【doc】质点系的角动量定理在刚体定轴转动中的应用

【doc】质点系的角动量定理在刚体定轴转动中的应用 质点系的角动量定理在刚体定轴转动中的 应用 ? ? 1996年第1期伍文宜t质点系的角动量定理在刚体定轴转动中的应用 1996No.1WuWenyiEAppljc8如nofangu~rm叩劬m~rerntorigbody删arabxaLa~n91 速度o=.在定轴转动中,刚体上任一质元以o,点为圆心,作半径为是的圆周运动.令质 元m;对.点的矢径为R.,对原点.的矢径为因为刚体上所有质元的速度都满足关系式y. 一m×n—o×E,所以剐体对轴上任一点.的角动量为" L一?r_×协=?巩[^×(o×^)]=?? (?ro一?m(m?^)n= ''(2) ?n(z}++:})?一?n?(+自)一?? [一m??]{+[一?2i]j+?(+)]. 因为?z.?和?m曲:e一般并不等于零,所以刚体定轴转动的角动量L的方向与刚体 角速度m一的方向一般并不相同.很明显,只有?z商=??=0时,L的方向才与 m的方向一致?注意到在L的3个坐标分量中,唯有=轴分量?n(砰+)中只出现?和, ,在刚体的与?无关,所以它与参考点在=轴的位置无关,从而具有对轴的性质.另外定轴转动 中,转轴的方向被限制固定在空间,而且相对于刚体也是固定的,质元到转轴的距离.不变. 因此?(砰+)=?碍为常量,于是L在转轴的分量大小为?,肆.肼m方向与m方向相'i' . 同.此结论与转轴是否为坐标轴无关.简证如下 为区别起见,将转轴设为.?轴,角速度.的方向为其正方向(如图2).因为是定轴转 动, 无论转轴的方位如何,从圈2可清楚看出,刚体中任一质元的速度仍为—o×^一× R.,对 原点.的矢径Ti~oo一+噩,将其代入角动量式有 L=?rl×仍.V=?(oo一+R.)×埔(?×R)= ''(3) ?oo一×仍.(?×E)+?R.×们.(?×E). (3)式中第一项的方向垂 直于.?轴,第二项方向 沿oN轴并且和m方向相 同,大小为?肼m.因此? L在转轴上的投影就是 第二项在转轴上的投影. 只要转轴确定,R.× ? m.(m×E)就完全确定, 与坐标系的选择无关.可 见它正是刚体定轴转动特 性的反映,因此称其为刚 体对轴的角动量. 圈1刚体绕定轴嘏转动图2雕体绕定轴口?转动 西北师范大学学(自然科学版) JournalofNorthwestNormalUnivers【y(Natl1"alSc~ce) 第32卷 V口].32 3作用于定轴转动刚体的外力矩的矢量和 刚体绕定轴转动时,对.点的外力矩的矢量和为M.=E^×将F用F,表示.在 直角坐标系.z中,M.=研i+mj+研,其中 M一{EriXF,】,=E(凡.一?"),(d) M一{ErlXF,J一E(;F一??),(5)ii M,一{EriXF.J,一E(J一).(6) 由于M口的坐标分量,以M为例,只出现日和,与i无关.因此,如果只考虑,选取: 轴上任一点为参考点计算都有相同的结果,即对一定参l考点的力矩M投影到:轴后,M:就具 有对轴的性质.不仅如此,一般来说.剐体所受的任一力可以和=轴有任意夹角(如图1). 将F.分解成Fi#一b和F|l=.i+凡j.于是 Mb—E(?F..一y,F,)b—E(zcl+..j):<(Ful+F.j)一ER.×F.(7) 而ER.×正是刚体所受外力对=轴力矩的定义斌.可见对某一轴舶力矩其实只是力矩Mo 的一个轴向分量.对转轴而言,此结论还与坐标系m选择无关.要证明这点,只须将刚体所受的 任一外力F,分解成平行于转轴的分力F.?和在垂】耋:F转轴的平面上的分力F.上,将F.=F?+ F,L及n—oo,+R代入M-的表达式中,则有 M.一ErI×F.一E^XFi?+:一oo×F+ER.XF?.(8) (8)式中的第一项与第二项的方向与转轴垂直,只f第三项方向沿转轴,它正是?R.×Fl, 即力对转轴的力矩. 4刚体定轴转动的角动量定理和转动定律 将(1)式应用到刚体的定轴转动中,即得刚体绕:定轴.=转动时的角动量定理的数学表达 式.在坐标系.中,其分量式为. 札=E(一iFir)一d[一?,],(9) ? 一 _ ' = ?(;一?)=[一?],(1o)t—l M;E(,一凡)一??挑(井+)]一面d?姚研?=,j(11) 其中为刚体的角坐标,,;一E肼为刚体对转轺|=的转动惯量. /在定轴转动中,只要知道剐体绕转轴转丁多少a度,就能确定刚体的位置.因此,刚体的 定轴转动是1个自由度的运动,其运动情况只需I卜方程即可解决.而对于定轴转动,不论M 等于多少,转轴的方向即的方向始终不变,而m的大小的变化仅由(11)式确定另外.从前 边的讨论中知,唯(11)式与参考点在转轴上的位置以及坐标系的选择无关,可见(11)式是刚体 ? ? ? ? l卯B年第1期伍文宜:质点系的角动量定理在副体定轴转动中的应用. .1996No.1WuWenyi:邱pHcation0fangularmomentum~eoremtorigidbodyfixed"自rtitation00 定轴转动的一个最基本而且是晟重要的动力学方程,它也正是众所熟知的刚体定轴转动的转 动定律.显然,转动定律是刚体的角动量定理沿转轴的分量. 5刚体定轴转动时轴方向保持不变的原因 刚体定轴转动的角动量定理的数学表达式表明,只有对转轴02的力矩|!If;才会改变刚体 的转动状态,这与人们的经验相符,而尽管刚体绕定轴转动,也必定有对轴和轴的力矩 M…M参预,除非:m?一:肌?一0,即转轴oz正好为惯量主轴.那么为什么定轴转 ?L 动时轴的方向始终不变?这必须对定轴转动的刚体进行受力分析.在定轴转动的一般情况下. 刚体所受的外力除主动力外,刚体在转轴上还受到约束力(轴承的作用力).因此.刚体所受的 总外力矩M.一Mi+M,其中Mi是主动外力对轴上一点的力矩,M是约束外力矩.是刚体 通过轴承所受到的约束力对轴上一点的力矩.由于约束力作用在转轴上,Mw在转轴上的投 影一0,因此在(11)式即转动定律中反映不出M的存在,M仅出现在|!If和之中.而 M中仅在转轴.=的分量M—M;是使剐体绕#轴转动的有效力矩,这也正是在定轴转动中 通常所说的外力对转轴的力矩,M的其余分量均被M所抵消.从而使刚体所受的总外力矩 M在坐标轴的另两个分量一肘,一0,使刚体仅有绕轴的转动.可见M正是为了保持转轴 的方向不变而加给刚体的外力矩.M通常是变动的.正因为在一般情况下定轴转动的刚体还 受有变动的约束力矩的作用,它的角动量L才是变动的,而不在转轴方向. 总之,从质点系的角动量定理导出刚体定轴转动的转动定律的过程中,一直都体现出转动 定律只不过是角动量定理沿转轴的分量.正因如此,力矩和角动量才表现为对轴的性质.所以 刚体定轴转动的转动定律不宜写成矢量形式.同时,将转动定律作为角动量定理沿 转轴的分量 来分析,不仅有助于学生正确理解力矩和角动量这两个重要概念,而且有助于加深 对定轴转动 的理解i若不需考察轴承的作用,则只要用转动定:律就可解决刚体定轴转动的运 动问题.这即 是普遍认为定轴转动"简单"的原因. 参考文献 [1]周衍柏.理论力学 教程 人力资源管理pdf成真迷上我教程下载西门子数控教程protel99se入门教程fi6130z安装使用教程 .北京:高等教育出版社,1985.173 C23粱昆淼.令人困惑的定点转动大学物理(力热专辑.).北京:外贸教育出版 社,1987.245 Applicationofangularmomentumtheoremof particlesystemtorigidbodyfixedaxisratation ,?uWenyi (DepartraeratofPhy~cs,LanzhouTeachersCollege730070LanzhouPRC) Ab6ttactThetheoremofangularmomentuminpar~ciesystemisappliodtorigidbodyratation abouta fixedaxis.Weexpoundthatthelawofrotaticmofrigidbodyrotationaboutafixedaxisisacomp onent ofrotationalongaxisforthetheoremofan*gularmomentum.Thus.itgetsadeeperunderstand ingfor rigidbodyrotationaboutafixedaxis. Keywordsangularmomentummomen ,ofJ~orcetheoremofangularmomentumrotationaxis