2导数的概念经典例题

经典例题透析 类型一：求函数的平均变化率 例1、求在到之间的平均变化率，并求，时平均变化率的值. 思路点拨: 求函数的平均变化率，要紧扣定义式进行操作. 解析：当变量从变到时，函数的平均变化率为 当，时，平均变化率的值为：. 总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，只 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 出平均变化率的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式，其他就迎刃而解. 举一反三： 【变式1】求函数y=5x2+6在区间[2，2+]内的平均变化率。 【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】， 所以平均变化率为。 【变式2】已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]. 【答案】（1）4；（2）3；（3）2.1；（4）2.001. 【变式3】自由落体运动的运动方程为，计算t从3s到3.1s，3.01s，3.001s各段内的平均速度（位移s的单位为m）。 【答案】要求平均速度，就是求的值，为此需求出、。 设在[3，3.1]内的平均速度为v1，则 ， 。 所以。 同理。 。 【变式4】过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率. 【答案】3.31 当时 类型二：利用定义求导数 例2、用导数的定义，求函数在x=1处的导数。 解析：∵                     ∴ ∴。 总结升华：利用导数的定义求导数的步骤： 第一步求函数的增量；第二步求平均变化率；第三步取极限得导数。 举一反三： 【变式1】已知函数 （1）求函数在x=4处的导数. （2）求曲线上一点处的切线方程。 【答案】 （1）                     ， （2）由导数的几何意义知，曲线在点处的切线斜率为， ∴所求切线的斜率为。 ∴所求切线方程为，整理得5x+16y+8=0。 【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）。 【答案】 （1）， ∴， ∴。 （2）， ∴， ∴。 （3） ， ∴， ∴。 （4）， ∴， ∴。 例3、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程. 思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x3+2x在x=1处的导数值，再由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将x=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程. 解析：设. 由f(1)=3，故切点为（1，3）， 切线方程为y―3=5(x―1)，即y=5x―2. 总结升华: 求函数图像上点处的切线方程的求解步骤： 1 求出导函数在处的导数（即过点的切线的斜率）， 2 用点斜式写出切线方程，再化简整理。 举一反三： 【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线： （1）平行于直线y=4x―5； （2）垂直于直线2x―6y+5=0； （3）与x轴成135°的倾斜角。 【答案】 ， 设所求切点坐标为P（x0，y0），则切线斜率为k=2x0 （1）因为切线与直线y=4x―5平行，所以2x0=4，x0=2，y0=4， 即P（2，4）。 （2）因为切线与直线2x―6y+5=0垂直，所以，得，， 即。 （3）因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为―1。即2x0=―1，得，， 即。 例4．已知函数可导，若，，求 解析：    （）           （令t=x2，x→1，t→1）         举一反三： 【变式】已知函数可导，若，，求 【答案】                 类型三：利用公式及运算法则求导数 例5．求下列函数的导数： （1）；            （2）  （3）； （4）y=2x3―3x2+5x＋4    解析： （1）. （2）. （3）∵，∴. （4） 总结升华： ①熟练掌握导数基本公式，仔细观察和 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导； ②不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成. 举一反三： 【变式】求下列函数的导数： （1）；    （2） （3）y=6x3―4x2+9x―6 【答案】 （1）. （2） ∴. （3） 例6．求下列各函数的导函数 （1）；（2）y=x2sinx;        （３）y=；          （４）y= 解析： （1）法一：去掉括号后求导. 法二：利用两个函数乘积的求导法则       =2x(2x－3)+(x2+1)×2 =6x2－6x+2 （2）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx （３）= （4） = = 举一反三： 【变式1】函数在处的导数等于(    ) A．1    B．2     C．3      D．4 【答案】D 法一：         ∴. 法二：∵ ∴ ∴. 【变式2】下列函数的导数   （1）；    （2） 【答案】 （1）法一：           ∴ 法二：         =+         （2） ∴ 【变式3】求下列函数的导数. （1）； （2）；（3）. 【答案】 （1），∴. （2）， ∴. （3）∵， ∴         . 类型四：复合函数的求导 例7．求下列函数导数. （1）；  （2）； （3）；      （4）. 思路点拨:求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的，然后再按复合函数的求导法则求导. 解析： （1），.       . （2）， ∴       （3），. ∴       （4），， ∴     . 总结升华： ①复合函数的求导，一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。熟练以后，可以摆脱引入中间变量的字母，只要心中记住就行，这样可以使书写简单； ②求复合函数的导数的方法步骤： （1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量； （2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数； （3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数. 举一反三： 【变式1】求下列函数的导数： (1)；        （2） （3）y=ln（x＋）；  （4） 【答案】 (1)令,, （2）令   （3）=＝ （4）                                   类型五：求曲线的切线方程 例8．求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程. 解析：， x=1时，y=3， ∴切点为（1，3），切线斜率为5 切线方程为y―3=5(x―1)，即y=5x―2. 总结升华: 求函数图像上点处的切线方程的求解步骤： 3 求出函数的导函数 4 求出导函数在处的导数（即过点的切线的斜率）， 5 用点斜式写出切线方程，再化简整理。 举一反三： 【变式1】求曲线在点处的切线的斜率，并写出切线方程. 解析：∵ ∴切线的斜率. ∴切线方程为，即. 【变式2】已知，是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是________. 【答案】的导数为. 设切点，则. ∵的斜率，又切线平行于， ∴，∴，∴切点， ∴切线方程为，即. 【变式3】已知曲线. （1）求曲线上横坐标为1的点处的切线的方程； （2）第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？ 【答案】 （1）将代入曲线的方程得，∴切点. ∵，∴. ∴过点的切线方程为，即. （2）由可得，解得或. 从而求得公共点为，或. ∴切线与曲线的公共点除了切点外，还有另外的点. 例9．已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且. （1）求直线的方程； （2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积. 解析： （1）， 直线的方程为. 设直线过曲线上的点， 则的方程为，即. 因为，则有，. 所以直线的方程为. （2）解方程组  得 所以直线和的交点坐标为. 、与轴交点的坐标分别为（1，0）、， 所以所求三角形的面积为. 举一反三： 【变式1】如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程 【答案】 设切点坐标为 ∴切线在点的斜率为 切线与直线平行， 斜率为4 ∴，∴ 或 ∴切点为（1，-8）或（-1，-12） 切线方程为或 即或 【变式2】曲线在点（1，1）处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为________. 【答案】由题意，切线的斜率为， ∴切线方程为， 与轴交点为，直线的交点为（2，4）， ∴. 【变式3】曲线在（0，1）处的切线与的距离为，求的方程. 【答案】由题意知，                                     ∴曲线在（0，1）处的切线的斜率 ∴该切线方程为 设的方程为， 则， 解得，或. 当时，的方程为； 当时，的方程为 综上可知，的方程为或. 文档已经阅读完毕，请返回上一页！