高考试题中关于三角函数的几种解题技巧

高考 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 中关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积 累了一些解题方面的处理技巧以及 心得 信息技术培训心得 下载关于七一讲话心得体会关于国企改革心得体会关于使用希沃白板的心得体会国培计划培训心得体会 、体会。下面尝试进行探讨一下： sin,,cos,与sin,cos,(或sin2,) 222(sin,,cos,),sin,，cos,,2sin,cos,,1,2sin,cos,1、由于故知道 ，必可推出sin,cos,(或sin2,)，例如： (sin,,cos,) 333sin,,cos,,,求sin,,cos,例1 已知。 3 3322sin,,cos,,(sin,,cos,)(sin,，sin,cos,，cos,)分析：由于 2,(sin,,cos,)[(sin,,cos,)，3sin,cos,] 其中，已知，只要求出即可，此题是典型的知sin,,cos,sin,cos, sin-cos，求sincos的题型。 ,,,, 2(sin,,cos,),1,2sin,cos, 解：? 31121,2sin,cos,,(),,sin,cos,, 故： 333 332sin,,cos,,(sin,,cos,)[(sin,,cos,)，3sin,cos,] 3313142,[()，3，],，,3 333339 2、关于tg+ctg与sin?cos，sincos的关系应用： ,,,,,, 22sin,cos,sin,cos,1，，,,由于tg+ctg= ,,cos,sin,sin,cos,sin,cos, 故：tg+ctg，，sincos三者中知其一可推出其余式子的,,sin,,cos,,, 值。 例2 若sin+cos=m，且tg+ctg=n，则m n的关系为（ ）。 ,,,,22 222222n,A．m=n B．m=，1 C．m, D． 2nnm 分析：观察sin+cos与sincos的关系： ,,,, 1 7 22,，,,m,(sincos)11, sincos= ,,22 1而： tg,，ctg,,,nsin,cos, 2m,1122,,m,，1故：，选B。 2nn ,,,例3 已知：tg+ctg=4，则sin2的值为（ ）。 1111 A． B． C． D． ,,2244 11,,分析：tg+ctg= ,4,sin,cos,,sin,cos,4 1 故：。 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 选A。 sin2,,2sin,cos,,sin2,,2 44,,例4 已知：tg+ctg=2，求sin,，cos, 44,,分析：由上面例子已知，只要sin,，cos,能化出含sin?cos或 ,,,,sincos的式子，则即可根据已知tg+ctg进行计算。由于 1,,tg+ctg= ,2,sin,cos, 144,,，此题只要将sin,，cos,化成含sincos的式子即可： sin,cos,,2 22224444,,,,sin,，cos,sin,，cos,解：=+2 sincos-2 sincos 2222,,,, =（sin+cos）- 2 sincos 2,, =1-2 (sincos) 12 =1- 2，()2 1 =1, 2 1 = 2 ,, 通过以上例子，可以得出以下结论：由于，sincos及sin,,cos, ,,tg+ctg三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此 ,,三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的；如果通过已知sincos，求含的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于sin,,cos,2,,（）=1?2sincos，要进行开方运算才能求出 sin,,cos,sin,,cos, 在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需 ,,,,把含tg（或ctg）与含sin（或cos）的式子的互化中，本文把这种添 2 7 配分母的方法叫做“托底”法。方法如下： sin,,3cos,,例5 已知：tg=3，求的值。 2sin,，cos, sin,,分析：由于，带有分母cos，因此，可把原式分子、分母各项tg,,cos, ,,,除以cos，“造出”tg，即托出底：cos； ,,解：由于tg=3 ,,,k,，,cos,,02 sin,cos,,3,tg,,33,3,,coscos 故，原式= ,,,0sincos,,tg,2，12，3，12,，cos,cos, 2,,,,例6 已知：ctg= -3，求sincos-cos=? cos,,cos分析：由于，故必将式子化成含有的形式，而此题与例4ctg,,sin,sin, 有所不同，式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式： 22,sin,，cos,,1及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin，造 ,出ctg： 2,,,sincos,cos222,,,,,解： sin，cos,1,sincos,cos,22sin,，cos, cos,cos,2,()2ctg,,ctg,2sin,sin, 分子,分母同除以sin,,2cos,21，ctg,1，()sin, 2,，,3(3)6 ,,,251，(,3) 例7 （95年全国成人高考理、工科数学试卷） ,,,,设0,x,,0,y,，且sinxsiny,sin(,x)sin(,y) 2236 3(ctgx,)(ctgy,3)求：的值 3 分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托 ,,sinx,0,siny,0底法”，由于0,x,,0,y,，故，在等式两边同除以22 sinxsinysinxsiny，托出分母为底，得： sinxsiny解：由已知等式两边同除以得： 3 7 ,,,,,,sin(,x)sin(,y)sincos,cossinxsincosy,cossiny363366,1,,,1 sinxsinysinxsiny 13cosx,sinxcosy,3siny,,,,14sinxsiny 1,(3ctgx,1)(ctgy,3),14 33,(ctgx,)(ctgy,3),143 34,(ctgx,)(ctgy,3),333 “托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互 sin,cos,化的计算。由于，，即正切、余切与正弦、余弦间是比tg,,ctg,,cos,sin, 值关系，故它们间的互化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母 的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。而添加分母的方 2222法主要有两种：一种利用sin,，cos,,1，把sin,，cos,作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产 生分母。 acosx,bsinx 可以从公式sinAcosx,cosAsinx,sin(A,x)中得到启示：式子 与上述公式有点相似，如果把a，b部分变成含sinA，cosA的式acosx,bsinx 子，则形如的式子都可以变成含sin(A,x)的式子，由于-1?acosx,bsinx sin(A,x)?1， 所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a当成sinA，b当成cosA，如式子：中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：3cosx，4sinx -1?sinA?1，-1?cosA?1，可以如下处理式子： ,,ab22,,acosx,bsinx,a，bcosx,sinx ,,2222a，ba，b,, ab22()，(),1由于。 2222a，ba，b absinA,cosA,,cosA,,1,sinA故可设：，则，即： 2222a，ba，b 4 7 2222? acosx,bsinx,a，b(sinAcosx,cosAsinx),a，bsin(A,x) 无论取何值，-1?sin(A?x)?1， A,x 222222?? a，bsin(A,x),a，ba，b2222即：?? acosx,bsinx,a，ba，b 下面观察此式在解决实际极值问题时的应用： 例1（98年全国成人高考数学考试卷） 2y,3cosx,sinxcosx求：函数的最大值为（ ） 333,13，1 A． B． C． D． 1，1,22 112分析：，再想办法把变成含的sinxcos,,2sinxcosx,sin2xcosxcso2x22 x，cos2122式子： cos2x,2cosx,1,cosx,2 cos2x，11于是： y,3,,sin2x22 331,cos2x，,sin2x 222 313 ,(cos2x,sin2x)，222 31312222由于这里： a,,b,,则a，b,()，(),12222313y,1，(cos2x,sin2x)，? 222 3 a312设： A,,,则A,sin,cos22122a，b 3y,sinAcos2x,cosAsin2x，? 2 3,sin(A,2x)， 2 5 7 33无论A-2x取何值，都有-1?sin(A-2x)?1，故?? y,1，1，22 3?的最大值为，即答案选A。 y1，2 例2 （96年全国成人高考理工科数学试卷） 在?ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=3，分别在边AB、BC、CA上任取点D、E、F，使?DEF为正三角形，记?FEC=?α，问：sinα取何值时，?EFD的边长最短？并求此最短边长。 22222BC，CA,1，(3),4,AB分析：首先，由于，可知?ABC为Rt?， BC1其中AB为斜边，所对角?C为直角，又由于，则?B= sinA,,,故A,30:AB2 90?—?A=60?，由于本题要计算?DEF的最短边长，故必要设正?DEF的边长为，且要列出有关为未知数的方程，对进行求解。观察?BDE，已知：?B=60?，lll DE=，再想办法找出另两个量，即可根据正弦定理列出等式，从而产生关于的ll方程。在图中，由于EC=?cosα，则BE=BC-EC=1-?cosα。 ll 而?B+?BDE+?1=180? ?α+?DEF+?1=180? ?BDE=?α , ?B=60?，?DEF=60? ?在?BDE中，根据正弦定理： BFDE1,l,cos,l ,,,sin，BDEsin，Bsin,sin60: 333,(1,l,cos,),l,sin,,,l,cos,,l,sin, 222 3 2 ,l,3cos,，sin,2 3cos,，sin,在这里，要使有最小值，必须分母：有最大值，观察：l2 33372222 ,，,a,b,,a，b,，,cossin,,1()12222 372127cos,，sin,,(cos,，sin,)? 2277 6 7 2127设：，则 sinA,cosA,77 37cos,，sin,,(sinAcos,，cosAsin,)故： 22 7,sin(A，,) 2 37cos,，sin,?的最大值为。 22 3 212即：的最小值为： l,77 2 ,,而sin(A，,)取最大值为1时， A，,,2k,，,,,2k,，,A22 27,sin,sin(2k，,A),cosA,,,? 27 2721,即：时，?DEF的边长最短，最短边长为。 sin,77 从以上例子可知，形如适合于计算三角形函数的极值问题。acosx,bsinx 22计算极值时与式子的加、减是无关，与的最值有关；其中最大值为a，b2222，最小值为。在计算三角函数的极值应用题时，只要找出形a，b,a，b 如的关系式，即能根据题意，求出相关的极值。 acosx,bsinx 以上三点是在三角函数教学中的一些心得，通过以上方法，使学生能开阔视 野，拓展思路，对帮助学生以清晰思路应对，解决上述类型题有一定的作用，因 此，对其进行了上述的浅论和总结。 7 7