均值定理
证明
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不等式的方法技巧
均值定理证明不等式的方法技巧 1( 轮换对称型。
222若a,b,c是互不相等的实数，求证:a，b，c,ab，bc，ac.例1(
22策略:所证不等式是关于的轮换对称式，注意到，然后轮换相加a,b,ca，b,2ab即可。
证明:？a,b,c是互不相等的实数，
222222？a，b,2ac,b，c,2bc,a，c,2ac.
222将上面三个同向不等式相加得: 2a，b，c,2ab，bc，ac。，，，，
222即 a，b，c,ab，bc，ac.
)得结论，是证明轮换对称不等式的常用技点评:分段应用基本等式，然后整体相加(乘
巧。
2( 利用“1”的代换型。
111，已知abcR且abc求证:例2( ,,,, ，，,1, ，，,9.abc
策略:做“1”的代换。
111a，b，ca，b，ca，b，c，，,，，证明: abcabc
bacacb,,,,,,,3，，，，，，,3，2，2，2,9. ,,,,,,abacbc,,,,,,
3.逆向运用公式型。
1111,,,,a，,b，转换成 1,a，,1,b，,然后逆向运 策略:为脱去左边的根号，将 ,,,,2222,,,,
a，b， 用均值不等式: 若a,b,R则 ab,.2
11，a,b,R,a，b,1求证: a，，b，,2. 例3(已知 22
11，a，113a,,2证明: ？a，,1,a，,,，.,,22242,,
13b同理 b，,， 242
1131，，于是有 a，，b，,，a，b,2.2222
点评:依据求证式的结构，凑出常数因子，是解决此类问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
的关键。 4( 挖掘隐含条件证明不等式。
111,,,,，a,b,R,a，b,1求证:1，1，,.例4(已知 ,,,,ab9,,,,
，,a,b,R,a，b,1
1,，2策略:由于 ,ab,说明a,b,R,a，b,1的背后隐含,a，b,,4ab,,,,2,,,
1 着一个不等式 ab,.4
1，证明:,,,，,1？,。 ？abRabab4
11111a，b12,,,,而 1，1，,1，，，,1，，,1，,1，8,9.,,,,abababababab,,,,
11,,,,？1，1，,9.,,,,ab,,,,
5( 用均值不等式的变式形式证明不等式。
，222222例5(已知，， a,b,c,R,求证: a，b，b，c，c，a,2a，b，c.
222222策略:本题的关键在于对 a，b,b，c,c，a的处理， 如果能找出
222222a，b与a，b间的关系，问题就可以解决，注意到a，b,2ab,2，，a，b, 222，，，其中a,b,c,R，，a，b,2，，a，b,a，b 即可。
，？a,b,c,R证明:
222，，？a，b,a，b2
222，， 。 b，c,b，c2
222，，c，a,c，a2
222222，，三式相加得: a，b，b，c，c，a,2a，b，c
22a，ba，b22点评:解题时要注意的变式应用。常用 (其中a，b,2ab,22，a,b,R)来解决有关根式不等式的问题。
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