正弦交流电有效值的证明
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正弦交流电有效值的证明
证法一:假设有两个交变电压其最大值与周期均相同,瞬时值
表
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达式分别为u=Msinωt、u=Ucosωt,其中,ω=2π/T,把它们分别加在两个阻值相同的电1m2m
阻上,设电阻的阻值为R,由于电流的热效应与电流的方向及先后作用的时间顺序无关,故在一个周期内两个交流电产生的热量相等,设都为Q,产生的总热量Q=2Q。在任一时刻t,这两个电阻上的热功率分别为总
2u22 Utsin,,,um1U, ,,Pm 1RR
O O 2t t 2T t T Utcos,,,um2. ,,P2-U-Um m RR
两个电阻上总的发热功率为
2222Uttsincos,,,,,Umm。可见两个电阻上总的发热功率是一个定PPP,,,,12RR
2Um值,与时刻t无关,所以在一个周期内两个电阻上总的发热量为QPTT,,. R用一个恒定电压为U的电源,分别给两个相同的电阻R供电,在相同时间T内,
22UUT2T每个电阻产生的热量是Q=,两个电阻产生的总热量为Q=.由热效应RR
22UUUmm2的等效可知TT,。可得。而这个恒定电流的电压U就是正弦交U,RR2
变电流的电压的有效值。电流、电动势有效值可同法证得。
证法二:设流过定值电阻R的电流按正弦规律变化,即i=Isinωt,交流电的瞬时m
1cos2,,t2222sint,功率为p=iR=IRsinωt. 因为 代入得 ,m2
1122pIRIRt,,,,cos2。 mm22
上式中,后一项在一个周期内平均值为零,因此在一个周期内交流电平均功率为:
12PIR,(为最大瞬时功率的一半) m2
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2如果考虑一个恒定电流I与其等效,即P=IR,就有
1I22mP=,即,所以 IRIR,PI,m22
证法三:(积分法)设流过定值电阻R的电流按正弦规律变化,即i=Isinωt.因m
222为时刻t瞬时功率p=iR=IRsinωt,则一个周期内电阻R上产生的热量为m
TQ=. pdt,0
1cos2,,t11222因为 代入得 ,代入上式有: pIRIRt,,,,sint,cos2,mm222
TT1122QIRdtIRtdt,,,。 cos2mm,,0022
12由于第二项积分为零,所以Q= IRT。 m2
1222,,IRTIRT,如果有一个恒定电流I与其等效,即,就有,即 QQ,QIRT,m2
Im所以有 I,
2
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