求多元函数极限的方法

求多元函数极限的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 【摘要】对于大部分学生,尤其是初接触高等数学的同学而言,极限是一道很难过的关,因为那种“无限逼近”却又“无法达到”的抽象对于刚刚结束中学数学学习,习惯于具体图形 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 、函数计算的同学来说,在思维上有了更高的要求。而对于高等数学来讲,极限又是相当重要的基础,不管是函数连续性的验证,亦或是单侧导数的求解,极限都是很重要的一个环节,它就相当于一条线惯于始终,所以说学好极限,是学好高等数学的一个起点。【1】 【关键词】多元函数;求极限多种方法;求极限常出现的错误 【引言】之前学过如连续、导数微分和积分等都要用极和秋极限的方法，例如:利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等。这些方法虽然简便易于理解和掌握，但对 2aaa(3)，nna,0lima于一些特殊的极限 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 目很难解决，例如:设，，求的a,0a,1n，n12n,,3aa，n 问题题目尽给出了第项和第+1项的关系若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则nn n k!,,1k及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方法，对某些用常lim,,nn! 见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。【2】本文将从多个方面,通过利用极限的性质及相关概念和几个典型例题对常用求极限的方法进行解析，并列出容易出错的地方。 1 利用极限定义的思想观察函数的极限 1121yxx，例1、讨论当时函数=的极限。我们列出了当时某些函数值，考察x,x,22 函数的变化趋势，如下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 所示。 x0.493 0.496 0.498 0.499 „ 0.501 0.502 0.503 0.505 y 0.757 0.754 0.752 0.751 „ 0.749 0.748 0.745 0.745 1121xx，yy从列表可以看出，当x趋向于时，就趋向于0.7，即x,时，=的极限是22 0.75。 2、利用四则运算法则求极限 2332lim(4),，xx例2(1)求 x,1 2x,1lim(2) 2x,21x， 22lim(1)x,x,13x,2lim解(2)= ,2x,21x，lim(21)5x，x,2 3、利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小量的性质求极限 1limsinx例3求 x,0x 111sinlimsinxlimx解因为=0，且即有界，所以=0 sin1,x,0x,0xxx 1 4、利用两个重要极限求极限 11x例4 求 x,limsinlim(1),,,,xxxx 1sin11x,0limsinx,解==1(因为时)。 x,limx,,x,,1xx x 1111x,e,lim(1)令则当时所以= ux,,x,,u,,，,,lim(1)limx,,xu,,,,1xueu，(1)x 111x,,,x11,，,,elim(1)lim[(1)]也可以直接计算= x,,x,,xxe5、利用初等函数的连续性求极限 limlnsinx例5求 ,x,2 ,,xfxx()lnsin,(0,),解:点是初等函数的一个定义区间内的点，所以02 , limlnsinlnsin0x,,x2,x2 6、利用等价无穷小代换求极限 1cos,xlim例6 求 x,0ln(12)，x 121cos,,xxln(12)2，,xx解:当x,0时，， 2 12x,x1cos2所以 ,,limlim0xx,,00，xxln(12)2 7、利用罗比达法则求极限 lnsin2xlim例7 求 ，x,0lnsin3x cos2x,2lnsin2xsin3cos22xxsin2xlim,,,lim1解:== lim，，，x,0x,0x,0cos3xlnsin3xsin2cos33xx,3sin3x 8、利用左、右极限来确定分段函数在分界点处的极限 , ,32(0)xx，,,2lim()fxlim()fxfxxx()1(01),，,,求， ,x,0x,1,2,(1)x,x, 2 lim()fxlim(32)2x，,解:因为= ,,x,0x,0 2lim()fxlim(1)x，==1 ，，x,0x,0 lim()lim()fxfx, ,，xx,,00 lim()fx所以不存在 ，x,0 lim()2fx,因为 x,1 1利用极限的定义来验证极限的存在 极限定义并未给出求极限的具体方法,但却可以验证极限的存在,而且它是研究理论问题的基 xA,,,fxA(),,,本方法,用极限定义验证极限存在,一般需经过变形放大,由或去寻n 找满足条件的充分大的正整数 N或充分小的正数δ或充分充分的正数 X。 x,21lim,比如:证明 2x,2x,44 x,2x,21x,21,,,证明对,,,0，要使，只要因为x,2，不妨,,,,22x,44xx,，4442 x,,21325,，,x设，此时13,,x，从而，因此， x,2x,21111,,，,,,,xxc22,,,min{},于是取，从而,2x,44431242x， x,21x,21,02,,,x,lim,，,,,min{1,12}，当时，总有,,，从而 22x,2x,44x,442利用化简来求极限(分子有理化、分母有理化、分解、恒等变形) x，,32lim比如 求 2x,1xx，,2 此题要用到两个知识点?将分子有理化?分母分解因式 x，,3211(32)(32)xx，,，，lim= 解:,lim,lim2x,1x,1x,1xx，,212xx，，，(1)(2)(32)xxx,，，，(2)(32)3利用极限运算法则和无穷小的性质求极限 2lim()xxx，,比如 求 x,，, ,本题是“?-?”型的极限,先对分子有理化,可转化为型将分子分母同时除以 x的最高次, 幂变形后求解。 3 22()()xxxxxx，,，，x2解lim()xxx，,== limlimx,，,22x,，,x,，,，，()xxx，，()xxx 11= ,limx,，,21，，(11)x 在无穷小量的诸多性质中,常用无穷小乘以有界变量仍为无穷小及用等价无穷小代换来求极 nsinelim限。比如 求 x,,n2， nsine1nlim0,sine,,lim0解 注意到且所以由无穷小的性质得 x,,x,,n2，n，2 533xxln(1)，又比如求 lim2x,0arctanx 2233ln(1)，xxarctanxx解 当x,0时，，，， 5513333xxln(1)，xx所以= lim1,lim22x,x,00xarctanx 4.2重要极限2 11111xfx()fx()x，,elim(1)，，， ，,e，,elim(1())，,fxelim(1)lim(1),,x,,,xxxxx0x00fxx()特征:?“1 ”型;?底数中要转化为有“1”的形式;? “1”的后面的变量与幂指数互为倒 数。 12xlim(cos)x比如 求 0x, 11cos1x,122cos1x,xx2lim(cos)xlim(1(cos1))，,xe解== 0x,x,0 5利用极限存在准则(夹逼定理、单调有界原理)来求极限 5.1利用夹逼定理求极限 111n，，，lim()比如 求 222x,,nnnn，，，11 111,,解 因为，k=1，2，3n，从而222nn，nkn，，1 22n111n,,n()，，， 22222nn，n，1nnnn，，，11 4 22n111nlim1,n，，，lim()而，所以 lim1,22222x,,x,,x,,nn，nnnn，，，11，1n 5.2利用“单调有界数列必有极限”定理求极限 特点:?能出现关系式;?可转化为关系式 解题方法 :一是利用数学归纳法证有界,二是证单调。 xxxn,,，,22,(1,2,),{}x试证数列极限存在，并求此极限。 比如 设11nn，n x,，,222xx,，,，,2222022,,,xx,2显然，假设因由数学2nn，11n xxxx归纳法知对,0<<2,又{ }有界, 0<<2,即{}有界,又,n,nnnnn (2)(1),，xxnnxxx,则 > ,所以{}单调增加。 xxxx,,，,,,20n，1nn，1nnnn2，，xxnn limx因此存在。 nx,, xx,，2aa,，2limxlim2x,不妨设=，由得，从而=2即 aann，1nnx,,,,x6利用洛必达法则求极限 用洛必达法则时要注意: ?要注意洛必达法法则条件, ?有时要用多次洛必达法则, xx,ee,?无限次循环型号不能用洛必达法则,如, limxx,0x,ee， ?每次用洛必达法则前,要先化简, 11?x?0(或x??)时,极限中含有sin,cos (或sinx,cox)不能用洛必达法则。 xx 0,0,00?“0g?”,“?-?”,“1 ”,“”,“”,“”型未定式,通过变形、通分、有理化分 0,子、取对数等方式转化为“”或“”未定式极限后再用洛必达法则。 0, xexe,lim比如求 x,11ln,，xx xxxxxexe,eexeeeexe,,,,()lim解 ,,,,limlimlimex,1,,,111xxx11ln,，xx11,,x,，1x 7利用连续性求极限 xln(1)，e比如 求 lim,1xarctanx 5 xln(1)，e解注意到在x=1处连续,所以 fx(),arctanx x1ln(1)，eln(1)4ln(1)，，ee= lim,,1x,arctanxarctan1 8利用函数极限存在的充要条件求极限主要用来解决在求分段函数在分段点处的极限或某 11xxee,些特殊函数在一些点处的极限时,可用此方法。如求 lim11,x0xxee， 112112xxxxxxee,1,eeee,,1解，， lim,,lim1limlim1,,,112112，，,,,,,,xxxx0000xxxxxxee，1，eeee，，1 11xxee,所以不存在。 lim11,x0xxee， 9利用导数求极限 fx()limff'(0)1,(0)0,,比如设求 x,0x fx()fxf()(0),limlimf'(0)1,解== x,0x,0xx,0 10利用泰勒公式求极限 k0fxgx()(),fxgx()(),x1111特点?“”型;?或或 k0xfxgx()(),()()fxgx,2222 ?用洛必达法则较复杂或根本不可能用。 2x2，,，11xn2x解题的关键是展开到含项,或相互抵消后的后一项。比如求 lim2x2x,0(cos)sin,xex解 22442xxxxx442，,，,，1(10())，0()xx，,，11x22882==lim,limlim24246x2x,x,x,000,3x，，xxx(cos)sin,4xex424，0()x(1-++0()0())(-+)xxx,,2243～～～，， 1, 12 11利用定积分和积分中值定理求极限 (1)(2)()nnnn，，，x(1,2,)n,limx比如设=，，求 nnn,,n 6 n1i解因为 ,，lnln(1)x,nnn,1i n11i所以=ln(1)2ln21，,,xdx ,，limlimln(1)x,n,0,,,,nnnn1,i 12利用函数极限与数列极限关系求极限 21nnlim(sin)比如求 ,,nn 1xxxsin,1,2sinx1sinxx,23nxsinxx,6xlim()nlim(sin)e解=== lim(1)，，，,,n0n,n,0xnx 13利用级数收敛的必要条件求极限 nn,3!n3!nlim,考察级数, 比如 求,nnn,,nn1i, nn，1u3(1)!33nn，n，1而<1 limlimlim,,,,nn，1nnn,,,,,,1unne(1)3!，nn(1)，n n,3!n由正项级数比值判别法知收敛,再由级数收敛的必要 ,nn1i, n3!nlim条件知=0 nn,,n 14利用幂级数的和函数求极限 1111，，，，，lim(1)比如 求 n,,n1!2!3!! ,1nx由于 xe,,,，,,(,),n!0n, ,11ex,1e当时，== ,!n,n0 ,111111，，，，，lim(1)ee因此=== ,n,,!nn1!2!3!!,n0 以上是求极限常用的一些方法,在求极限的过程中,先要用观察极限属于什么类型,才能去采取相应的方法。 同学们在求二元函数极限时，常出现错误。我们将其归纳为一下三种，今写于此，以供参考。 (,)xy(,)xy?第一种错误是把沿在平面上过点的射线方向，代替沿任何方向趋向于，0000lim(,)fxy求 x,0 7 2x例1求 lim22x,0，xyy,0 xy,,,,,,cos;sin在同学们的解题过程中常出现的错误做法是令于是有 232xy,,,sincos ,,,0,222，xy, 2x(,)(0,0)xy,,,0当时，，由夹逼定理即得=0 lim22x,0，xyy,0 欲指出此种解法的错误，只需注意二元函数极限的定义: fxy(,)Pxy(,)P设函数在平面的某一个点集D上有定义，是D的一个据点(不一定属0000于D)，A为一定数，如果对于任意给定的正数，总存在相应的正数，使得定义域D上,, 220()(),,，,,xxyy,Pxy(,)满足不等式的一切点，能都恒有不等式00 fxyA(,),,,(,)xy,(,)xy成立，则称定数A为函数当时的极限，记为00 Pxy(,)=A由极限的定义可以看出，若=A则必须是动点沿定义域lim(,)fxylim(,)fxyx,0x,0 y,0y,0 fxyA(,),,,Pxy(,)内的任何曲线趋向于聚点时，都得有不等式成立。 00 而在例1的解法中，即便是取遍了0,2,之间的所有值，都有不等式, 232xy,,,sincosPxy(,)成立，这也只能说明动点沿过原点的直线族,,,0,222，xy, 2xytgx,,(),趋向于点(0，0)时，都有。 lim0,22x,0，xyy,0 22xxyxy22xyxy，,2本题的正确解法是，由有 0,,,22xyxy，22 Pxy(,)可见，动点,不论沿平面上任何曲线趋于点(0，0)是，对于任意给定的正数，只 2xxy22(0)(0)xy,，,,,,,,,,要取时，就能使当时，永远有成,,,0,22xy，2 2x立。这即得证=0 lim22x,0，xyy,0 8 2xy例2求 lim24x,0，xyy,0 xy,,,,,cos;sin若仿照例1中所有用过的错误解法，有，且 2222xy,,,,,,,cossincossin, limlimlim,,242244222x,0,,,,00xycos，，，cossinsin,,,,,,,y,0 ,,0不难讨论不论上式右端为任何值，只要时，就有, 22,,,cossin,xy==0 limlim24224x,0,,0，xycossin，,,,y,0 2xy2Pxy(,)xky,但实际上是不存在的，这只要取动点沿曲线趋向于点(0，0)lim24x,0,xyy,0 224xyxykyk时则有 limlimlim,,,242424422x,0y,,xky,，，，，1xyxykyyky,0y,0 2xy由于不同的值对应着不同的极限值，即得证是不存在的。 klim24x,0，xyy,0 2xy2422xyxy，,2例3求本题的正确解法，是由 lim24x,0，xyy,0 2222xyxy，，111所以有 0(),,,，442222xyxyyx，22 2xy由夹逼定理便有而此题如果用例1所提出过的错误做法虽然也有lim0,24x,0，xyy,0 222xy，,1112并由此得出 ,,,,,44444222221xy，，,(cossin)(1sincos),,,,,,,, 2 222，xy,其结果虽然也是对的，但其理论根据却是错误limlim0,,44444x,0,,,，，(cossin)xy,,,y,0 的。 ?第二种错误是引用了“有限个无穷大之和仍为无穷大”的错误结论。 xy1例4 ,,limlim0xx,,0011，xy，yy,,00yx 9 1111这种解法很明显是错误的，因为但并不一定是无穷大，这,,,,，lim,limlim()x,0xy,,00xyxyy,0 道理虽然很明显，但在做题时却常被疏忽而导致得出错误的结论。 Pxy(,)事实上，本例所给的极限是不存在的，这只有注意，若动点沿直线yx,,趋向于点(0，0)时，原式均无意义就行了，就是避开这条使函数无意义的直线也就不行的，这只要 2Pxy(,)ykxx,,取动点沿曲线趋向于点(0，0)时，就有 2xkxx()1,xyxy=，可以取关于零的任何值。 klimlim,lim,,2xx,,00x,0，，xyxykxk2y,0ykxx,, xy即得是不存在。 limx,0，xyy,0 ?第三种错误是由于忽视开方时应去算数跟，而造成的错误。 xy1=0 ,limlimxx,,002211，xy22yy,,00，()()xy xy此题的解法是错误的，因为将分子及分母同除，它的恒等变形详细过程如下: 111xy= ,,22222211xyxy，，xy，，2222xyxyxy 2222xyxy，，xyxy这个恒等变形只有>0时成立，而当<0时 ,22xyxy 22xyxy，,2本例的正确解法应该是由有 2222xy，xyxy， 0,,,2222xy，22xy， Pxy(,)可见不论动点沿什么曲线，趋向于点(0，0)时，总有此不等式成立。由夹逼定理 xy知=0忽视算数跟所造成的错误，在求一元函数极限时也常发生。 limx,022，xyy,0 1，122x，1x例9 ,,limlim1xx,,,,1x，1，1x 10 x112例10 ，,,,,lim(1)limlimxx2xxx,,,,,,21，，xx1，，112x 2xx,这两个例子的错误均是由于忽视了 1x，1222x，1x，1x例9的正确解法是可见当时当x,，,,limlim,1xx,,,,1x，1x，1x，(1)x 22x，1x，1时所以是不存在的。 x,,,,,1x，1x，1 x12例10的正确解法是 ，,,,lim(1)limlimxx2xxx,,,,,,1，，xx1，，xx12x 112xxx(1)，,可见x,，,时 ,,2111，，2x 12xxx(1)，,x,,,时 ,,,, 1,，，112x 2lim(1)xx，,所以是不存在的。 x,, 【1】王伟珠.常用求极限方法浅析【J】中国科教创新导刊，2007(23) 【2】姜伟.对求极限方法的探究【J】中国科教创新导刊2008(28) 11