傅立叶展开与傅立叶变换[精彩]
傅立叶展开与傅立叶变换
1.傅立叶展开
2,对于周期为的周期函数,可展开为 ,,fx
,a0 ,,,,fx,,acosnx,bsinnx,nn2n1,
1sinxcos2xsin2x函数系,,,,,……在上满足正交性,,cosx,,,,2 ,,1111 sinmxcosnxdx,0 dx,1,,,,,,,,22
,,1122sinnx,0 cosnx,0 ,,,,,,,,
,,11m,n,sinmxsinnx,0m,n,cosmxcosnx,0 ,,,,,,,,,1n,0,,fxcosnxdx,a则 n,,,,
,1n,1,,fxsinnxdx,b n,,,,
T,2l对于任意周期为的周期函数,可展开为 ,,fx
,ann,,,,0 ,,fx,,acosx,bsinx,,,nn2ll,,n1,
,,2,2,1cossincosxsinxxx函数系,,,,,……在上满足正交性,,,l,lllll2
,,1111sinmxcosnxdx,0 dx,1,,,,,,,,22
,,1122sinnx,1cosnx,1 ,,,,,,,,
,,11m,n,sinmxsinnx,0m,n,cosmxcosnx,0 ,,,,,,,,l1n,n,0,,fxcosxdx,a则 n,,lll
l1n,n,1,,fxsinxdx,b n,,lll
2.傅立叶变换
T,2l,,,,fx,,,,对于无周期的函数,其定义在上,可看作为的周期函数取
l,,的极限。
,ann,,,,0,, fx,,acosx,bsinx,,nn,2ll,,n1,
ll1n1n,, ,,,,fxcosxdx,afxsinxdx,bnn,,,,llllll
,ll11ntx,,,, ,,,,,,fxftdtftcosdt?,,,,,ll,,2llln1,
l1l,,当时, ,, ftdt,0,,l2l
,,n再取, ,,,,,nnll
,l1则 ,,fx,,,,,ftcos,t,xdt,n,l,ln1,,l1,, ,,,,,ftcos,t,xdt,,,,,nn,l,,,,n1,
,,1,,,,,d,ftcos,t,xdt ,,0,,,
定义傅氏积分:
,,1,,,,,,fx,d,ftcos,t,xdt ,,0,,,
傅立叶定理:若函数在任意有限区间上满足狄利克雷条件,且在区间,,fx
内绝对可积,则的傅氏积分在上处处收敛,且有,,,,,,,,,,fx,,,,
,,100fx,,,,,,fx,cos,,,,,, dftt,xdt,,,0,,2,
此式称为傅氏积分公式。 利用欧拉公式,此公式可写为复数形式:
,,1,0,,0,,,,fxfxi,,,tx,,,,,dftedt ,,,,,,22,
当在处连续时,则在处的傅氏积分就等于。,,,,,,xxfxfxfx
,,1i,,,tx,,,,d,ftedt,, fx,,,,,,2,
,,1i,ti,x,,,,,ftedted,, ,,,,,,,,,,2,,i,x,,,,F,,fxedx令 ,,,
,1i,x,,,,,fx,F,ed,则 ,,,2,
,,,,,,,,F,被称为fx的傅氏变换,fx被称为F,的傅氏逆变换。
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