几类特殊矩阵的满秩性

几类特殊矩阵的满秩性 几类特殊矩阵的满秩性 第23卷第5期 2005年10月 河南 HENAN 科学 SCIENCE V0【.23No.5 Oct.2005 文章编号:1004—3918{2005)05—0639—03 几类特殊矩阵的满秩性 黄宝贞,贾利新2 fI.郑州牧业工程高等专科学校,河南郑州450008;2.信息工程大学电子技术学院,河南郑州450004) 摘要:利用Sylvester方程具有行满秩或列满秩解的判定准则研究广义Loewner矩阵,Hankel矩阵和广义Cauchy 矩阵的行(列)满秩性. 关键词:广义Loewner矩阵;Hankel矩阵;广义Cauchy矩阵 中图分类号:0151.21文献标识码:A 特殊矩阵是矩阵理论的一个重要分支.三类特殊矩阵与插值问题密切相关,即广义Loewner矩阵, Hankel矩阵和广义Cauchy矩阵.[1]中,作者利用可观测与可控制的矩阵的性质,给出Sylvester方程可解 时它的一个解是行满秩或列满秩的判定准则.本文利用这一结果研究上述三类特殊矩阵的行(列)满秩性. 1广义Loewner矩阵 给定一组插值数据{(,Wik)fpu1i. 1 :0,,w礁?C,给插值点集一个劈分 Y={Y1,…,Y1,…,Y,…,Y},z:{1,…,:gl,…,, Zu,…,z} ,_———v———_,,_———V———_,,_———V———一———,,'———_, ?1,月uHlHv 满足若Yi=,=,则mi+nj=US.记m=?m,=?nj,m+=N.关于插值数据总存在次数 i=1,:1 不超过N一1的多项式?(),使得 ?'()=w,i=1,…,P,k=0,1,…,Ui一1 定义矩阵L=(L)1EC"(1) 其中L=(zkl.m. i ,:: - 1 0 ,?cmiXrl,每一元素由下式给出 称L为关于插值数据Y和的广义Loewner矩阵. 为方便,记 i=?='z{ (2) zI '(,'()= i=1,…,,J=1,…,v,k=0,1,…,mi一1,l=0,1,…,nj一1 并用Jk()表示对应于特征值为的足阶上约当块.易验证L满足Sylvester方程 A山一LA一B—C一,B+C+ 其中A=diag[',.()]:1,A=diag[J~(zj)];:1 B=col[col(Ci0,…,C.col[col(!::::19)- (,+=row[row(dj…,d.i,n j 1)=l'C一row[row(!):? 0 收稿日期:2005—05—09 基金项目:国家自然科学基金项目资助(19971009);数学天元基金项目资助 (1"Y10126009) 作者简介:黄宝贞(1966一),女,广西横县人,郑州牧业工程高等专科学校讲师. (3) == ,一 ( 一)?一 ,^一,一 —--—— 640—--——河南科学第23卷第5期 定理1设L由(1),(2)两式定义,则 (i)L行满秩当且仅当线性方程组 =B+,Ly=B一 可解; (ii)L列满秩当且仅当线性方程组 uL=C+,vL=C 可解. 特别地,当=时,(4)或(5)的可解性等价于L的非奇异性. 证明由[1]中推论1知,对于(i)只需证明(A},B)或(A},B+)可控制.事实上 [B+,A+,…,A一B+]= 其中是广义Vandermonde矩阵,定义如下 =row[Promi ()]-l'()=,0<<志一1,0<<z一1 是非奇异的,例如见文献[3],由[1]中引理1得(A,,B+)是可控制的矩阵对. 同样,对于(ii)只需证明(A,C一)或((A,C+))可观测.事实上 col[C—Ai…inI一 非奇异,因而(A,C)是可观测的矩阵对. 2Hankel矩阵 Hankel矩阵具有形式 H=(^) ,l1,…,h+一2?C 易验证H满足Sylvester方程 A一Hao=BCH_ 一 B 其中 A2-7-(0),A=J(0) BH_ = (^,…,h+一2,,.),c'H=(^,…,h+一2,r) B=(0,…,0,1),cH=(0,…,0,1) r为任意常数. 定理2H如(6)式定义,则 (i)H行满秩当且仅当线性方程组 Fix=B,My=BH_ 可解; (ii)H列满秩当且仅当线性方程组 uH:CH,=CH 可解. 特别地,当m=时,(7)或(8)的可解性等价于H的非奇异性. 3广义Cauchy矩阵 设y,z如前定义并假设M?z,Vi,J.定义矩阵 C=(Co)U一,V1?C,n" 其中C巧=(c)Z;n)-1?ClOtiXnj,c由下式给出 (4) (5) (6) (7) (8) 2005年10月几类特殊矩阵的满秩性?--——641?--—— 一 j一 是!万8*+l- A一1i!aA—l:,,, 称C为广义Cauchy矩阵.易验证C满足Sylvester方程 AsC,CA=B+C一 其中Ag,A,B+,C,同上. 定理3广义Cauchy矩阵C如上定义.则C是行满秩或列满秩的.特别地,当m=n 时,C是非奇异 的且 C一1= 其中己=(,~lk)n),-:1.,mj?cnjXm.,由下式给出 : ??=(口=R=fl00 l ? (. =acjlv~,Vi,k,,l )一p一 其中col[col(.,…,I~j,nj-1)l,row[姗(z…,.lI)]l是线性方程组CxB+,vC=C一的 参考文献: [1]黄宝贞,贾利新.关于Sy】rester方程的满秩解[J].河南科学,2005,23(1):10,11. [2]GantmacherFR.TheTheoryofMatrices,Vol2[M].Chelse,NewYork,1960. [3]GNthen,YJHu.InversionofgeneralizedLoewnermatrices,partialrealization,andmatrixrationalinterpolation[J].Linear AlgebraAppl,2001,22:74—80. [4]陈公宁.矩阵理论与应用[M].北京:高等教育出版社,1990. FullrankpropertiesofSeveralSpecialMatrices HUANGBao-zhen,JIALi.xin2 (1.ZhengzhouEngineeringCollegeofAnimalHusbandry,Zhengzhou450008,China; 2.InstituteofElectronicTechnology.thePLAInformationEngineeringUniversity,Zhengzhou450004,China) Abstract:UsingthecriteriaonafullrOWorcolumnranksolutionsofSylvesterequation,theauthorsdiscussthe fullrOWorcolumnrankpropertiesofgeneralizedLoewnermatriee,HankelmatriceandgeneralizedCauehy matnce Keywords:generalizedLoewnermatrice;Hankelmatrice;generalizedCauehymatrice " 【l '?l , , .) ,【