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高考总复习基本不等式重要不等式均值定理习题及详解
一、选择题
1．(2010·山东东营质检)在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )
A．y＝x＋
B．y＝cosx＋
C．y＝
D．y＝ex＋
－2
[答案] D
[解析] x<0时，y＝x＋
≤－2，故A错；∵0
0，y>0，且
＋
＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4
C．－20，y>0，且
＋
＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)(
＋
)＝4＋
＋
≥4＋2
＝8，当且仅当
＝
，即x＝2y时取等号，又
＋
＝1，∴x＝4，y＝2，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m，即8>m2＋2m，解得－40，a7＝a6＋2a5，设{an}的公比为q，则a6q＝a6＋
，∴q2－q－2＝0，∵q>0，∴q＝2，
∵
＝4a1，∴a12·qm＋n－2＝16a12，∴m＋n－2＝4，
∴m＋n＝6，
∴
＋
＝
(m＋n)
＝
≥
＝
，等号在
＝
，即n＝2m＝4时成立．
3．(2010·茂名市模考)“a＝
”是“对任意的正数x，均有x＋
≥1”的( )
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
[答案] A
[解析] ∵a＝
，x>0时，x＋
≥2
＝1，等号在x＝
时成立，又a＝4时，x＋
＝x＋
≥2
＝4也满足x＋
≥1，故选A.
4．(2010·广西柳州市模考)设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件
[答案] A
[解析] a，b中有一个不是正数时，若a＋b＝1，显然有4ab≤1成立，a，b都是正数时，由1＝a＋b≥2
得4ab≤1成立，故a＋b＝1?4ab≤1，但当4ab≤1成立时，未必有a＋b＝1，如a＝－5，b＝1满足4ab≤1，但－5＋1≠1，故选A.
5．若a>0，b>0，a，b的等差中项是
，且α＝a＋
，β＝b＋
，则α＋β的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[答案] D
[解析] ∵
为a、b的等差中项，∴a＋b＝
×2＝1.
a＋
＋b＋
?1＋
＋
＝1＋
＝1＋
，
∵
≤
，∴ab≤
＝
.∴原式≥1＋4.
∴α＋β的最小值为5.故选D.
6．(文)若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则
＋
的最小值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] D
[解析] 圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∵弦长为4，故为直径，即直线过圆心(－1,2)，∴a＋b＝1.
∴
＋
＝
(a＋b)＝2＋
＋
≥4.
当且仅当a＝b＝
时取等号．
(理)半径为4的球面上有A、B、C、D四点，AB，AC，AD两两互相垂直，则△ABC、△ACD、△ADB面积之和S△ABC＋S△ACD＋S△ADB的最大值为( )
A．8 B．16 C．32 D．64
[答案] C
[解析] 根据题意可知，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则可知AB，AC，AD为球的内接长方体的一个角．故a2＋b2＋c2＝64，而S△ABC＋S△ACD＋S△ADB＝
(ab＋ac＋bc)≤
＝
＝32.
等号在a＝b＝c＝
时成立．
7．(文)已知c是椭圆
＋
＝1(a>b>0)的半焦距，则
的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(
，＋∞) C．(1，
) D．(1，
]
[答案] D
[解析] 由题设条件知，a1，
∵a2＝b2＋c2，∴
＝
≤
＝2，∴
≤
.故选D.
(理)已知F1、F2分别为双曲线
－
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若
的值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,2] C．(1，
] D．(1,3]
[答案] D
[解析]
＝
＝
＋|PF2|＋4a≥4a＋4a＝8a，当且仅当
＝|PF2|，即|PF2|＝2a时取等号．这时|PF1|＝4a.由|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|得6a≥2c，即e＝
≤3，∴e∈(1,3]．
8．(2010·南昌市模拟)已知a，b∈R＋，a＋b＝1，M＝2a＋2b，则M的整数部分是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] B
[解析] ∵a，b∈R＋，a＋b＝1，∴0b>0，则集合M等于( )
A．E∩F B．E∪F
C．E∩(?RF) D．(?RE)∩F
[答案] C
[解析] ∵a>b>0，
∴a＝
>
>
>
＝b，
如图可见集合M在E中，不在F中，故M＝E∩?RF.
10．(文)(2010·衡水市模考)已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若
＝λ
(λ>0)，
＝μ
(μ>0)，则
＋
的最小值是( )
A．9 B.
C．5 D.
[答案] D
[解析]
＝
－
＝
(
＋
)－
＝
(λ
＋μ
)－
＝
＋
，
＝
－
.
∵
与
共线，且
与
不共线，∴
＝
，
∴λ＋μ＝2，∴
＋
＝
(λ＋μ)
＝
≥
，等号在μ＝
，λ＝
时成立．
(理)(2010·广东省高考调研)如图在等腰直角△ABC中，点P是斜边BC的中点，过点P的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若
＝m
，
＝n
，则mn的最大值为( )
A.
B．1 C．2 D．3
[答案] B
[解析] 以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC的腰长为2，则P点坐标为(1,1)，B(0,2)、C(2,0)，∵
＝m
，
＝n
，
∴
＝
，
＝
，∴M
、N
，
∴直线MN的方程为
＋
＝1，
∵直线MN过点P(1,1)，∴
＋
＝1，∴m＋n＝2，
∵m＋n≥2
，∴mn≤
＝1，当且仅当m＝n＝1时取等号，∴mn的最大值为1.
二、填空题
11．(2010·山东聊城、山东邹平一中模考)已知b>0，直线b2x＋y＋1＝0与ax－(b2＋4)y＋2＝0互相垂直，则ab的最小值为________．
[答案] 4
[解析] ∵两直线垂直，∴ab2－(b2＋4)＝0，∴a＝
，∵b>0，∴ab＝
＝b＋
≥4，等号在b＝
，即b＝2时成立．
12．(文)(2010·重庆文，12)已知t>0，则函数y＝
的最小值为________．
[答案] －2
[解析] y＝
＝t＋
－4因为t>0，y＝t＋
－4≥2
－4＝－2.
等号在t＝
，即t＝1时成立．
(理)(2010·安徽合肥六中质检)已知三个函数y＝2x，y＝x2，y＝
的图象都过点A，且点A在直线
＋
＝1(m>0，n>0)上，则log2m＋log2n的最小值为________．
[答案] 4
[解析] 由题易得，点A的坐标为(2,4)，因为点A在直线
＋
＝1(m>0，n>0)上，所以1＝
＋
≥2
，∴mn≥16，所以log2m＋log2n＝log2(mn)≥4，故log2m＋log2n的最小值为4.
13．(文)(2010·南充市)已知正数a，b，c满足：a＋2b＋c＝1则
＋
＋
的最小值为________．
[答案] 6＋4
[解析]
＋
＋
＝
＋
＋
＝
＋
＋
＋4≥2
＋2＋2
＋4＝6＋4
，
等号在
＝
，
＝
，
＝
同时成立时成立．
即a＝c＝
b＝1－
时等号成立．
(理)(2010·北京延庆县)已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则xy的最大值是________．
[答案]
[解析] ∵lg2x＋lg8y＝lg2，∴2x·8y＝2，即2x＋3y＝2，∴x＋3y＝1，∴xy＝
x·(3y)≤
·
2＝
，等号在x＝3y，即x＝
，y＝
时成立．
14．(文)(2010·重庆一中)设M是△ABC内一点，且
·
＝2
，∠BAC＝30°，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积．若f(M)＝
，则
＋
的最小值是________．
[答案] 18
[解析] ∵
·
＝|
|·|
|cos30°
＝
|AB|·|AC|＝2
，∴|AB|·|AC|＝4，
由f(M)的定义知，S△ABC＝
＋x＋y，
又S△ABC＝
|AB|·|AC|·sin30°＝1，
∴x＋y＝
(x>0，y>0)
∴
＋
＝2(x＋y)
＝2
≥2(5＋2
)＝18，等号在
＝
，即y＝2x＝
时成立，∴
min＝18.
(理)(2010·江苏无锡市调研)设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A，B，则AB的最小值为______．
[答案] 2
[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为
＋
＝1，则
＝1，
∴a2b2＝a2＋b2≥2ab，切线与两轴交于点A(a,0)和(0，b)，不妨设a>0，b>0，∴ab≥2，则AB＝|AB|＝
≥
≥2.
三、解答题
15．已知α、β都是锐角，且sinβ＝sinαcos(α＋β)．
(1)当α＋β＝
，求tanβ的值；
(2)当tanβ取最大值时，求tan(α＋β)的值．
[解析] (1)∵由条件知，sinβ＝
sin
，
整理得
sinβ－
cosβ＝0，
∵β为锐角，∴tanβ＝
.
(2)由已知得sinβ＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ，
∴tanβ＝sinαcosα－sin2αtanβ，
∴tanβ＝
＝
＝
＝
≤
＝
.
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