高三数学专题复习—圆锥曲线（椭圆）

高三数学专题复习—圆锥曲线（椭圆） 【知识网络】 1．掌握椭圆的定义、 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程和椭圆的简单几何性质． 2 了解椭圆简单应用． 3．进一步体会数形结合思想． 【典型例题】 [例1]（1）到两定点（2，1），（－2，－2）的距离之和为定值5的点的轨迹是 ( ) ．椭圆 Ｂ．双曲线 Ｃ．直线 Ｄ．线段 22xy（2）椭圆的离心率是（ ） ，,1916 4377A． B． C． D． 5543（3）已知椭圆的焦点为F（-1，0）和F（1，0），P是椭圆上的一点，且是 与FFPF21121的等差中项，则该椭圆的方程为（ ） PF2 22222222xyxyxyxy A．，,1，,1，,1，,1 B． C． D． 16916124334 22xy（4）椭圆的准线方程是 ． ，,137 22xy5,1（5）设椭圆，,1(a,b,0)的离心率为，F、A分别是它的左焦点和右顶222ab 点，B是它的短轴的一个端点，则?ABF等于 ． [例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： 2（１） 离心率为，准线方程为； x,,82 （２） 长轴与短轴之和为２０，焦距为45 22[例3] 已知Fxy、F分别为椭圆 + =1 的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为（2，1210064 |的最小值； 2－6），P为椭圆上的一个动点，试分别求： （2）|PM|＋|PF5|的取值范围． 2（1）|PM|＋|PF3 [例4] 已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过 ??椭圆中心O，且AC ?BC =0，|BC|=2|AC|. (1)求椭圆方程； (2)如果椭圆上两点P、Q，使?，PCQ的平分线垂直AO，是否总存在实数，使PQ ,?=λAB ？请给出说明． 【课内练习】 1．如果方程22x，my,2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数m的取值范围是（ ） A．（0，+,,） B．（0，2） C．（1，+） D．（0，1） 22xy2．若椭圆，,13过点（－2，），则其焦距为（ ） 216b A.25335 B.2 C. 4 D. 4 22xy3．设F是椭圆的一个焦点，椭圆上至少有21个点P，P，P，…，P，使得，,1123211115 数列{PF}(i=1,2,…,21)成公差为d的等差数列，则d的一个可取值是 （ ） i 1111A． B．－ C． D．－ 2345 22yx4．点a,,(25)，P(31),，在椭圆，,,,1(0)ab的左准线上，过点且方向为的光线P22ab 经直线y,,2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） 1132 B． C． D． 3232 5．一个中心在原点的椭圆，其一条准线的方程是x=4，对应的焦点F（2，0），则椭圆的方A．程是 ． 24x26．已知AB是过椭圆左焦点F的弦，且|AF|＋|BF|=4，其中F为椭圆的右焦，,y112229 点，则弦AB的长是 ． 2x27．已知?ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另，,y13 外一个焦点在BC边上，则?ABC的周长是 ． 22xy8．把椭圆的长轴AB分成8等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分，,12516 于P，P，…，P七个点，F是椭圆的一个焦点，求|PF|＋|PF|＋…＋|PF|的值． 127127 9．在直角坐标平面内，已知两点A（－3，0）及B（3，0），动点P到点A的距离为8，线段BP的垂直平分线交AP于点Q． （1）求点Q的轨迹T的方程； （2）若过点B且方向向量为（－1，3）的直线l，与（1）中的轨迹T相交于M、N两点， 试求?AMN的面积． 110．已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是F（－m,0）(m是大于0的常数). 2 (1)求椭圆的方程； (2)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，求直MQ2QFl 线的斜率． l 22xmy，,1m1．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ） y A 11A． B． C．2 D．4 42 2x22．设F、F为椭圆+y＝1的两焦点，P在椭圆上，当?FPF面积为1时， 的PF,PF1212124 值为 （ ） 1A．0 B．1 C．2 D． 2 22x5y3．已知椭圆 = 1 与直线y=－ x的一个交点P在x轴上的射影恰好是这个椭圆 + 269 m 的左焦点F，则m的值为（ ） 1 A． 5 B． －5 C．?5 D．?5 4．已知椭圆中心在原点，一个焦点是F（－23 ，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ． 221xy5．椭圆2e，，,1(a,b,0)a,3be且满足，若离心率为，则的最小值为 ． 222eab 22xy6．设F、F为椭圆+＝1的两个焦点，P在椭圆上，已知P，F，F是一个直角三角121294 ||PF1形的三个顶点，且|PF|＞|PF|，求的值． 12||PF2 7．以定点A(2,8)和动点B为焦点的椭圆经过点P（－4,0）、Q(2,0)． (1)求动点B的轨迹方程； (2)是否存在实数k，使直线y=kx+2与上述B点轨迹的交点Ｃ，Ｄ恰好关于直线l：y=2x 对称？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 22yx222 ，,1(a,b,0)x，y,b上一点P引圆O：的两条切线PA、PB，22ab 8．过椭圆C：切点为A、B，直线AB与x轴、y轴分别相交于M、N两点 （1）设P(x,y)xy,0，且，求直线AB的方程； 0000 22ab25（2）若椭圆C的短轴长为8，且，求此椭圆的方程； ，,2216OMON|||| ??（3）试问椭圆C上是否存在满足PA ?PB =0的点P，说明理由． B 22xy，1．椭圆＝１的焦点Ｆ和Ｆ，点P在椭圆上，如果线段PＦ的中点在y轴上，１２１123 那么｜ＰＦ｜?｜ＰＦ｜的值为（ ） １２ A．７?１ B．５?１ C．９?２ D．８?３ 2222．方程y＝ax＋b与y＝ax－b表示的曲线在同一坐标系中的位置可以是（ ） 3．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2 ，焦点到相应的准线的距离为1，则该椭圆的离心率是 （ ） A．2 B．212 C． D． 2244．已知椭圆的长轴的长是短轴的长的５倍，且经过点（１０，－５）则椭圆的标准方程 为 ． 2x2FF,，,y1F分别是椭圆的左右焦点，AB为其过点且斜率为1的弦，则FAFB,122114 的值为 ． 5． 22xy6．已知椭圆C：＝１（a＞b＞0)，设斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，A，，22ab B的中点为M，证明当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上． 227．椭圆C：xy＝１（a＞b＞0)的两个焦点为F，F，点P在椭圆C上，且PF?FF，，1211222ab 414|PF|= ，|PF|= ． 1233 （1）求椭圆C的方程； 22（2）若直线l过圆x＋y＋4x－2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程． 8．椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率2,过点C（－1，0）的直线l与e,3 椭圆E相交于A、B两点，且C分有向线段AB的比为 （1）用直线l的斜率k(k?0)表示?OAB的面积； （2）当?OAB的面积最大时，求椭圆E的方程． 【典型例题】 [例1] （1）D．提示：距离之和恰好等于两定点间的距离。 （2）C．提示：运用离心率的 计算公式 六西格玛计算公式下载结构力学静力计算公式下载重复性计算公式下载六西格玛计算公式下载年假计算公式 。 （3）C．提示：用椭圆定义． 7（4）y=? ．提示：椭圆的焦点在y轴上。 2 （5）90?．提示：数形结合，用勾股逆定理． 例2、（１）由准线方程为，可知椭圆的焦点在x轴上 x,,8 22xy设所求椭圆的方程为，,1(a,b,0) 22ab c2由题意，得 e,,a2 2a ,8 解得a,42 c,4c 222所以 b,a,c,32,16,16 22xy因此，所求椭圆的方程为，,1 3216 22xy（２）当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为，,1(a,b,0) 22ab 2a，2b,20a，b,10 22由题意，得 2c,45 即 a,b,20 解得 a,6b,4 22xy所以焦点在x轴上的椭圆的方程为，,1 3216 22xy同理可求当焦点在y轴上椭圆的方程为，,1 1636 2222xyxy因此，所求的椭圆的方程为，,1，,1和 32161636 50例3、（1）椭圆右准线l：x= ，过点P作PN?l于点N，如图所示则由椭圆的第二3 | 32 = e = ，于是， |PN| 5 5 |PF|PN| = |PF| 定义知 23 5所以，|PM| + |PF| = |PM| + |PN|?d(M，l)， 23 其中d(M，l)表示点M到准线l的距离 44易求得 d(M，l)= 3 544所以，|PM| + |PF|的最小值为 （此时点P为过点M且垂直于l的线段与椭圆的交323 点） （2）由椭圆的定义知 |PF|+|PF|=2a=20， 21 故 |PM|+|PF| = |PM|-|PF|+20 21 1? |PM|-|PF|?|MF| =10， 11 故 |PM|+|PF|?30（当且仅当P为有向线段的延长线与椭圆的交点时取“=”）； MF212? |PF|-|PM|?|MF| =10， 11 故 |PM|+|PF|=20-（|PF|-|PM|）?10（当且仅当P为有向线段的反向延长线与椭MF211 圆的交点时取“=”） 综上可知，|PM|+|PF|的取值范围为[10，30] 2 例4、(1)以O为原点，直线OA为x轴建立直角坐标系，则A(2,0)，由已知设椭圆方程 22xy，,1 24b ?,，?ACBC，又|BC|=2|AC| 又BC过椭圆中心O，?C(1,1) AC,BC,0 2x3422将C(1,1)代入椭圆方程得，y,1b,，即椭圆方程为 443 (2)依题意可设PC：y=k(x-1)+1，QC：y=-k(x-1)+1 222 ?C(1,1)在椭圆上，x=1是方程(1+3k)x-6k(k-1)x+2k-６k-1=0的一个根 223k,6k,13k，6k,1 ?x，用-k代换中的k得 x,1,x,pQp221，3k1，3k y,yk(x，x),2k1pQpQ ? k,,,PQx,xx,x3pQpQ 1 又?B(-1,-1)， ?k, AB3 ??，使PQ =λAB ． , ??【课内练习】 ?PQ ?AB ，因此总存在实数 1．D．提示：将方程化成标准形式． 2．C．提示：将点的坐标代入，求b． 3．D．提示：考虑特殊情况． 4．A．提示：求出入射光线所在直线方程及椭圆焦点坐标准线方程． 22xy5．．提示：直接用公式． ，,1164 6．2．提示：数形结合用定义． 7．43 ．提示：用椭圆定义． 8．35．提示：用焦半径公式：|PF|= a＋ex． ii 9．（1）由于QB=QP，故AQ+BQ=AP＞AB，Q点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆． 22222其中2a=8,a=4,a=16, c=3,c=9, b=a－c=7 22xy椭圆方程为，,1 167 （2）?l过点B且方向向量为（－1，33），?l的方程为y=－（x－3） 2将直线方程代入椭圆方程化简得：55x－288x＋320=0 320288x+x=,xx= 12125555 1122|x－x|== (x，x),4xx12121255 2242|MN|=1，(,3)|x－x|= 1255 63A到MN的距离 d,,33 1，3 13363S= dMN,?AMN255 22xy10．（1），,1 2243mm （2）k,,26或0 提示：（1）直接求出a、b，用m表示；（2）F是MQ的中点． 1．A．提示：直接化成标准方程． A ??2．A．提示：可以求出PF 与PF ． 12 53．C．提示：（c,－ c)在椭圆上，且c可以用m表示． 6 22xy4．．提示：注意利用a、b、c之间的关系． ，,1164 1321225． ．提示：e?[ ，1），而f(x)=x＋ 在[ ，1）上是减函数． 63x376． ，或2．注意分两种情况讨论，在两种情况下，都可以用勾股定理和椭圆定义求解． 2 7．?设B(x,y)，依题设及椭圆定义有： |PA|+|PB|=|QA|+|QB| ?|QB|－|PB|=|PA|－|QA|＝22 (2，4)，8,8,2 ?B的轨迹是以P，Q为焦点的双曲线的左支 22222由2a＝2，2c＝6，得b=c－a=3－1＝8 2y2故所求的轨迹方程为(x+1)－=1(x?－2) 8 ?若存在，设交点为C(x，y)，D(x，y)?C、D关于l:y=2x对称，?CD中点在l1122上，y+y＝2(x+x)…?．又C、D在直线y=kx+2上，?y+y=k(x+x)+4…?，由?、?得12121212 ykx,，2,4,222x+x=……?由得(8－k)x+4(2－k)x－4＝0 12,y22,kx(，1),,1,8, 4（,4,k）44(4,k)8?x+x=－……?．由?、?得, 解得k= 122232,k8,k8,k 816但k?k＝，2,?－1，故直线CD与l垂直?这样的实数k不存在 CD33 28．（1）直线AB的方程：xx，yy,b(xy,0) 0000 22xy（2）椭圆C的方程：，,1(xy,0) 1625 ??（3）假设存在点P(x,y)满足PA ?PB =0，连结OA、OB，由|PA|=|PB|，知四边形PAOB00 222x，y,2b|OA| ? ?又P在椭圆上 200 222222?ax，by,ab ? 00为正方形， |OP|= 22222b(a,2b)ab22由??得x,， y,002222a,ba,b 22? ? a,ba,b,0 22?当即时，椭圆C上存在点P满足题设条件； a,2ba,2b,0 22当即时，椭圆C上不存在满足题设的点P.． b,a,2ba,2b B 1．A．提示：用椭圆定义． 2．D．提示：函数图象一个是椭圆，则a＜0,b＜0,那么二次函数的图象必然是开口向下的抛物线． 3．B．提示：设出标准方程，利用几何性质求出基本量． 2222xyxy4．，,1，,1和．提示：设标准方程，用待定系数法． 725291012525 465．．提示：可以考虑用坐标法求解． 5 6．设直线方程后与椭圆方程联列方程组，再用韦达定理得中点坐标为 22akmbm22，故AB中点M在过原点的直线bx＋aky=0上． (,),222222bakbak，， 22xy7．（1）用椭圆定义及基本量法可以求得椭圆方程为； ，,194（2）设A(x,y)、B(x,y),直线l过点M（－2，1），设直线方程为y=k(x＋2)＋1，代入椭圆11222222方程得（4＋9k)x＋(36k＋18k)x＋36k＋36k－27=0,由已知得A，B关于M（－2，1）对 称，故 28xxkk，，18912，解得k= ，所求直线方程为8x－9y＋25=0,经检验所求直线方,,,,229249，k 程符合题意． 22xyc28．（1）设椭圆E的方程为，,1(a＞b＞0)，由e= ,22aba3 22?a=3b 222故椭圆方程x+3y=3b 设A(xAB,y)、B(x,y),由于点C（－1，0）分有向线段的比为2． 1122 xx，2,12,,1,,3 ,yy，212,,0,3,? x12(x1)，,,，,12即 ,y2y,,12,? 222? ,x，3y,3b由消去y整理并化简得 ,ykx,(，1), 22222(3k+1)x+6kx+3k－3b=0 由直线l与椭圆E相交于A（x,y）,B(x,y两点 1122,4222,Δ,36k,4(3k，1)(3k,2b),0,26k,? x，x,,,1223k，1 ,22,3k,3b? xx,,122 3，1k, ? 11333而S ? ?OAB,|y,y|,|,2y,y|,|y|,|k(x，1)|,|k||x，1|122222222222 23|k|由??得:x+1=－，代入?得：S=. (k,0)2?OAB223k，13k，1 k3||3333（2）因Sk,,,=,当且仅当S取得最,,,?OAB?OAB2132k，3123k，3||k||大值． x，x212此时x+x=－1,又?=－1 123 ?x=1,x=－2 12 122将x,x及k=代入?得3b=5 123 22?椭圆方程x+3y=5．