目 录
第二章 导数与微分 ………………………………………… 2
§2.1导数的概念 ……………………………………………… 2
§2.2函数的和、差、积商的求导法则 ……………………… 11
§2.3 复合函数求导法则 ……………………………………… 13
§2.4初等函数的求导法 ……………………………………… 15
§2.5隐函数与参数方程所确定的函数的求导法 …………… 17
§2.6高阶导数 ………………………………………………… 18
§2.7 函数的微分 ……………………………………………… 19
本章小结 ……………………………………………………… 23
第二章 导数与微分
教学目的：1、使学生准确掌握导数与微分的概念，明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分；
2、熟练掌握导数基本公式及求导法则，会求初等函数的导数；
3、掌握隐函数、幂指函数、参数式函数的求导方法；
4、会求简单函数的二阶导数；
5、理解微分的概念及微分与导数的关系，会求初等函数的微分；
6、了解微分在近似计算中的应用，会进行有关的近似计算。
教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函数的导数，微分的概念及用一阶微分形式不变性求微分。
教学时数：16学时
第9、10讲 §2.1导数的概念 （4学时）
教学目的：1. 使学生准确掌握导数的概念，左、右导数的概念，明确其物理、几何意义；
2. 使学生能够从定义出发求某些函数的导数；会求曲线的切线方程；
3. 知道某一点处的导数与导函数的联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系。
教学重点与难点：
重点：函数导数的概念与几何意义，导数的求法；
难点：导数的概念，用定义求函数导数的方法.
教学过程：
一、实例：
在许多实际问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
中，我们常需要知道随自变量的变化，函数变化的快慢。如：变速运动过程中物体在某一时刻的速度—瞬时速度、通过导线中的电流、化学反应的速度、生物的繁殖率、质线的线密度等，这些问题归结为数学问题即是求函数的变化率——导数。导数是高等数学中的一个很重要的概念，也是一种很重要的运算。
1、变速直线运动的瞬时速度
例1、已知作自由落体运动的物体的位移与其时间的函数关系是，求该物体在时刻的瞬时速度．
对于匀速运动来说，速度，而自由落体是变速运动，不能用这一公式。我们可以用以下的思路求解这一问题：虽然整体来说速度是变的，但很短的时间间隔可以近似地看作是不变的，也就是说可以近似地看作是匀速的，于是可以用上面公式来求该时间段内的速度，即平均速度，然后利用极限方法求得物体在时刻的瞬时速度．
（1）、首先从物体的平均速度入手：
设物体移动时间从时刻变化到时刻， 在这个时间段物体的位移为：
物体在这个时间段内的平均速度为
（2）、然后以极限为手段得到瞬时速度：
易见愈小，时间内的平均速度的值就愈接近时刻的速度；因此，当时，的极限自然定义为物体在时刻的瞬时速度，即定义
由此可见，物体在时刻的瞬时速度是函数的增量与自变量增量比值，当时的极限。
2、曲线的切线问题
切线的概念在中学已学过。从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。准确地说，曲线在其上某点的切线是割线当点沿该曲线无限地接近于点的极限位置。
例2、设坐标平面内的光滑曲线的方程为：，为曲线上一点，求上过点的切线的斜率。
（1）、在点的附近另取一点
作割线，其斜率为：
（2）、（以极限为手段）当点沿曲线
无限接近点（）时，其极限位置即是切线；割线的斜率的极限便是切线的斜率；而时则有：，从而有：
其中为切线的倾斜角，为割线的倾斜角。
二、导数的概念
以上两个问题的实际意义不同，但解决问题的思想方法、数量关系的
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示形式却是相同的，都可归结为求函数的增量与自变量的增量的比值当自变量增量时的极限。撇开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性，便得出了函数导数的概念。
1、 函数在点处导数
定义：设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在处有一增量（仍在该邻域中）时，函数相应地有增量；若极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即
.
也可记为：, 或 ．
若极限不存在，则称函数在点处不可导。
注：（1）导数定义的常见形式有：；
；
.
（2）反映的是曲线在上的平均变化率，而是曲线在点的变化率，它反映了函数随而变化的快慢程度。
（3）这里与中的与是一个整体记号，而不能视为分子或与分母，待到后面再讨论。
（4）若极限即不存在，就称在点不可导。特别地，若，也可称在的导数为，因为此时在点的切线存在，它是垂直于轴的直线.
例1、设函数，求.
例2、设函数在点处可导，求：.
解：
即：.可作为公式使用。
例3、已知函数在点处可导，求：.
2、函数的导数
定义：若函数在开区间内的每一点处都可导，则称在开区间内可导，函数在区间内的任一点处导数记作，即：
或
这时对于任一,都对应着的一个确定的导数值,当取遍内的一切值时,就构成了一个新的函数,这个函数叫做原来函数的导函数,简称导数.记为：,,或.
注：（5）上两式中，为内的某一点，一旦选定，在极限过程中就为不变，而与是变量，但在导函数中，是变量。
（6）在的导数就是导函数在点的函数值，即，不要认为是；
（7）为方便起见，导函数就称为导数，而是在点的导数.
3、单侧导数
类似的可定义在点处的左、右导数.
定义：左导数：
；
右导数：
.
定理：函数在点处可导在点处的左、右导数存在且相等，即：存在,且.
例4、已知，试求：、.
三、导数的基本公式
根据导数的定义可求一些较为简单的函数的导数。
1、常数的导数：求函数（为常数）的导数。
解：在中，不论取何值，起其函数值总为，所以，对应于自变量的增量，有 ，即。
注：这里是指在任一点的导数均为0，即导函数为0。
2、幂函数的导数：求（为正整数）在点的导数。
解：
即，亦即，若将视为任一点，并用代换，即得
.
更一般地，（为常数）的导数为，由此可见，
，, .
3、三角函数的导数：求在点的导数。
解： ,即
同理：若视为任意值，并用代换，使得，即。
同理可证：.
4、指数函数的导数：求的导数。
解：
所以.
特别地，.
5、对数函数的导数：求的导数。
解：
.
特别地： .
注: (1)等以后讲到反函数求导时，可将作为的反函数来求导；
(2)求导数有四步：①给出；②算出；③求增量比；④求极限。
四、导数的几何意义
由前面的讨论知：函数在的导数就是该曲线在点处的切线斜率，即，或为切线的倾角。从而，得切线方程为。若，或 切线方程为：。
过切点，且与点切线垂直的直线称为在点的法线。如果，法线的斜率为，此时，法线的方程为：
.
如果=0，法线方程为.
例10、求在点处的切线方程和法线方程。
例11、曲线在哪一点处的切线：（1）与直线平行？
（2）与轴平行？
思考题：1、在点处可导，相应的曲线一定有切线吗？
2、在点处不可导，相应的曲线一定没有切线吗？如、 在处.
五、函数的可导性与连续性之间的关系
1、如果函数在点可导，那么在该点必连续。
设函数在点可导，即存在，由极限与无穷小量的关系知 ： ，其中是时的无穷小量.
上式两端同乘以，得 ．
由此可见，当时，． 即函数在点连续．
2、函数在点连续，但在该点未必可导。
图1 图2
例如，函数在点处连续，但在点处不可导（图1）． 同样，函数在点处连续，但在点处不可导（图2）.
由上面的讨论可知：函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件，所以如果函数在某点不连续，则函数在该点必不可导。
例13、已知，当、为何值时，在处可导。
例14、已知，确定 、的值，使在处连续且可导。
第11讲 §2.2函数的和、差、积商的求导法则 （2学时）
教学目的：1.使学生熟练掌握函数的和、差、积、商的求导法则；
2使学生熟练利用这些公式和基本初等函数的求导公式进行求导。
教学重点：函数的和、差、积、商的求导法则与运用。
教学过程：
复习导数的定义。
一、函数的和、差求导法则
法则 1：两个可导函数和（差）的导数对于这两个函数的导数的和（差）.
即若函数和在点都可导，则在点也可导，且
证明：
==
所以
注：（1）本定理可推广到有限个可导函数上去；
（2）本定理的结论也常简记为.
例1、求下列函数的导数：（1） ；
（2） ；（注意式中的常数）
（3）.
例2、求曲线在点处的切线方程和法线方程。
二、函数乘积的求导法则
法则2：两个可导函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
即若和在点可导，则在点也可导，且有
证明：
=
=
=
即 。
注：（1）本定理的结论也常简记为；
（2）若取为常数，则有：；
（3）本定理可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如：
等。
例3、设，求.
三、函数商的求导法则
法则3：两个可导函数之商的导数，等于分子的导数与分母的乘积减去分母的导数与分子的乘积，再除以分母的平方。
即若都在点可导，且，则在点也可导，且 .
注：（1）本公式简化为；
（2）特别地：.
例4、求下列函数的导数：
（1）； （2）；
（3） （4）
熟记：
小结： 函数的四则运算的求导法则：
设可导，则
(i) (ii)
(iii) (iv)
第12、13讲
§2.3 复合函数求导法则 §2.4初等函数的求导法（4学时）
教学目的：1.使学生熟练掌握复合函数的求导法则、反函数的求导法则；
2使学生熟练利用法则和基本初等函数的求导公式求初等函数的导数。
教学重点：复合函数的求导法则与运用，基本初等函数的求导公式。
教学过程：
复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导？2.可导时，导数如何求？复合函数的求导法则解决了这一问题。
一、复合函数求导法则
定理：设是由复合而成，若在处可导，而在对应点处可导，则复合函数在处也可导，且
或
注意：（1）式中表示对的导数，表示对之间变量的导数，而表示中间变量对的导数；
（2）此求导法则成为复合函数的链式法则，并可推广到有多个函数构成的复合函数的情形；如：，则：
， 或；
（3）与不同，前者是对变量求导，后者是对变量求导，注意区别。
（4）注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。
（5）正确运用此法则的关键在于弄清复合函数的函数过程，把复合函数分解成基本初等函数，或基本初等函数的四则运算.
例1、求的导数。
解：可看成与复合而成，
，，
所以.
例2、求（为常数）的导数。
解：是，复合而成的。
所以
.
这就验证了前面§2、1的例6.
由此可见，初等函数的求导数必须熟练掌握：(i)基本初等函数的求导公式；(ii)复合函数的复合过程；(iii)复合函数的求导法则。只有这样才能做到准确无误。在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必写出中间变量，而直接求导。
例3、，求.
解：
.
熟记这一结论。
例4、求的导数.
解：
例5、，求.
解：
=
=
例6、求下列函数的导数：（1） （2）
例7、证明：（1）； （2）.
例8、设可导，求：（1）；（2）；（3）.
二、初等函数的导数
1、反函数的导数
定理：若单调、连续，在y处可导.且则它的反函数在对应点处可导，且： 或 .
注：（1）和的“′”均表示求导，但意义不同；
（2）定理即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数；
（3）注意区别反函数的导数与商的导数公式。
例9、求的导数，
解：由于，是的反函数，由定理1得：
注：（1）同理可证：
；
（2）.
例10、求的导数。
解：利用指数函数的导数，自己做。
例11、求下列函数的导数：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
2、初等函数的导数和基本求导公式（教材）.
四、分段函数的导数（教材）
对分段函数求导时，在分段点处必须用导数定义来求导，而在每段内可用初等函数求导法则来求导。
例12、求 的导数。
解：当时，
；
在处，.
所以 .
小结： 复合函数的求导法则：
设的导数为： 或
或
第14讲 §2.5隐函数与参数方程所确定的函数的求导法
§2.6高阶导数 （2学时）
教学目的：1.通过例题使学生熟练掌握隐函数的求导法和参数方程所确定的函数的求导法；
2使学生熟练利用法则求导数。
教学重点：隐函数和参数方程所确定的函数的求导法。
教学过程：
一、隐函数的求导法
1、 隐函数的概念：
以前，我们所接触的函数，其因变量大多是由其自变量的某个算式来表示的比如：
等等，象这样一类的函数称为显函数。
但在实际问题中，有些函数并不是显函数的形式，而是由一个二元方程所确定的函数，如：；；等，这样的函数称为隐函数。
2、隐函数的求导方法
可由方程得到表达式称为隐函数的显化；有的隐函数可以显化，有的则不能显化。实际问题中，有时需要计算隐函数的导数。对于可以显化的隐函数，显化后可根据初等函数的求导法进行求导；若隐函数不能显化，我们就直接从方程中求出隐函数的导数。下面给出隐函数的一般求导方法。
例1、求由方程所确定的隐函数的导数。
解：在方程的两边同时对求导，得
。
例2、求由方程所确定的隐函数的导数；
例3、求由方程所确定的隐函数y在x=0处的导数；
例4、求由方程确定的曲线在点(0,0)处的切线方程；
二、幂指函数求导法
设，其中均是关于的可导函数。这个函数既不是幂函数，也不是指数函数，称为幂指函数，不能错误地用幂函数或指数函数的求导公式来求导。
方法1、化为隐函数，根据隐函数的求导法则求导
方程两边同取对数：， 两边同对求导：
从中解出： .
方法2、化为指数函数，根据复合函数的求导法则求导
将函数化为：，
两边同对求导： .
上述两种求导方法称为对数求导法。
例5、（1）； （2）； （3）.
例6、.
三、参数式函数的求导
由参数方程所确定的函数称为参数式函数。
设参数方程，其中均是关于的可导函数，且，存在可导的反函数；于是
.，
又 ，.
例7、，求；
例8、，求；
例9、求曲线在处的切线方程.
四、高阶导数
若的导函数仍为的可导函数，当然可以继续求导数.称的导数为的二阶导函数，记为，或、..
类似的我们可以定义三阶、四阶、……、阶导数，记为…….
=，…….
，….
例10、求（）的各阶导数。
例11、求（1）；（2）的各阶导数；
例12 已知，求；
例13、，求；
例14、已知（为常数）；求；
例15 （1）设，求； （2）已知，求.
第15讲 §2.7 函数的微分 （2学时）
教学目的：1、使学生理解微分概念，明确函数可微与可导之间的关系；
2、熟练掌握微分的运算，理解一阶微分形式的不变性，会用一阶微分形式的不变形求复合函数的微分；；
3、会用微分进行近似计算。
教学重点：隐函数和参数方程所确定的函数的求导法。
教学过程：
一、微分的概念
1、实例：一个正方形的边长由变到，面积改变了多少？
解：设正方形的面积为，则其面积改变了：
由上式以及右图不难看出，其面积的增量是由两部分所组成：（1），这是一个关于的一次函数，当很小时，它是的线性主要部分，称为的线性主部；（2），当很小时，它是一个较的高阶无穷小，对的影响很小，可忽略不计。
因此，当很小时，则有：.
2、微分的概念
定义：设函数在的某邻域内有定义，及时该邻域内的点，若，其中是不依赖于的常数，是比高阶的无穷小，则称在点可微，称为在点的微分，记作：.
注意：由定义不难看出，的微分实际上是其增量的线性主部。
3、函数可微的条件
设函数在点可微，依定义则有：
其中是关于的高阶无穷小。
从而
于是 （）
由此可知，函数在点可导，且.
反之，设函数在点可导，则有：
由极限与无穷小间的关系可得，（是关于的高阶无穷小），从而
由于不依赖于，，所以： 函数在点可微。
定理：函数在点可微函数在点可导。
由以上讨论可得：，当很小时，.
令 ，则：，，
注意：在导数中，是将看作一个整体，而在微分中，可将看作是与得商，因此，又将导数称作微商。
例1、已知，求时的增量和微分。
二、微分的运算
1、利用微分与导数之间的关系和导数基本公式可以得出微分基本公式.
2、微分法则：
1、； 2、；
3、； 4、.
3、一阶微分形式不变性： 设
若是自变量，则；
若是中间变量，则；
因此，不论是自变量还是中间变量都有
例1、，求.
解法一：
则
解法二：
.
例2、已知，求、.
解法一：，从而，.
解法二：=，
所以 ；.
例3、求由方程所确定的函数的微分.
方法一、（复合函数的求导法则、导数与微分的关系）
方法二、（一阶微分形式不变性）
例4、在括号中填入适当的函数，是等式成立。
（1）； （2）；
（3）； （4）.
四、近似计算
实际中经常会遇到一些函数表达式较复杂的运算，但是结果又并非要求十分精确,在这种情况下，可考虑使用微分来做近似的计算。
设函数在点可导且，当很小时，有
或
所以有近似公式：.
若令，上式可写成： .
例5、（注：需将角度化成弧度）；
例6、；
利用，很小，可证得以下的几个公式：
（1）；；
（2），； （3）.
第16讲 本 章 小 结 （2学时）
一、主要内容
1、导数的概念（导数的定义、左右导数及可导的充要条件、导数的几何意义、可导与连续的关系）；
2、初等函数的求导法（导数基本公式、求导法则、复合函数与反函数的求导法则）；
3、三种特殊函数的求导法；
4、高阶导数；
5、微分及其应用（微分的概念、可导与微分的关系、微分基本公式与微分法则、一阶微分形式的不变形、微分在近似计算中的应用）。
二、学习基本要求
1、理解导数的有关概念和几何意义，掌握可导的充要条件，了解可导与连续的关系；
2、熟练掌握导数基本公式及求导法则，会求初等函数的导数；
3、掌握隐函数、幂指函数、参数式函数的求导方法，会求相关函数的导数；
4、会求函数的二阶导数；
5、理解微分的概念及微分与导数的关系，会求初等函数的微分，会用一阶微分形式的不变形求复合函数的微分；
6、了解微分在近似计算中的应用，会进行有关的近似计算。
三、学习的重点和难点
重点：1、导数、微分的有关概念；2、初等函数的微分法；
难点：微分的概念与复合函数的微分法。
四、学习指导
1、导数的概念及其应用
例1、已知，求.
例2、已知在点处可导，且，求.
例3、已知函数在处可导，求、的值。
例4、求曲线在处的切线方程和法线方程。
2、初等函数的微分法
例5、已知，求.
例6、设，求、.
例7、求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）.
例8、已知，求.
例9、设可微，求的微分.
方法一、（导数与微分的关系）
方法二、（一阶微分形式的不变形）
例10、设，求.
例11、求曲线在点处的切线方程.
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