15空间点线面的位置关系
15 点、线、面的平行与垂直的判定与性质应用 教学目标:
1(理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解平面的基本性质;
2(认识和理解并掌握空间中线面平行、垂直的有关性质与判定;
3(能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 教学重点、难点:
1.重点:理解空间直线、平面位置关系的定义，认识和理解并掌握空间中线面平行、垂直的
有关性质与判定;能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单
命题。
2.难点:空间点线面的位置关系的判断，线线平行、垂直的判定和证明,线面平行与垂直的
性质定理的灵活应用。
热身练习:
1、已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的是( )
A(若 B(若 m//,,且n//,,则m//nm,n在,上,且m//,,n//,,则,//,
C(若 D(若 ,,,,且m在,上,则m,,,,,,m,,,m在,外,则m//,2、如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成
的角的大小是 .
60:3、正方体中，与异面，且与所 成角为的ABCD,ABCDADAD111111
面对角线共有 条。
例1、已知直线m、n，平面，下列命题中正确的是( ) ,,,
A(若直线m、n与平面,所成的角相等，则m//n B(若m?,，
n?，,?，则m?n ,,
,,,C(若m，n,,，m//n，则//, D(若m//,n//,,,//,,则m//n ,
l变式1、平面α?平面β=，直线aα，直线bβ，则“a和b是异面直线”是“a、b均与,,
直
l线相交，且交点不同”的( )
A(充分不必要条件 B(必要不充分条件
C(充要条件 D(既不充分也不必要条件
例2、已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题: m,n,,,
?若，m?n，则; m,,,n,,,,,
?若，则; m//,,n//,,m,n,//,
?若，则; m,,,n//,,m,n,//,
m,n?若，则( m,,,n//,,,//,
其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号)_____ ____(
l变式2、已知、是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题: ,,,,
l//,?若，则; ?若，则; ,,,,l,,l,,,l//,,,,
ll//,?若上有两个点到的距离相等，则; ?若，则。 ,,,,,,//,,,,
其中正确命题的序号是
例3、如图，已知三棱锥A—BPC中，AP?PC，AC?BC，M为AB中点，D为PB中点，且?PMB为正三角形。
(1)、求证:DM//平面APC;
(2)、求 证:平面ABC?平面APC;
(3)、若BC=4，AB=20，求三棱锥D—BCM的体积。
PABCD,变式3、如图，四棱锥的底面为菱形 且?ABC,120?，PA?底面ABCD，
P 3AB,2，PA,，
(?)、求证:平面PBD?平面PAC;
E (?)、求三棱锥P--BDC的体积。
(?)、在线段PC上是否存在一点E，使PC?平面EBD成立(如
果存在，求出EC的长;如果不存在，请说明理由。 D C
例4、如图，在四棱锥P—ABCD中，PA?平面ABCD，四边形ABCDA B
2为直角梯形，AD//BC且AD>BC，?DAB=?ABC=90?，PA=，
AB=BC=1。M为PC的中点。
(1)求二面角M—AD—C的正切值的大小;
(2)如果?AMD=90?，求线段AD的长。
A
ABCD变式4、如图，已知空间四边形中，E
，是的中点( EABBCACADBD,,,
求证:(1)、平面CDE; AB,
CDE,ABC(2)、平面平面( B C
,ADC(3)、若G为的重心,试在线段AE上确定一点F,
使得GF平面CDE( ,
D
课后作业:
1、在空间，下列命题中正确的为 ( )
?平行于同一直线的两条直线平行;?垂直于同一直线的两条直线平行;
?平行于同一平面的两条直线平行;?垂直于同一平面的两条直线平行; (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
2、在正四面体P—ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立是 (((
A(BC//平面PDF B(DF?平面PAE
C(平面PDF?平面ABC D(平面PAE?平面ABC
l3、已知直线m、n、与平面，给出下列六个命题: ,,,
?若?若 m//,,n,,,则n,m;m,,,m//,,则,,,.
?若l//,,m//,,,//,,则l//m
m,,,l,,,A,点A,m,则l与m不共面?若
ll//,,m//,,且n,l,n,m,则n,, ?若m 、是异面直线，;
l,,,m,,,l:m,点A,l//,,m//,,则,//,. ?其中假命题有
A.0 B(1 C(2 D(3
,,4、对于不重合的两个平面与,，给定下列条件中，可以判定与,平行的条件有
,,,,,,,, ?存在平面，使得、都垂直于;?存在平面，使得、都平行于;
?内有不共线的三点到的距离相等; ,,
?存在异面直线l、m，使得l//，l//，m//，m//， ,,,,5、已知球O的面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O点体,,3
积等于
m//,m,,6、已知平面和直线m ，给出条件:?;?;?;? , ?. m,,,,,,//,,,,
(i)当满足条件 时，有; m//,
(ii)当满足条件 时，有. (填上条件的序号) m,,
7、如图所示，四棱锥P,ABCD的底面积ABCD是边长为1的菱形，?BCD,60?，E是CD的中
点，
3PA?底面积ABCD，PA,.
(?)、证明:平面PBE?平面PAB;
(?)、求二面角A,BE,P的大小.
,,,,,ABCDABCD,AD8、如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b(0
表
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面相交于(设，，则函数的图BBDDMNy,yfx,()11
象大致是( )
D1 C1 y y y y A1 B1
N P D C O O O O x x x x M A( B( C( D( A B
0l,备选题2、设直线平面，过平面外一点A与都成角的直线有且只有:( ) 30,,l,,(,),条 (,),条 (,),条 (,),条
15点、线、面的平行与垂直的判定与性质应用 参考答案
60:课前热身:1、D; 2 . ; 3 .4条
4241例1、 B 变式1: B 例2、? ? 变式2、? ? 例3、答案:(1)?M为AB中点，D为PB中点，
?MD//AP， 又?MD平面ABC ,
?DM//平面APC。(3分)
(2)??PMB为正三角形，且D为PB中点。
?MD?PB。
又由(1)?知MD//AP， ?AP?PB。
又已知AP?PC ?AP?平面PBC，
?AP?BC， 又?AC?BC。
?BC?平面APC， ?平面ABC?平面PAC，
(3)?AB=20
?MB=10 ?PB=10
PC,100,16,84,221.又BC=4，
111S,S,PC,BC,，4，221,221.? ,BDC,PBC244
1122又MD ,AP,20,10,53.22
11?V=V= S,DM,，221，53,107D-BCMM-BCD,BDC33
变式3答案: (1) 略证:通过证BD?AC,BD?PA,得出BD?平面PAC,又BD在平面PBD内,所以平
面PBD?平面PAD
1113(2) V,S,PA,，(，2，2，)，3,1,BDC3322
25AC:BD,OEO,PCCOE(3)假设存在，设，则 ，Δ ?ΔCPA ,. CE,5
例4答案:(1)取AC的中点H，连MH，则MH//PA，所以MH?平面ABCD，过H作HN?AD于N，
连MN，由三垂线定理可得MN?AD，
则?MNH就为所求的二面角的平面角。
1212 AH,AC,,MH,PA,.2222
21 在Rt?ANH中， HN,AN,AH,.22
MHtan，MNH,,2. 则在Rt?MHN中， HN
2故所示二面角的正切值的大小为。
2(2)若AM?MD，又因为PA=AC=，M为PC的中点，
则AM?PC，所以AM?平面PCD，则AM?CD。
AM在平面ABCD的射影为CD，由三垂线定理可知其等价于AC?CD，
2此时?ACD为等腰直角三角形，所以AD=,AC=2。
BCAC,ADBD,,,变式4答案:解:证明:(1)同理， ,,CEAB,,DEAB,,AEBE,AEBE,,,CEDEE:,CDEAB,又? ?平面(
CDEAB,(2)由(1)有平面
ABCCDE,ABCABÜ又?平面， ?平面平面(
AG2,(3)连接AG并延长交CD于H，连接EH，则， GH1
AF2在AE上取点F使得，则，易知GF平面CDE( ,,GFEH FE1
备选题答案:1 、B 2 、 B
课后作业答案:
9π421、C 2 、C 3 、 C 4、 ? ? 5、 2
35256 ? ? ??
7、解 解法一(?)如图年示，连结BD，由ABCD是菱形且?BCD,60?知，ΔBCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE?CD，又AB?CD，所以BE?AB.又因为PA?平面ABCD，BE平面ABCD，所以PA?BE.而PA?AB,A，因此BE?平面PAB.
又BE平面PBE，所以平面PBE?平面PAB.
)由(?)知，BE?平面PAB，PB平面PAB，所以PB?BE. (?
又AB?BE，所以?PBA是二面角A,BE,P的平面角.
PA,3在RtΔPAB中，tan?PBA,，?PBA,60?. AB
故二面角A,BE,P的大小是60?.
解法二 :如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A(0,0,0)，
33133,,0,,01,,0B(1,0,0)，C()，D()，P()，E(). 0,0,322222
3BE,(0,,0)(?)因为BE，平面PAB的一个法向量是,(0,1,0)，所以和共线.从而BEnn002
?平面PAB.又因为BE平面BEF，所以平面PBE?平面PAB.
133PBBE(?)易知=(1,0,-), =(0,,0), 22
,xyz，，,,030,111,设=(x,y,z)是平面PBE的一个法向量，则有 n111,13000.，，，，,xyz,111,2
所以y=0,x=z.故可取=(,0,1). 而平面ABE的一个法向量是=(0,0,1). 33nn11112
nn 1,12于是，cos,,,,. 故二面角A-BE-P的大小是 60nn,12||nn ||212, D, CH G , A, B,,,8、解:(?)证明:在正方体中，ADAD,，ADAB,，
D 又由已知可得 P Q N C ,,PFAD?，PHAD?，， PQAB?F E A B
PHPF,所以，， PHPQ,
PH,所以平面(所以平面和平面互相垂直( PQEFPQEFPQGH
,PFAPPHPA,,22，(?)证明:由(?)知，
又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是
,，是定值( (22)2APPAPQ，，,
,,NENADPFAD,(?)解:设交于点，连结，因为平面， PQEF
,,?DENDE所以为与平面所成的角( PQEF
1,,BCb,AABBAD因为，所以分别为，，，的中点( PQEF，，，2
32
32324,,,DE,可知sin?DEN,,，( 所以( DN,3224
2
浙公网安备 33021202002483