练 习
1.填空题
（1）有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最大数与最小数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是______.
（2）有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数和的
多18，这五个偶数之和是____.
（3）能否把1993部电话中的每一部与其它5部电话相连结？
答____.
2.选择题
（1）设a、b都是整数，下列命题正确的个数是（ ）
①若a+5b是偶数，则a-3b是偶数；
②若a+5b是偶数，则a-3b是奇数；
③若a+5b是奇数，则a-3b是奇数；
④若a+5b是奇数，则a-3b是偶数.
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（2）若n是大于1的整数，则
的值（ ）.
（A）一定是偶数 （B）必然是非零偶数
（C）是偶数但不是2 （D）可以是偶数，也可以是奇数
（3）已知关于x的二次三项式ax2+bx+c（a、b、c为整数），如果当x=0与x=1时，二次三项式的值都是奇数，那么a（ ）
（A）不能确定奇数还是偶数 （B）必然是非零偶数
（C）必然是奇数 （D）必然是零
3.（1986年宿州竞赛题）试
证明
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11986+91986+81986+61986是一个偶数.
4.请用0到9十个不同的数字组成一个能被11整除的最小十位数.
5.有n 个整数，共积为n，和为零，求证：数n能被4整除
6.在一个凸n边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n边形顶点之间，用线段连续起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n边形分为只朋角形的小块，试证这种小三我有形的个数与n有相同的奇偶性.
7.（1983年福建竞赛题）一个四位数是奇数，它的首位数字泪地其余各位数字，而第二位数字大于其它各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，求这四位数.
8.（1909年匈牙利竞赛题）试证：3n+1能被2或22整除，而不能被2的更高次幂整除.
9.（全俄15届中学生数学竞赛题）在1，2，3…，1989之间填上“+”或“-”号，求和式可以得到最小的非负数是多少？
练习参考答案
１．（１）３０．（最小两位奇数是１１，最大数与最小数同为奇数）
（２）１８０．设第一个偶数为ｘ，则后面四个衣次为ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，ｘ＋８．
（３）不能．
２．Ｂ．Ｂ．Ａ
３．１１９８６是奇数１，９１９８６的个位数字是奇数１，而８１９８６，６１９８６都是偶数，故最后为偶数．
４．仿例５ １２０３４６５８７９．
５．设ａ１，ａ２，…，ａｎ满足题设即ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝０ ①
ａ１·ａ２……ａｎ＝ｎ ②。假如ｎ为奇数，由②，所有ａｉ皆为奇数，但奇数个奇数之和为奇数，故这时①不成立，可见ｎ只能为偶数．由于ｎ为偶数，由②知ａｉ中必有一个偶数，由①知ａｉ中必有另一个偶数．于是ａｉ中必有两个偶数，因而由②知ｎ必能被４整除．
６．设小三角形的个数为ｋ，则ｋ个小三角形共有３ｋ条边，减去ｎ边形的ｎ条边及重复计算的边数扣共有
（３ｋ＋ｎ）条线段，显然只有当ｋ与ｎ有相同的奇偶性时，
（３ｋ－ｎ）才是整数．
７．设这个四位数是
由于１≤ａ＜ｄ，ｄ是奇数所以ｄ≥３于是ｃ＝２（ａ＋ｄ）≥８，即ｃ＝８或ｃ＝９．因ｃ是偶数，所以ｃ＝８，由此得ａ＝１，ｄ＝３．又因ｂ＞ｃ，所以ｂ＝９因此该数为１９８３．
８．当ｎ为奇数时，考虑（４－１）ｎ＋１的展开式；当ｎ为偶数时，考虑（２＋１）ｎ＋１的展开式．
９．除９９５外，可将１，２，…，１９８９所有数分为９９４对：（１，１９８９）（２，１９８８）…（９９４，９９６）每对数中两个数的奇偶性相同，所以在每对数前无论放置“＋”，“－”号，运算结果只能是偶数．而９９５为奇数，所以数１，２，…，１９８９的总值是奇数，于是所求的最小非负数不小于１，数１可用下列方式求得：
１＝１＋（２－３－４＋５）＋（６－７－８＋９）＋…＋（１９８６－１９８７－１９８８＋１９８９）．
浙公网安备 33021202002483