构造斜率求恒成立问题中参数的取值范围[权威资料]

构造斜率求恒成立问题中参数的取值范围[权威资料] 构造斜率求恒成立问题中参数的取值范围 在各省市的高考题中，常将导数作为压轴题的考查对象，而导数中多涉及不等式的恒成立的证明或求解问题，本文以解决不等式恒成立问题的两种方法比较为突破点，发现一类恒成立问题，采用构造动函数分类讨论往往很困难，但若巧妙地构造斜率可以有效地降低题目的思维量和运算量，达到事半功倍的效果。 一、一道高考题的两种解法 【2012全国大纲卷理科第20题】设函数f(x)=ax+cosx， x?[0，π] (1)讨论f(x)的单调性;(2)设f(x)?1+sinx，求a的取值范围。 解:(1)略 解法1:ax+cosx?1+sinx，x?[0，π]等价转换为ax+cosx-1-sinx?0， 令g(x)=ax+cosx-1-sinx，要使g(x)?0成立，只需使gmax(x)?0 g′ (x)=a-cosx-sinx=a- sin(x+ )， ?x?[0，π]，? sin(x+ )?[-1， ] ?当a? 时，g′ (x)?0，g(x)在x?[0，π]上单调递增， gmax(x)=g(π)=aπ-2?0 即a? ，所以a?,准 ?当a?-1时，g′ (x)?0，g(x)在x?[0，π]上单调递减，gmax(x)=g(0)=0?0 即a?R，所以a?-1 ?当-1 g(x)单调递减，x?(x0，π]，g′ (x)>0，g(x)单调递增。所以gmax(x)为g(0)和g(π)的最大值。 g(0)?0g(π)?0得a? ，所以-1 ?当-1?a< 时，令g′(x)=0，,埚x1?(0， )，x2?( ， )， 当x?[0，x1)，g′ (x)>0，g(x)单调递增，因为g(0)=0，,埚x3?[0，x1)使g(x3)?g(0)=0 所以1?a< 不成立。 综上所述a的取值范围为a? 。 解法2:ax+cosx?1+sinx ?当x=0时，a?R ?当x?(0，π]时，a? ， 令g(x)=sinx-cosx+1= sin(x- )+1，g(0)=0 则上式转化为a? =k，其中k为函数图象上点(x， g(x))与点(0，g(0))连线的斜率。 由三角函数知识g(x)= sin(x- )+1的函数性质。 在(0， ]上g(x)为下凸的单调递增函数，在[ ， ]上g(x)为上凸的单调递增函数，在[ ，π]g(x)为上凸的单调递减函数。故k为先递增后递减的函数。 所以kmin(x)为k(π)和 k(x)中取得， 其中 k(x)为函数在点(0，g(0))处切线的斜率， k(x)=g′(0)=1，k(π)= ?k(π)< k(x)?kmin(x)=k(π)= ，?a? 综上所述a的取值范围是a? 。 解法1构造含参数的动函数，此法的难点在于就参数a进行分类讨论。若采用分离常数构造定函数利用导数求最值的办法，需要二阶求导和洛必达法则，超出了高中生的理解范围。 解法2采用了分离常数构造割线和切线斜率的办法，有效地规避了分类讨论，也降低了求导的繁琐程度。 二、高考中的应用举例 1.与原点连线斜率: 型 例1.【2008全国?】 设函数f(x)= . (1)求f(x)的单调区间; (2)如果对任何x?0，都有f(x)?ax，求a的取值范围。 解:(1)增区间(2kπ- ，2kπ+ )(k?Z);减区间(2kπ+ ，2kπ+ )((k?Z)). (2)因为对任何x?0，都有f(x)?ax，于是a>0 由于函数f(x)= 是周期为2π的， 且函数y=ax是增函数，因此只需研究x?[0，2π)情形。 又当x?[π，2π]时，f(x)?0，即只需研究x?[0，π)情形。 ?当x=0时，a?R ?当x>0时，令g(x)= ，问题等价变换为a? =k， 其中k为函数图象上点(x，g(x))与点(0，g(0))连线的斜率。 下面考查g(x)= 的函数性质。 g′(x)= ，g′′ (x)= ?0 在(0， ]上g(x)为上凸的单调递增函数，在[ ，π]上g(x)为上凸的单调递减函数。 故k为单调递减的函数。 所以k(x)< k(x)，其中 k(x)为函数在点(0，g(0))处切线的斜率。 k(x)=g′ (0)= ?k(x)< ，所以a的取值范围为a? 。 综上所述a的取值范围是a? 。 2.非原点连线斜率: 型 例2.已知函数f(x)=(1+x)lnx; (1)求f(x)=1处的切线方程。 (2)设g(x)= ，若对任意x?(0，1)恒有g(x)<-2，求实数a的取值范围。 解:(1)切线方程为y=2x-2 (2)当x?(0，1)时，f(x)<0，x-1<0，g(x)<-2故a<0; g(x) 令h(x)=(1+x)lnx，则上式转化为a>- ? =- k，其中k为函数图象上点(x，h(x))与点(1，h(1))连线的斜率。 下面考查h(x)=(1+x)lnx的函数性质。 由h′ (x)=lnx+ +1，h′′ (x)= <0，h′ (x)在(0，1)上单调递减， h′ (x)>h′ (1)=2>0 所以h(x)在(0，1)上是上凸的单调递增函数，故k为单调递减的函数。 所以k(x)> k(x)，其中 k(x)为函数在点(1，h(1))处切线的斜率。 k(x)=h′ (0)=2 ?k(x)>2，- k<-1所以a的取值范围为a?-1。 综上所述a的取值范围是a?[-1，0)。 3.代换转化型: 例3.【2011年高考全国新课标卷理科21】 已知函数f(x)= + ，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x+2y-3=0。 (1)求a、b的值; (2)如果当x>0，且x?1时，f(x)> + ，求k的取值范围。 解:(1)a=b=1 (2)当x>0，且x?1时，f(x)> + 等价变换为k< +1 令t=x2，则x= ，1-k> ，设p(t)= lnt，则1-k> = =m 其中m为函数图象上点(t，p(t))与点(1，p(1))连线的斜率。 以下考查p(t)= lnt的函数性质。 p′(t)= (lnt+2)，p′′ (t)=- lnt p(t)，p′ (t)，p′′ (t)在区间(0，+?)上的情况如下: 所以p(t)在(0， )上为下凸的递减函数，在( ，1)上为下凸的递增函数，在(0，+?)上为上凸的递增函数，即m值先增大再减小，在t=1时取最大值。 所以m(t)> m(t)，其中 m(t)为函数在点(1，p(1))处切线的斜率。 m(t)=p′(1)=1?m>1，1-k>1所以k的取值范围为k?0。 综上所述a的取值范围是k?0。 三、教学反思 在高中数学中，有关函数和不等式的问题，学生大多数想到就是构造函数，通过求导证明单调性来研究问题。经过多年的训练，学生已经形成了思维定势，很难有新的突破。其实跳出固有思维，利用函数图象直观地理解问题，抓住问题的本质，往往可达到柳暗花明的效果。导数的本质是斜率的极限，从这个意义上来说，斜率更是至关重要。 参考文献: 熊欣，徐章韬.拉格朗日中值定理的初等化应用[J].数学通讯，2012(07). 编辑 温雪莲 文档资料:构造斜率求恒成立问题中参数的取值范围 完整下载 完整阅读 全文下载 全文阅读 免费阅读及下载 阅读相关文档:明代翰林院在高级人才培养中的作用 视唱练耳在音乐教学中的应用 案例教学法在生物技术制药教学中的应用分析 考试内容与形式改革研究 浅谈中等职业学校英语课外学习活动化的实施策略 3M教学法在中学生物教改中的实践探索 浅谈数控铣床技能训练中加工工序的安排策略 基于高中英语阅读教学模式的研讨 浅谈中职数学三角函数诱导公式记忆运用技巧 素质教育下如何展现职教音乐的价值 浅析听说能力对高中英语教学的意义 语文学习中柳永、辛弃疾艳情词探究 将会计教学引入生活 歌唱中的咬字吐字 函数列的收敛与一致收敛 大众传媒的思想政治教育功能研究 浅谈班主任如何高效地建设班级文化 用教师人 感谢你的阅读和下载 *资源、信息来源于网络。本文若侵犯了您的权益，请留言或者发站内信息。我将尽快删除。*