[工作]导数经典例题1

[工作]导数经典例题1 经典例题导讲 2,[例1]已知,则 .y,y,(1，cos2x) 2x错因:复合函数求导数计算不熟练,其与系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错x ,解为:.y,,2sin2x(1，cos2x) 2,,,,,u,1，cos2x正解:设,,则y,yu,2u(1，cos2x),2u,(,sin2x),(2x)y,uxux ,.,2u,(,sin2x),2,,4sin2x(1，cos2x)y,,4sin2x(1，cos2x)？ 1,2(，1)(,1)xx,,2[例2]已知函数f(x),判断f(x)在x=1处是否可导,,1,(x，1)(x,1),2, 1122[(1，,x)，1],(1，1)22,错解:。？lim,1,？f(1),1,x,0,x 分析: 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 1122x[(1，,)，1],(1，1)y,22解:lim,lim,1,,,x,,x,00xx,, ? f(x)在x=1处不可导. ，,,x,x,x,0,x,0注:，指逐渐减小趋近于0;，指逐渐增大趋近于0。 f(x，,x),f(x)，00lim点评:函数在某一点的导数，是一个极限值，即，?x?0，包括?x?0，与?x,x,0,x,?0，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等， 如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数. 2[例3]求在点和处的切线方程。P(1,5)Q(2,9)y,2x，3 P错因:直接将，看作曲线上的点用导数求解。Q ,x,1PP分析:点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是y在处的函数值; 点Q不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线( 2,,？y,2x，3,？y,4x.？y,4解:x,1 Py,4x，1即过点的切线的斜率为4，故切线为:( y,90设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又，k,T(x,y)4xQPQ000x,20 22x,620故，。,4x？2x,8x，6,0.？x,1,30000x,20 即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为:QTQ y,4x,1,y,12x,15 点评: 要注意所给的点是否是切点(若是，可以直接采用求导数的方法求;不是则需设出切点坐标( 1[例4]求证:函数y,x，图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程.x 1y,x，分析: 由导数的几何意义知，要证函数的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函x 数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解. 111,y,x，,？y,1,,1y,x，1解:(1)，即对函数定义域内的任一，其导数值都小于，于是由x2xxx 1y,x，图象上各点处切线的斜率都小于1.导数的几何意义可知，函数x 111,,0x,,1x,1x,,1y,1，,2(2)令，得，当时，;当时，，y,,221x 1y,x，曲线的斜率为0的切线有两条，其切点分别为与，切线方程分别为或(1,2)(,1,,2)y,2？x 。y,,2 k点评: 在已知曲线 切线斜率为的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐y,f(x) ,,k标就是的导数值为时的解，即方程的解，将方程的解代入就可得y,f(x)f(x),kf(x),ky,f(x) ,切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程有多少个相异实根，则所f(x),k 求的切线就有多少条. 3a,0,，x,0,，,x,0M(x,f(x))[例5]已知，函数，，设，记曲线y,f(x)在点处的切f(x),x,a111 l线为 . l(1)求 的方程; lx(x,0)(2)设 与 轴交点为，求证: 2 111 333 ? ; ?若，则x,aa,x,xx,a2121 分析:本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程 . 33,yx，,x,a,x，a()/解:(1)fx,,()limlim,x,0,x,0,x,x 223x,x，x,x，,x33()() ,lim,x,0,x 222,lim[3x，3x,x，(,x)],3x,x,0 2,l切线的方程为,y,f(x),f(x)(x,x)？f(x),3x？11111 32即.y,(x,a),3x(x,x)111 (2)?依题意，切线方程中令y=0得， 33x,ax,a11?由?知x,x,？x,x,,，2121223x3x11 2[例6]求抛物线 上的点到直线的最短距离. x,y,2,0y,x 2P分析:可设 为抛物线上任意一点，则可把点到直线的距离表示为自变量的函数，然后求函xP(x,x) 数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线 的距离即为本题所求. x,y,2,0 2解:根据题意可知，与直线 x,y,2=0平行的抛物线y=x的切线对应的切点到直线x,y,2=0的距离最 1'x,y|,2x|,2x,1短，设切点坐标为()，那么,?0x,xx,x0002 11|,,2|721124(,)d,,? 切点坐标为，切点到直线x,y,2=0的距离，2482 72 ? 抛物线上的点到直线的最短距离为. 8 232S[例7]已知曲线及点，求过点的曲线的切线方程. S:y,,x，x，4xPP(0,0)3 2,S,错解:，过点的切线斜率，过点的曲线的切线方程为.PPk,y,4y,4xy,,2x，2x，4？？x,0 错因:曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题 S中，点凑巧在曲线上，求过点的切线方程，却并非说切点就是点，上述解法对求过点的切线PPPP方程和求曲线在点处的切线方程，认识不到位，发生了混淆. P SS正解:设过点的切线与曲线切于点，则过点的曲线的切线斜率 PPQ(x,y)00 32[例8]已知函数在R上是减函数，求的取值范围. af(x),ax，3x,x，1 2,,错解:RR在上是减函数，在上恒成立， f(x)？f(x),0f(x),3ax，6x,1,？ 2x,R？,,036，12a,0？a,,3？3ax，6x,1,0对一切恒成立，，即，. 2,,6x,1,0？,,0a,0RR正解:，在上是减函数，在上恒成立，且，即？f(x)f(x)f(x),3ax，？ 36，12a,0a,0？a,,3且，. xx,0,ln(1，x),x[例9]当 ，证明不等式. 1，x xx,x,0f(x),ln(x，1),f(x),证明:，，则，当时。在内，，0,，,g(x),ln(x，1),x？f(x)21，x(1，x) ,xx,,x,0g(x),n(l1，x),,0是增函数，，即，又，当时，，在，，0,，,？f(x),f(0)g(x),0？g(x)1，x1，x xx,0,ln(1，x),x内是减函数，，即，因此，当时，不等式成立.？g(x),g(0)ln(1，x),x,01，x xf(x),ln(x，1),点评:由题意构造出两个函数，.利用导数求函数的单调区间，g(x),ln(x，1),x1，x 从而导出及是解决本题的关键. f(x),f(0)g(x),g(0) [例10]设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省? 22100,xx，20xa解 : 设BD之间的距离为km,则|AD|=,|CD|=.如果公路运费为元/km,那么铁路运费 3a为元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费y5 3a20,x,100为:+,().对该式求导,得y,x，400a(100,x)5 2axa(5x,3x，400),3a22,,，400=+=,令,即得25=9(),解之得 xxy,0y2255x，400x，400 =15,=-15(不符合实际意义,舍去).且=15是函数在定义域内的唯一驻点,所以=15是函数yxxxx1112 的极小值点,而且也是函数的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费yy 最省. 点评: 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间. 3''[例11]函数，其中是的导函数.(1)对满足,1??af(x)f(x),3x，3ax,1,g(x),f(x),ax,5f(x) 1的一切的值，都有,0，求实数的取值范围; axg(x) 2(2)设m,,，当实数在什么范围内变化时，函数y,的图象与直线y,3只有一个公共点.amf(x) 2gxxaxa,,，,335解:(1)由题意 ，， 2,,,11a,xxax,,，,335 令， ，，，， ,,,11agx,0,a,0对，恒有，即 ，，，， 2,,,10,320xx,,,，，,? 即 ,,2,,10，，,380xx，,,,,, 2,,,x1解得 3 2,,gx,0aa故时，对满足,1??1的一切的值，都有. x,,,1，，,,3,, '22fxxm,,33(2) ，， 3m,0fxx,,1?当y,3时，的图象与直线只有一个公共点 ，， m,0?当时，列表: ,,,m,mm,m,，,x ,mm ，，，，，， ' , fx ，，00 ，， fx，， 极大 极小 2? fxfxmm,,,,,,211，，，，极小 又?的值域是，且在上单调递增 Rfxm,，,，，，， ?当时函数的图象与直线只有一个公共点. xm,yfx,y,3，， 当时，恒有 xm,fxfm,,，，，， 由题意得 fm,,3，， 3221213mmm,,,,即 33解得m,,2,00,2: ，，，， 33综上，的取值范围是,2,2. m，， [例12]若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为的另一点A，问电灯与点0a 2照度与成正比，与成反比)的距离怎样，可使点A处有最大的照度,(r，BAO,,,BA,r,sin, 2分析:如图，由光学知识，照度y与成正比，与成反比， rsin, sin, y,CCA即(是与灯光强度有关的常数)要想点处有最2r y大的照度，只需求的极值就可以了. x22O,Bsin,r,x，a解:设到的距离为，则， xr 22a,2xsinxx,,y,C,0y,C,C,C(0,x,,)于是，. 5233rr222222(x，a)(x，a) aa22,a,2x,0x,,，当时，即方程的根为x,,(舍)与，在我们讨论的半闭区间0,，,内，y,01222 aaOAy所以函数y,f(x)在点取极大值，也是最大值。即当电灯与点距离为时，点的照度为最大. 22 aa(,，,)(0，) 22 + - , y y? ? ,点评:在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得=0且在该点f(x),两侧，的符号各异，一般称为单峰问题，此时，该点就是极值点，也是最大(小)值点. f(x)