循环矩阵

循环矩阵循环矩阵一( 引言循环矩阵的概念是T Muir 于1885年首先提出来的，直到1950~1955年，Good等才分别对循环矩阵的逆，行列式及其特征值进行了研究。近年来，循环矩阵类已成为矩阵理论和应用数学领域中的一个非常活跃的和重要的研究方向。它之所以引起数学工作者如此大的兴趣，主要基于两方面的原因: 一是循环矩阵是一类非常重要的特殊矩阵，在现代科技工程领域中被广泛地应用，在分子震动，信号处理，纠错码理论，编码理论，图像处理，结构计算，电动力学。二十由于循环矩阵类有许多特殊而良好的性质和结构，已被广泛...

循环矩阵一( 引言循环矩阵的概念是T Muir 于1885年首先提出来的，直到1950~1955年，Good等才分别对循环矩阵的逆，行列式及其特征值进行了研究。近年来，循环矩阵类已成为矩阵理论和应用数学领域中的一个非常活跃的和重要的研究方向。它之所以引起数学工作者如此大的兴趣，主要基于两方面的原因: 一是循环矩阵是一类非常重要的特殊矩阵，在现代科技工程领域中被广泛地应用，在分子震动，信号处理，纠错码理论，编码理论，图像处理，结构计算，电动力学。二十由于循环矩阵类有许多特殊而良好的性质和结构，已被广泛地应用于应用数学和计算数学的许多领域，如控制理论，最优化，求解(偏)微分方程，矩阵分解，多目标决策，二次型化简及平面几何学等。1950年以来，循环矩阵被数学界高度重视，发展迅速，各种新的循环矩阵概念被相继提出，已有十几种。如向后循环矩阵，循环布尔矩阵，y-(块)循环矩阵，r-循环矩阵，向后(对称)r-循环矩阵，块循环矩阵等。二(基本循环矩阵 1 010？0，， ,,001？0,, ,,1(定义称为n阶基本循环矩阵。 B,？？？？ ,,000？1,, ,,100？0，， 0010？0，， ,,0001？0,,n2,,2(性质 ……， B =E 。 B,？？？？？ ,,1000？0,, ,,0100？0，， n|,E,B|,,,13(特征多项式 2,2,2n,11,,,,,？,, 特征根是全部的n次单位根:，其中i，若,cos，sin,nn 记 k,,,1,,,,,？,,，则全部的n次单位根可记作。 k2n,1 由于B的n个特征值互不相同，所以B可以对角化。 ,,(1,1,？,1)1 2n,1,,,,,(1,,,？,)2111令？ 2n,1,,(1,,,,,？,,)nn,1n,1n,1 B,,,,则，k=1, 2, …, n. kkk 111？1，， ,,,,,1？12n,1,,222,,,,,,T令 1？，则 12n,1,,？？？？,,n,1n,2n,1,,1,,？,12n,1，， ,1,,,TBT,diag(1,,,？,)12n,1 ,12222,,,TBT,diag(1,,,？,)12n,1 ？ ,1n,1n,1n,1n,1TBT,diag(1,,,,,？,)12n,1 2 三( 循环矩阵 aaa？a，，012n,1,,aaa？an,101n,2,, ,,1(定义 A,称为循环矩阵。 aaa？an,2n,10n,3,,？？？？,, ,,aaa？a，1230， 2(循环矩阵的对角化及生成多项式 2n,1由于，所以 A,aE，aB，aB，？，aB012n,1 ,1,1,1,12,1n,1 TAT,aTET，aTBT，aTBT，？，aTBT012n,1 ,diag(f(1),f(,),f(,),？,f(,) 12n,1 2n,1 称多项式为循环矩阵A的生成多项式。 f(x),a，ax，ax，？，ax012n,1 3(特征向量 ,1,,,,？,,,,,,？,,由于为对角形可知T的列向量仍是，且也是TAT12n12n A的特征向量，从而也是所有循环矩阵的特征向量。四(一般矩阵的对角化与循环矩阵的关系定理1 n阶矩阵P可以对角化的充要条件是P相似于一个n阶循环矩阵。证明一方面，若n阶矩阵P与循环矩阵A相似，由于A可以相似对角化，所以P也可以相似对角化。反过来，若n阶矩阵P可以对角化，总存在n阶循环矩阵A与之相似。 1,事实上，设，若能得到A的生成多项式 QPQ,diag(,,,,？,,)12n 则A就被唯一确定了。为此令: 3 f(,),,, k = 0, 1, … , n-1. kk，1 n,21,,,,,aaa？a，，，，,n,01020101,n,21,,,,aaa？a，，，，,,n,01121112即其中,,1,0？,n,21,aaa？a，，，，,,,,,nnnnn,,,,0112111, 这个非齐次线性方程组的系数行列式是Vandermonde 行列式，从而不等于0，于是该方程 (a,a,..,a)组有唯一解，f (x)被唯一确定。 01n,1 ,1此时，即 TAT,diag(f(1),f(,),f(,),？,f(,),diag(,,,,？,,)12n,112n ,1,1TAT,QPT 所以存在循环矩阵A与矩阵P相似。 ,1,1定理2 设P和Q是两个n阶复矩阵，则它们可以同时对角化(即CAC和CBC 均为对角形),存在可逆矩阵C及两个多项式f (x)和g (x)使得 ,1,1 P,Cf(B)C,Q,Cf(B)C其中B为基本循环矩阵。五(广义循环矩阵 aaa？a，，012n,1,,raaa？an,101n,2,, ,,J,raraa？a1(r-循环矩阵 n,2n,10n,3,,？？？？,, ,,rarara？a，1230， 4 010？0001？0，，，， ,,,,001？0000？0,,,,2n,,,,令: ，则 J,J,,？,J,rE？？？？？？？？000,,,,000？1r00？0,,,, ,,,,r00000r000，，，，关于r-循环矩阵也有与循环矩阵的性质和结论。 2(向后(对称)循环矩阵 aaa？aa，，012n,2n,1,,aaa？aa123n,10,, ,,A, aaa？aa23401,,？？？？？,, ,,aaa？aan,101n,3n,2，， aaa？aa，，012n,2n,1,,aaa？ara123n,10,, ,,A,3(后(对称)r-循环矩阵aaa？rara 23401,,？？？？？,, ,,arara？raran,101n,3n,2，，4(块-循环矩阵---分块矩阵以循环矩阵的形式出现。 5(向后(对称)块循环矩阵 6(块-r循环矩阵 7(向后单位置换矩阵 1，， ,,1,,2 ,,K,， K = E, K = K* ？ ,,1,, ,,1，，六(广义逆 5 ABA=A (1) BAB=B (2) (AB)*=AB (3) (BA)*=BA (4) AB=BA (5) +满足(1)(2)(3)(4)的矩阵称为A的Moore-Penrose逆A; 满足(1)(2)的矩阵B称为A的自反g-逆; 满足(1)(2)(5)的矩阵B称为A的群逆; s满足(1)(2)且其非0特征值是A的非0特征值倒数的矩阵B称为A的谱逆A. 七(置换矩阵定义 n阶矩阵P的每行每列只有一个元素为1其余元素均为0的矩阵称为置换矩阵。 T,1 P,P 6 7 8

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