻域与都有交点，于是有邻域x ABBAB,,与不相交 有邻域包含于中 (因为是的余)是的xx内点。 CC()AintB()intAB,上式说明:中的点都是中的点，故。 ?3.2连续映射 f定义3.2.1 设X和Y是两个拓扑空间，:X?Y(如果Y中 f每一个开集U的原象(U)是X中的一个开集，则称是X到Y f的一个连续映射，或简称映射连续( 按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，当X和Y是两个度 f量空间时，如果:X?Y是从度量空间X到度量空间Y的一个连续映射，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个连续映射，反之亦然((涉及的拓扑都是指诱导拓扑) 下面的这个定理所指出的是连续映射的最重要的性质( [15]定理3.2.1 设X，Y和Z都是拓扑空间，则 (1)恒同映射::X?X是一个连续映射; fgf(2)如果:X?Y和g: Y?Z都是连续映射，则 :X?Z也是连续映射( 28 ,1f,,,,UTiUUT,()证明(l)，所以连续((2)设: X?Y, XX g:Y?Z都是连续映射 这证明gf连续( 在数学科学的许多学科中都要涉及两类基本对象(如在线性代数中我们考虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态，在集合论中我们考虑集合和映射，在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等(并且对于后者都要提出一类来予以重视，例如线性代数中的(线性)同构，群论中的同构，集合论中的—一映射，以及初等几何学中的刚体运动(即平移加旋转)等等( 我们现在已经提出了两类基本对象，即拓扑空间和连续映射(下面将从连续映射中挑出重要的一类来给予特别的关注( f定义3.2.2 设X和Y是两个拓扑空间(如果:X?Y是一 ,1fff个—一映射，并且和:Y?X都是连续的，则称是一个同胚映射或同胚( [15]定理3.2.2 设X，Y和Z都是拓扑空间(则 (1)恒同映射:X?X是一个同胚; f(2)如果:X?Y是一个同胚，则:Y?X也是一个同胚; fgf(3)如果:X?Y和g:Y?Z都是同胚，则:X?Z也是一个同胚( 29 证明 (l)是一个—一映射，并且，都是连续的，从而是同胚( fff(2)设:X?Y是一个同胚(因此是一个—一映射，并且和 都是连续的(于是也是一个—一映射并且和也都是连续的，所以也是一个同胚( ff(3)设:X?Y和g:Y?Z都是同胚(因此和g都是—一 gf映射，并且，，g和都是连续的(因此也是—一映射， gfgf并且和都是连续的(所以是一个同胚( [15]定义3.2.3 设X和Y是两个拓扑空间(如果存在一个同 f胚:X?Y，则称拓扑空间X与拓扑空间Y是同胚的，或称X与Y同胚，或称X同胚于Y( 粗略地说，同胚的两个空间实际上便是两个具有相同拓扑结构的空间( 定理3.2.3 设X，Y和Z都是拓扑空间(则 (1)X与X同胚; (2)如来X与Y同胚，则Y与X同胚; (3)如果X与Y同胚，Y与Z同胚，则X与Z同胚( 证明从定理3.2.2直接得到( 30 根据定理3.2.3，我们可以说:在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中，两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系(因而同胚关系将这个拓扑空间族分为互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚( 拓扑空间的某种性质P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个拓扑不变性质(换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质( 拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质。 第四章 模糊拓扑空间中的一个不动点定理的构造 31 ?4.1 F格及模糊拓扑空间 首先，我们先引入偏序集的概念。 [13], 定义 4.1.1 设X是非空集，是X上的二元关系。如果 ,,,,Xxx,是自反的，即; (i) ,xyyzxz,,,,,(ii)是传递的，即; ,xyyxxy,,,,,是反对称的，即; (iii) ,,则称为X上的偏序关系，称(X，)为偏序集。在不引起混淆的情况下，也把这偏序集简写为X。 [13] 定义4.1.2 设X是偏序集，若X的每个子集A都有上确 ,,AXAA,supinf与界以及下确界，即恒存在，则称X为完备格。 [13] 定义4.1.3 设X是偏序集，若对X中的任二元a与b，sup{a，b}与inf{a，b}恒存在，则称X为格。这时sup{a，b}可简 ab,ab,记为，inf{a，b}可简记为。 [13] 定义4.1.4 设L是格。则L中的非零并既约元叫分子。 [13]' 定义4.1.5 设L是带有逆合对应“”的分子格，则称L为Fuzzy格，或简称为F格。 XX2[0,1]比如，是F格，又，也是F格，这里， X'',,,,,,,,AAIAxXAxIAx[0,1],,,()().即， 1965年，L(A(Zadeh引入模糊集(fuzzy set)的概念，我 [14]们采用张文修的略语，简称模糊集为F集。 AX:[0,1],定义4.1.6 设X是非空集，是映射，则称A为 ,X上的模糊集，或F集，X叫论域。如果A仅在X中一点x处的值 x不为零，则称A为模糊点，或F点。这是把A记作。又，, x{|()0}xXAx,,,叫F集A的承集，叫的承点，叫F点的高(或xx, 值)，A的承集常用符号suppA表示。 对于若干个值格相同论域不同的LF集，我们来定义它们的乘积，这实际上是把它们的论域(分明集)作直积，得出一个新的论域来，然后按“取小”(即取下确界)原则来确定要求的LF集在各 32 点的值。 [13]{}X定义4.1.7 设L是F格，是一族非空分明集， ttT, ,,,xTAXL,:X是上的LF集。规定AXL:,如下: tt,tt,tT {}A,,,{}({})inf()xXAxAx称A为各LF集的乘积，它是,ttT,ttTtttTtt,,,tT,tT, XAA,上的LF集，记作。 ,,tt,,tTtT 通过以上的定义，下面我们引入L-fuzzy拓扑空间，这一理论是一般拓扑空间理论的推广。 [13]X,,L定义4.1.8 设L是格，X是非空间集，。如果 XL0,1,,,(i)，即，含有的最小元与最大元; ABAB,(),,,,,,,,(ii)即，对有限交运算关闭; ,,(iii),,,,,,tTAA,,,，即，对任意并运算关闭。那么，称为tt,tT X(,)L,X上的LF拓扑，称为L-fuzzy拓扑空间或LF拓扑空间，特别当L=[0,1] X[0,1],,时，称()为Fuzzy拓扑空间或F拓扑空间，并常把它简记为(X，,) ?4.2 乘积诱导Fts和不动点定理 在Fuzzy拓扑学中，胡诚明引入乘积诱导Fts，并在1979年的全 [18][19]国拓扑学术会议上宣读了它，这可参考。紧接着，胡诚明又给出了这种乘积诱导Fts的一种较特殊的度量化，这在全国甚至在世界上都是较早的对模糊拓扑空间的度量化的一种初步探讨。本节按一般拓扑学的原理对乘积诱导Fts进行探讨，在Fts中得到了一个新的不动点定理。. [17]I,(0,1),定义4.2.1 开区间上的一个拓扑叫做型的，如0 果它的开集簇是有每些具有形式(0，)的开区间构成的，其中, ,,[0,1](,)I,,,,，型拓扑一般记为，而则称为型拓扑空间。0 ,,,{,},{(0,):}IaI,,,,,都是型拓扑。 001 33 [17],,I,定义4.2.2 设是一个关于X的拓扑，为一个关于的0型拓扑，则Fuzzy集簇: XSFAAIA,,,，{:,},, ,,， (,)XF是关于X的一个Fuzzy拓扑，称为乘积诱导Fuzzy拓扑，称,,，为乘积诱导Fts。 [17]d 定义4.2.3 设d是关于集X的一个通常度量，是由d诱, (,)XF导的关于X的度量拓扑，则称乘积诱导Fts为模糊拓扑度,,，1量空间。 [17](,)XF1 设在中，定义 定理4.2. ,,，duxuFxX,,,,max{():,}, u,,，1 XXDII:, 如果满足: BduF,,{:} I) 在[0,1]中是完备的; u,,，1 ,,,,,,,uvFdddd,,||||,01,, II) 对 ,,，DuDvuv()() ,,vFFvuuFdd,,,{:,}v，定义，那么就是的一个等价类，,,，,,，,,，uv ，Dvv(),,,{:}vvF是的一个等价类D:,,,,，,v,，则映射则使得。 ,,， 证明:根据I)，B是完备的，由于 ,,,,,,,uvFdddd,,||||,01,,，可定义映射,,，DuDvuv()() dBvdvd:,,(),,,,,,定义d，可证明 是一个压缩映射且是一个v DDvDvuDvDv:,(){():()},,,,,是D(v)的等价类1-1映射，构造，显然 ,,,d是的映射，根据II)和的定义，可知 ,,,,,uvdddd,,||||,, ，所DvDuuv()() ，,v,Dvv(),以， 使得。命题得证。? 34 结论 本论文先介绍了不动定理在不同空间中的结论和推广，接着介绍了拓扑空间的有关性质和结论。通过在格意义上定义模糊拓扑空间，然后把不动点定理推广到模糊拓扑空间上，根据胡诚明定义的 (,)XF乘积诱导Fts模糊拓扑度量空间，我们可以得到一个新的,,，1 不动点。 运用不动点定理，可以使许多复杂的数学问题简单化，例如论文中提到的函数的不动点和不动点定理在数列极限中的应用，等等。因此，不动点定理是我们学习并掌握更多的数学理论的必要工具。 不动点理论描写了运动的函数、映射，反映了世界万物处于变化之中，但是，变中有不变，运动之中有不动，不动点理论正是在动与静这对矛盾展开中出现的规律性结果。只要世界还在运动，不动点理论就会继续存在，继续发展，继续得到更广泛的应用„„ 35 参考文献 [1] 张奠宙，顾鹤荣著，《不动点定理》，辽宁教育出版社，1995年. [2] 江泽涵，《拓扑学引论》，上海科学技术出版社，1978年. [3] 江泽涵，《不动点类理论》，科学出版社，1979年. [4] J. Dugundji等,《Fixed Point Theory》(1),Polish Scientific Publishers,1982. [5] 张石生，《不动点理论及其应用》，重庆出版社，1984年. [6] F. Browder The topological fixed index and its application in functional analysis Doctoral Dissertation,Princeton University,1948. [7] R. knill On the lefschetz coincidence point formula，Doctoral Disserlation. University of Notre Dame,1964. [8] A. Granas The Hopf-pefschetz fixed point theorem for noncompact ANR’s, Proceedings of the Conference on Infinite Dimensional Topology at Baton Rouge,la.,1967. [9] R. F. Brown The lefschetz fixed point theorem. Scott. Poresmen Company,Glenview,Ulinois,1971. [10] 熊金成编，《点集拓扑讲义》，高等教育出版社，1997年7月. [11] J. A. Goguen, L-fuzzy sets,JMAA,18(1967). [12] 胡适耕，分子格上的邻近与半一致(模糊数学)1984年. [13] 王国俊，L-Fuzzy拓扑空间论，1988年. [14] 张文修，模糊数学基础，西安交通大学出版社，1984年. [15] J. L. Kelley, 一般拓扑学(吴从炘，吴让泉译)，科学出版社，1982. [16] C. K. Wong, Covering properties of fuzzy topological [17] 陈鹏，模糊Space,JMAA,43(1974).拓扑空间中的C. T. Yang’ S 定理与 度量化，2011年5月. [18] 胡诚明，Fuzzy拓扑空间，内蒙古大学学报(自然科学版)，1982年. [19] 胡诚明，不分明度量空间的一种度量化，自然杂志，1981年4卷7 期. [20] 李庆国，模糊拓扑空间的m-紧(II)，湖南大学学报(自然版)，2000 36 年. 致谢 本论文是在我指导老师陈鹏副教授的精心指导下完成的，在此深深地表示对他的感谢～ 指导老师陈鹏对学术的严谨的治学态度，因材施教、诲人不倦的鳄鱼人风范，豁达大度的为人和对工作的乐观进取精神使我感到由衷的钦佩和学习的表率。他的言传身教使我受益匪浅，终身难忘，并激励，影响我以后的人生道路，我将更加奋发向上，争取做一个对社会，对国家有所作为的人。 同时也要感谢我的同学对我在学习上的指导和关心，以及亲朋好友对我提供的帮助。最后还要感谢数学与统计学院的全体领导和老师四年来对我的培育教育，并对河南科技大学良好的学习氛围和自然环境给予我的熏陶表示感谢。 37