一类二维空间Riesz分数阶扩散方程的解

一类二维空间Riesz分数阶扩散方程的解 文章编号,,, :,,,,,,,,:,,:,:,,,:,))) 一类二维空间 分数阶扩散方程的解 ,,,,, 王 学 彬 ,，,武夷学院 数学与计算机系 福 建 武 夷 山 ,,,,:: ,，摘要讨论一类二维空间 分数阶扩散方程的解 分别给出齐次和非齐次情况下该类方程在有界区间上 满 足 ,,,,, 一定初边值条件的解析解 , 关键词,分 数 阶 导 数 ,空间分数阶扩散方程 ,初 边 值 条 件,,,,, ,分类号,,中 图 ,,,,文献标志码 :,,,,,, ,:::,,,,,:,,,,,,, ，波动方程该方程是时间变量为分数阶分数阶扩散写 信 给 分 数 阶 计 算 早 在 年 ,:,,,,, ,,,, ), ,,,,,导数的时间偏微分方程文献给出了高维的空 探讨分数阶导 数 的 意 义 时 已 出 现继 ,,,,,,,,,, , ，的第一个想法之后许多科学家投身发展这 ,,,,,,,，间 分数阶 扩 散 方 程 的 解但 仅 考 虑 了 关 于 空,,,,, ，,,、个研 究 领 域值 得 一 提 的 是 ,,,,, ,,,:,,,,,,, 间变量的分数阶导数的阶数相同的情况本文将考 , ,,、,,、,, 和 ,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,虑二维情况下空间 分数阶扩散方程关于空间 ,,,,, ,,，的研究工作尽管他们已做了许多工作大量 ,,,:,变量的分数阶导数的阶数不同的情形下的解, ，理论问题还未解决阻碍了分数阶计算在科学与工 ， 程方面的应用在这个世纪中分数阶计算的理论 预备知识,, , 仅仅主要作为数学家一个纯数学理论研究领域在发 ,,,,,有界区间 上分数定义 :,,,,,,,, ??，，展近几十年来由于自然科学的发展在许多领域 ,α 的应用研究发现分数阶模型具有经典的整数阶模型 ,,,阶导数的定义如下,,,)α ,? α , 无法比拟的优势分数阶微积分已广泛应用于分形 ,α α α 、、、，,，,,,,，,，理论混沌与湍流随机游走黏弹性力学等领域而 ,,,,,,,,,,):, ,,, α α , 这些领域的研究又反过来促进分数阶微积分理论的 ,α )，,,,,,是 左 式中,,,—,,,,,,, ,,:,,α ,,, πα :, ? α )发展,,分数阶导数,,,,,,:,,,,,, ),,文献考虑了有界区间上空间 分数 阶 ,,,,,, , , ,，, ,, , α ξ,,，, , ,,,,,:,，, 偏微分方程 的 数 值 解 问 题其 中 讨 论 了 种 类 型, α,,), , ,,,,: ,Γ)α,?,)ξ分数阶扩 散 方 程 和 分 数阶对流扩散方 α,,,,,,,,,,, 是右 分数阶导数,ξ,,,,,,,,,:,,,,,, ,, ) ,,,,, 程文献给出有界区间上 分 数 阶 空 间 扩 散 方 程 ,, ,,,，, , ) ,,αξ , ，, ,, ,, ,,,,, ,ξα,,),,,,, ，，,满足 边界条件的数值解 Γ)α,?,),,,,,,,,,:,,,,,,,:,,,,,,,,对定义在无穷区间 引理 ,,,,法文献考虑了空间时间 ) ? ? 分数阶,, ,:,,,,,,,,,: ),), ξ,,，,上的函数有下式成立 ,,，对流扩散方程并分别给出了有界区间上隐式和显 α ,,式差分逼近 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 文献导出了 分数阶对流 α α ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,, ) )Δ,),,α )?,,?扩散方程的基本解还有其他一些专家学者对这类 ,α ,,， ， , ,,,,)α,, α，问题进行了研究但是他们考虑的大多是一维的情 , ,—,,,,,,况而文献利用分离变量法考虑了高维的,,, ， 其中 如定义 所示, ,α , , ,,, , α η，,，,,,,,,,,)?,,α,)η ,,,, ,,,?)?))αΓ η, 收稿日期, ,:,,:,,,)),,,,,,,基金项目福建省自然科学基金资助项目 福 建 省 教 育 厅 类 科 技 项 目 武夷学院青年教师专项 ,::,::,:,, :,:,,,,,,科研基金资助项目 ,,:,:,,, 作者简介 , , ?,, ,, ,, ,, ,, )α η，,，,式中 由引理知 , ,,,,,,,),)Δ) ,)Δ ,, , ?,, ,, α,)η,,,,,,,,Γ)α,?) , ,η, ,α ,,,，，,,,,，,，当定义在有界区间上时可以设 ,,,, ,,:,)Δ,,α, , ? ?,,, α,,,，,，,，,,, :, ? ,,,πππ, ， ,,,, ,, ,,, ,,,,,,,,,α,,, , ,??, , , ,,，,,，,，,,,,,, , :, :,,, , ,β ,,,，，,,,,,)Δ,, 从而可得如下结论 ,,β ,,? ?,,,,, β ,,对定义在有界区间 上推论 :, , , , ,, ,, , , πππ,,,, ,,, ,,, , ,,,,,,β, , ?? ,,, ,,,,,, , ,,,,，,的函数有下式成立 ,, ,,,,把所求定解问题的解以其本征函数系为基α ,,:,,,,,,, ) )Δ,，,，，,, 本函数展开即把展为傅立叶级数,,,,α αα,,，,,,, , ,? ? ,,,,,,,,, ):,,,,,α α ,, ,ππ, ,,,,,，，, ,,,,,, ,,, ,,,,,,, ?? , ,, α α ,,,,, , ,,，，式中 如定义所示 ,,,,,:, ,, α,,, ,,,,,,将式代入式可得 ,,,:引理,设拉普拉斯算子 在有界闭区域 )Δ α β ? ? ,, ,, ,, , ,,,,,ππ,,上 对 于 特 征 值 有 一 组 正 交 特 征 函 数 , ,, λ,, , ,φ , , ,, ,α,, ,,β ,, , ,, ,, ,?? ,,,,, , ,, , , ,,,，, ,，, ,,,在上有其中是, ,:,, ,)Δ,λ, ,, φ φ φ φ ×个边界条件中的任意一个记 , ,,ππ? ,, ,,, ,,, :, :,, , ,,, ,，〉，〈，,,,,, , ,, ,, , , ,,φφ ?,, , ,,由方程可得: ? α β , ,, ,,, ,,,, ，,，,， ,,,, ,, ,,,,,: ,,?,α, λ, ? ,, , , :,,,, ,,, α ,,β ,, , ,,,,, , ππ ,,,, ,,? ,,α , , α, ,, ，,,,,则对任意, ,,,, ,)Δ, ,λ, ,? φ ?,, ,,,根据常微分方程 解 的 结 构 可 以 推 出 方 程的 一 般 , 解为 齐次二维空间 分数阶扩散方 ,,,,, , α β ,, ,, 程的解析解,,ππ,,,, ,,,:,,,, ,, ,,,,))α ,,,β , ,,,, , , ,, ,,本节考虑空间 分数阶扩散方程,,,,, ,, ,α ,，，, ,,,, ,,，，,,，,，,,，由初始条件结合式得 ,,:,,,,,,，，, ,,,,,φα,, α, , ,, ? ? β,, ,ππ ,，,,，，,,, ,,:, :,,,,,,,,, ,,,,,， ，,， φ,,,, , ??β, β ,,, , ,,, , ,,,,, 根据傅立叶级数的性质得， ，， :,:,,:, ,, ?? , , ,,, , , , ,, , π,,π， ，,, ,，,:,,,,α ， , ,,,??,,,,,, β ,,,,,:,, ,,φ ,,, , : ,,,: ? ,,?,, , ,满足下列初边值条件的解,,，,,，,,代入式得再代入式得 ,,,,,,，，,,，，,，,:,,,,:,,,,,烄 ,，，,,,,,, ,,,，，,,，，,， ,,,:,,:,,:,,, 烅 ? ?,, , , ,π , , ， , ,,, ,,, , ×,，，,,，,，φ ,,:,,,,,,烆 , ?? φ : ,,,,: ??,, ,,, , ,, α ,，，,，,，,式 中 都 是 实 值 函 数 并 且 足 够β ,,,,,, ,,φ ,, ,,,πππ,,, ,,,,,,))×,,,,α ,, β 光滑 ,,,,, ,, , ,,, ,, ,，,,根据推论知方程等价于,, ,,ππ,, ,,, ,,, ,,:, , ,, , ,,，，, ,,,,,, 非齐次二维空间 分数阶扩散 ,,,,,, ,, ,α ,β ,,,,, ，，,，，,,,, ,,,,, , , )) Δ, ,) ) Δ,α,β 方程的解析解,,，即 , 本节考虑空间 分数阶扩散方程,,,,, , ,α ,，，,,,,,，，,, ,,,,,,,,)Δ,,α, ,, α ,，，, ,,,, ,，，, , ,,,,,α,,,αβ ,,,,,, ， ，,, ， , , , , :,,,,, )Δ ,,, β β ,, ,,,, ,,， ，, , ， ，,， , , ,,,,, ,, ,β β α β ,,,,, ,, ,,ππ,,,,,,,, ,,,,,,×),,,,,, α,,β ， ， ， ,, , ,,,:,:,,,,,,:, ,, ?? , , ,,, , ,, ,,?? ,,， ， α ,,:β ,,,α , , ?? β ,, ,, ,,ππ,,,,,, ,),, α ,,,满足下列初边值条件的解β , ,,, ,,,,, ,,? ,, ,，，,,，，,，,:,,,,:,,,,,烄 α β ,, ,, ,,ππ,, ,),,,, ,,, ,,,× ,,,,,,α ,,β ,,, ,,,,, ,,,，，,,，，,，,, ,,:,,:,,:,,,,, , 烅,? ,, α β ,，，,,，,,,:,,,,,,,烆 φ ,, ,,ππ,, , ,,,,,,,,,) , , α ,,β ，,,,,,, , ,,根据叠加原理上述问题可以转化为下列个问题 , ,, ,,α, ,，，,,，，, 又由知,,,, 烄,,::,,,，，,, ,,,,,, αα, , ,,,,,,,,代 ,::,,,,:,,,,,,, ,),,, ,,,,,, β?? ,， ，,， , ,,,,ββ, ,,,, ，，,,,，, ,,, 再 代 入 式 得 入式 得 ,,,, , ,,,, ,,,, ，,,因此原方程的解为,, ， ，， ::,,,:, ,,, ,?? , , ,, ,, ,烅 ,,,，，,,，，,,，，,,,,,,,,,, ,,,,,,， ，:,,,α ,? ,? β ? ?,,,，，,,，，,， ,:,,,,:, ,,,,, ,, π,,，,,,,, ,,,×φ ,,,，，,,，，,， , ??,,:,,:,,: ,,, :,: ,,,??,, ,,, ,,, α β , ,, ,,，，,,，,，, ,,:, ,, 烆,,φ, , π π ,π,,,,, ,,,, ,×,, ) α ,,β ,,,,, ,, , α ,,,,,, ,，，,, ,,,, 烄 ,，，, ,,,,,,, αα ? ?, , ,, ,,ππ,,,,, ,,, ,, )×,,, , ??, β, ,,?, ,,,, , ,, ,， ，, , ， ，,， ,,,, , ,, ,, ,ββ α ,,,β ,, ,, ,,ππ,,,, ,,,,,,α ,,， ，， ,,β ,:, :,:, ,,, ,,,,,,, ,, , , ,, ?? ,, ,, ,,,烅 α β ， ，:,,,α ,,, , ?? β ,, ,,ππ,, ,,,,,,,, ,,, , ),×,,α ,, β ,，，,,，，,，,, ,,, ,, ,, ,:,,,,:,,,,, , , ?,,,，，,,，，,，,,:,,:,,:,,, ,,ππ ,,, ,,, ,,，，,，, , ,,::,, 烆,,, , 结语 , ,，，,,,,,记是 方 程 满 足 初 边 值 条 件 的 ,,,,,,,,文章给出了二维 分数阶导数与分数阶拉,,,,, ,,，,，，,，,，，,,,，,,解分 别 是 问 题 的 ,,,,,,,,,, ,, 、，普拉斯算子的特征函数特征值之间的关系从而用，,，，,,，，,,，，,解则由第节 ,,,,,,,,,,,,,,,,谱表示法分别给出齐次和非齐次情况下一类二维空 ,,，，,,,,, 已知如式所示设的解,,,,:,,,间 分数阶扩散方程在有界区间上满足一定初 ,,,,, ? ? ,, ,,ππ边值条件的 解 析 解该 方 法 可 以 推 广 到 更 高 维 三 ,,,，，,,,,, ,,,,,,,,,, ,,,,, ,,, ?? , ,,, ,,,, , ,,,维空间 分数阶扩散方程的求解,,,,, , ,，，,,将展成傅立叶级数的形式 ,,,,,参考文献 ? ? ,, ,, ππ ，,，，,,,,,,,,, ,,, ,,, ,,, ,, ?? ,,:,,,,:,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,, ,,, ,,,,, , ,,,,,，,, :,, ,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 式中 ,,,,,, , ,, ，， ,,,,,: , ,,,,,,, , ,,,,,,,,, :,,,,,, ),, , ,, , , ππ, ,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,:,,,，，,,,,,,, ,,,,,,,,, ,,,,,,,, ,,, , : ,,,: ?? ,,,, ,,,,，,,,,,,,,,,,,:,,:,,,,,,,,,,,,,,, :,,,, ，，,,,,,,，利用引理并将和式代入方程可得 , , ,,,,:,,,:,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,, ,,,,,,，,, ,, ,α,,:,, ,:,,,,,,:,,:,,,,,,,,,,,,,,,,:,, ,β ,,ππ,, ,,′,,,,, ,,, ,α , ,,β ， ,,,,, ,,,,,, , ,,:,, ,,,, ,,,,:,,,,,:, ,: ,,, ,,,,, ,, ,,,, ,,, ,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,, ,, ,:,,,, ,,,,， ,,:,, ,:,,::,, ,,,,,,,,,,根据常微分方程的解法易得 ,,，， ,,:,,,,,,,,,,,, ,,, ,,,,,,,,, ,:,,,,:,, :, ,,, ,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,:,, ,,,, ,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,:,,,,,,,,:,,,,,,:,:,,,,, ,,,))):,,,,,,,,,,,,:,,,:,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,)，，,,,,::,,:,,,:,) ,,,,:,, ,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,, ,,，，,:, ,,,,, ,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,:,:,,,::,,,,,)，,, ,,,,,,,, ,,,:,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,:,,,)),, ,,:,,,,,,,,,,:,,,,,,:, ,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,, ,, ，，，,,,,, ,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,:,,,,,,,,,,:,,,,,,:, ,,,:,,，，,,,:, ,,,,,,:,,,,,,::,,,,,,:,,,:,,, ,,) ,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,:,:,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,),, ，，，，,,,,,,,,:,,,,, ,,,,:,,,,,,,,,,,, ,,,,,, ,,,,,,,,,,:,,,,) ),,，,,:,,,,,,,,,,:,,,, ,,,,,,,,,:,, :, ,,,, ,,,,, ,,，， :,,,: ,,,,,,,, ,,,,,,:, , ,,:,,,,,,,,,,，,,,,,,,,:,,,,,,,,) ,,:,,,,,,:,,,,,,:,,,,:,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,) ,,,,,:,, ,,,,,,,,,: ,,,,,,:,,, ,,,,,,,:,,,,,,,,:, ,,)),,,, ,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,:,,,,,,:, :,,,,，，,,,,:, :,,,,,,,, ,,:,,,,,,,:,,,,,, ，，,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,:,,,:,,) ,,,,,:,,) ，王 学 彬 刘 发 旺 分离变量法解三维的分数阶扩散 波 ,),, ,, 动 方程的初边值问题 ,,福 州 大 学 学 学 报 ,自 然 科 学 :,,, ， ,,,,:,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,:,,,，，,,,版 ,:::,,,,,:,,,,,,, ,,,,,,,,, ,:,,,,:, :, ,,, ,,,,, ,,,,,,:,,, ,,,) ,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,:,:,::,,,,,:, ,,,,, ,,,,:,,,,,)王 学 彬 二 维 、三 维 空 间 分数阶扩散方程的基 ,,,,,,,, ,,，，,,,,,,,,,::,:,,,:,:,,) ,,,，，,,,本 解 山 东 大 学 学 报 理 学 版 :,,:,,,,,,,),:,,, ，，，,,,,::,,,,,,,,, ,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,, ,:,,,,:,,:,, ,,,,:,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,:,,,,,,:,,,,,:,,,,,,,:,, , ,,,,,,,,, , ,，，，,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,::,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,:,,:,,,,,,:,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,:,,,,,,:, ,,,,,,,,:,,,,,,,:,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,:,,:,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,:, ,,,,,:, ,,,, ,,,,,,,,,,,, ,:,,,,,,,,, )) ,:,,,,,:,,:,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,:,:,,,:,,,,,,:,,:,:,,,:,,,,,,, ,,,,,) ,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,:,,,,,,,,,,,,:,,,,,,:,,, ,,,,))) ,,:,, ,、,责任编辑校对 张 娣 ,, 上接第页,,, 脉冲时滞泛函微分方程的周期解与全局吸引性 邵 远 夫 ,，桂 林 理 工 大 学 理 学 院 广 西 桂 林 , ,,,::, ,摘要利 用 不动点定理和比较定理得到了一类脉冲时滞泛函微分方程存在正周期 解及其全局吸引的充 ,,:,,,, 分 条 件 , ,,,,关键词周 期 解 全 局 吸 引 脉 冲 时 滞 分类号,,中 图 ,,,:,:, ,::: ,,,,,,, ,文献标志码 , ,,,基金项目桂林理工大学博士启动基金资助项目 :,:,: 作者简介,邵 远 夫 ,—,，男 ，副 教 授 ，博 士 ，主要从事微分方程与动力系统研究 ,,:,, ,、,责任编辑校对 张 娣