正交展开法求解各向异性板中漏lamb波的频散关系和位移 叶菁
正交展开法求解各向异性板中漏lamb波的频散关系和位移
叶菁 钱梦騄
(同济大学 声学研究所 上海200092) Dispersive relations and displacement of Leaky Lamb waves in an anisotropic plates
employing the method of expansions in normal modes
Ye Jing and Qian Menglu
( Institute of Acoustics of Tongji University, Shanghai 200092) 1(理论
通常用积分变换法来计算有源的波动方程，但是这种方法需要计算留数，因此本文考虑使用本征函数
[1],展开法。在本征展开法中，位移可以由本征函数展开得到。但在此之前，必须解得本征函数。这里U
我们考虑一具有9个弹性常数C的正交各向异性薄板，在和方向无限延伸，板的厚板为2h，板的上xxij12
下界面为半无限大理想流体。在以下分析中，假定Lamb波沿着方向传播，质点位移与无关，因此，xx12在平面内的lamb波运动与在方向运动的无关，波动本征方程可以写成以下形式: xx,xU1322
22,,,,,,，,，,，,/()tCCC固体中: (1.1) 1111,11133,13551,333,13
22,,,,,,，,，,，,/()tCCC (1.2) 3333,33131,13551,133,11
22222,,，,,，,,,,//0xyk流体中: (1.3) ffff
,式中:为流体位移势函数。 f
本征方程在满足边界条件:法向位移和应力连续，切向应力消失，即: xh,,3
,,,,,/xCCp,，,，,0C()0,，,, (1.4) 33f131,1333,3551,33,1
2222pxx,,,，,,,,,(//)式中为流体中声压:;为流体Lame常数。 p,ff13
c,,,，,xx对于振幅为的平面波，它的相速度为, 波矢，可表示为: kc,,/1133
,,,,，,exp(())ikxkxt,,,，,exp(())ikxkxt, ; (1.5) i,1,2ffxz013iixz013
2k把上式带入本征方程和边界条件，得到波幅比和的方程: z
222,,,,,，,/()/(())tan,,,CkCkCCkk (1.6) xzxz301011551355
，21/21/2,21/21/2pkBBD,,，,(((4))/2)pkBBD,,,,(((4))/2), (1.7) zz
2222222BCkCk,,，,(/)(/),,,,,,DCkCC,,,(/)()/,,,,式中: xxx3355551133
,,,，[(2]/(2)CCCCCCC) 11331313553355
这表明，在板中有四个沿x方向传播的波，它们的波矢分别为，,q ,p3
在xx,平面内传播的lamb波和流体中的波矢可以分解为对称和反对称模式，对称模式的本征函数13
sss,,11,,,，,,ippxqqxikxt(tan()costan()cos)exp(()),,,可以表示为: 133331pqx
sss,,,，,,(sinsin)exp(())pxqxikxt, 333331pqx
s ,,,,,cosexp(())kxikxt (1.8) 031ffzx
ss把上式带入边界条件可得对称模式频散方程:GHphHEGHqhHEctg()ctg(),,, (1.9) pqpqpq
式中:GCkpCp,,，[ctg()],;GCkqCq,,，[ctg()], px1333qx1333
2s22Hppk,,，[ctg()],Ekkkhk,，,()ctg()/ ; xpxzzz
ss,,,,HqhHphsin()/sin()因此: (1.10) 33pqpq
s22,,,,，,，(sin()cos()/sin()cos())/()cosHqhGphHphGqhkkkh (1.11) fqppqqxzz3
把(1.10)-(1.11)代入(1.8)后便得到对称模式本征函数。
aaGHphHEGHqhHEtan()tan(),,,同理可得反对称模式频散方程: (1.12) pqpqpq
a22Ekkkhk,，,()tan()/式中: xzzz
aa,,,,HqhHphcos()/cos()因此: (1.13) 33pqpq
s22,,,,,，,，(cos()sin()/cos()sin())/()sinHqhGphHphGqhkkkh (1.14) fqppqqxzz3
频散方程(1.9)和(1.12)的左右第一项代表在真空中的板波的色散关系，第二项就是由于板有流体负载时增加的因子。
2. 激光超声实验
图1:r=9mm 图2: r=12mm
图1和图2 为3.9mJ的激光点源在硅(1.0.0)面激发，激光干涉仪在距离点源r处所检测到的lamb波和Scholte波形。结果表明在硅表面不同方向所检测到的漏lamb波和Scholte波的波速不同。 参考文献:
1. J.C.Cheng and Y. Berthelot. J. Phys. D29, 1857(1996)
作者简介:叶菁, 同济大学声学研究所, 硕士生,钱梦騄, 同济大学声学研究所, 教授, 博士生导师。
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