2013高考复习资料 第三部分 函数

2013年高考 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 复习系列------《-函数》部分 第三部分 函数 1， 函数的概念 1， 函数中两个集合A和B必须是非空的数集，否则不能构成函数 2， 集合A 中的元素满足任意性，集合B中的元素满足唯一性 3， 只有一对一，多对一的对应关系才是函数关系 4， 函数具有方向性，即一般情况下，A到B的函数和B到A的函数不是同一个函数 5， 函数的三要素为：定义域，值域和对应关系 6， 集合A叫做函数的定义域，函数的值域是集合B的子集 7， 函数的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 为 ， 是一个整体，而不是乘法，还可以用 等来表示函数 2， 函数解析式的求法： 此方法是整体代换思想的体现，把括号里看成一个整体，把等式的右边化成含有这个整体的表达式即可 例1，已知 ，求 的表达式； 例2， 已知 ，求 的表达式； 【解析】：1，由 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 2，由 ，所以 此方法用于不宜配凑的题目或很难配凑出的题目，把括号里的式子换成t，等式的右边用t表示出来，求出 的表达式，然后在把t换成x即可，注意t的范围 例题同方法1中的 【解析】：1,设 ， 所以 即 2， 设 所以 即 如果已知到函数的类型，即已知 是什么样的函数，然后设出此函数的一般式，利用待定系数法求出参数即可 例1， 已知函数 是二次函数，且 ，求 的表达式； 【解析】1，方法一：由已知设 ，因为 分别设 所以得 ，所以 方法二： 所以 EMBED Equation.DSMT4 所以 即 所以 【变式训练1】 （1），已知函数 是一次函数，且 ，求 的表达式； （2），已知函数 是幂函数，且 ，求 的表达式； 【变式训练1解析】（1），由已知设 ， 因为 所以 即 （2），由已知设 ，且 ，所以 ，即 方 若已知中含有 和 , 和 的关系式时，可构造出另一个方程，然后求出 例1， 已知函数 定义域为 ，且 ，求 的表达式； 【解析】由已知得 解得 【变式训练2】已知函数 满足 求 的表达式； 【变式训练2解析】由已知得 ，解得 对于抽象函数的问题可以采用此方法解决 例1， 已知函数 的定义域为全体实数，且 ,对任意的 成立，求 的表达式； 【解析】利用特殊值代入，求出 的表达式 【方法一】由 ， ， 当 时， ，所以 【方法二】令 ，所以 ，令 得 【变式训练3】已知函数 对任意的 ，都有 成立，且 ，求 的表达式； 【变式训练3解析】令 ，令 代入上式得 三，分段函数问题 1， 分段函数的定义： 指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数。 2， 两点注意： （1）分段函数是一个函数，而不是几个函数 （2）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集 3，例题分析 例1、（12江西理3）若函数 ，则 （ ） A、 B、2 C、1 D、0 【解析】本题考查分段函数的概念和求值问题，根据自变量的取值范围选择正确的表达式代入即可求出。 ，所以 ，选B. 例2、（10陕西文13）已知函数 ＝ 若 ，则实数 【解析】此题考查分段函数求函数值问题， 例3、（10江苏11）已知函数 ,则满足不等式 的x的范围是__ ___。 【解析】 此题考查分段函数的单调性，由已知得 例4、（10天津文10）设函数 ， ，则 的值域是（ ） A、 B、 C、 D、 【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题，把每段函数的值域求出后取并集即可。 依题意知 ，然后求出即可【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】D 4，反馈练习 1、（10湖北文3）已知函数 ，则 （ ） A、4 B、 C、 D、 2、 (11年浙江理1)设函数 ,则实数 =（ ） A、-4或-2 B、-4或2 C、-2或4 D、-2或2 3、（11江苏理11）已知实数，函数，若，则 的值为________ 4、（10天津理8）若函数 ,若 ,则实数 的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 5、（11辽宁理9）设函数 ，则满足 的 的取值范围是（ ） A、 ，2] B、[0，2] C、[1，+ ） D、[0，+ ） 6、（10陕西理5）已知函数= ，若= ，则实数a等于 （C） A、 B、 C、 2 D、 9 7、（09天津8）已知函数 若 则实数 的取值范围是（ ） A B C D 【参考答案】 1、【解析】本题考查分段函数的概念和求值问题，根据分段函数可得 ，所以B正确. 2、【解析】：此题考查分段函数的概念，考查已知函数的函数值求对应自变量的值，此题要分类讨论，即当 ，故选B 3、【解析】此题考查分段函数求函数值问题，需要对自变量进行分类讨论，即 当 即 时， ，舍去 当 即 时， ，所以 4、【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。 由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论，另外分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错 【答案】C 5、【解析】此题考查分段函数知识，考查已知函数值域求自变量取值范围问题，考查对数不等式和指数不等式的解法。不等式等价于 或 解不等式组，可得 或 ，即 ，故选D. 6、【解析】此题考查分段函数和复合函数的理解和应用。 ，故选C 7、【解析】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 由题知 在 上是增函数，由题得 ，解得 ，故选择C。 四，函数的定义域问题 1， 函数定义域就是使函数的表达式有意义时自变量的取值范围，一定用集合或区间表示函数的定义域； 2， 已知函数的解析式（具体函数），求定义域问题的类型： （1）若解析式是整式，则函数的定义域为全体实数R； （2）若解析式中含有分式，则分母不为零； （3）若解析式中含有偶次根式，则被开方数为非负； （4）若解析式中含有 ，则底数x不为零； （5）若解析式中含有对数式，则真数大于零，底数大于零且不等于1； （6）若解析式中含有指数式，则底数大于零且不等于1； （7）若解析式中含有 表达式，则 ； （8）实际问题中不仅要考虑解析式的意义，还应该注意其实际意义； （9）若解析式中含有以上某几种情况，则应该去它们的交集； 3， 抽象函数的定义域问题： （1） 类型一：已知 定义域为A，求 定义域问题 【解法】只要解关于 的 不等式即可 （2） 类型二：已知 定义域为A，求 的定义域问题 【解法】已知 ，求函数 的值域即可 例1，求下列函数的定义域 （1） （2） （3） 【解析】（1）由 ，所以函数的定义域为 （2）由 ，所以函数的定义域为 （3）由 ，所以函数的定义域为 例2，（12江西理2）下列函数中，与函数 定义域相同的函数为 A、 B、 C、 D、 【命题立意】本题考查函数的概念和函数的性质定义域。 【解析】函数 的定义域为 。 的定义域为 , 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，所以定义域相同的是D,选D. 例3，（06广东卷）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【命题意图】本题考查具体函数的定义域问题，考查一元一次不等式组的解法【解析】由，故选B. 例4，（11年安徽文13）函数 的定义域是 . 【命题意图】本题考查具体函数的定义域问题，考查一元二次不等式的解法. 【解析】由可得，即，所以. 【答案】（－3,2） 例5，（11年广东文4）函数 的定义域是 （ ） A． B． C． D． 【命题意图】此题考查具体函数的定义域问题，考查一元一次不等式组的解法 【解析】由 ，【答案】C 例6，(07年重庆理)若函数 的定义域为 ，则 的取值范围为______． 【命题意图】此题考查函数定义域的逆向求解问题，考查指数不等式解法，考查一元二次不等式的逆向求解问题【解析】由已知得不等式 的解集为全体实数R 恒成立 恒成立 EMBED Equation.DSMT4 例7，已知函数 定义域是 ，则函数 的定义域为____________ 【命题意图】此题考查抽象函数定义域问题中的类型一，即已知 定义域为A，求 定义域问题，只要解关于 的 不等式即可 【解析】由 ，故答案为 例8，（12年广东文11）函数 的定义域为 . 【命题意图】此题考查具体函数的定义域的求解问题，考查集合的并集、交集的运算 【解析】 由 中的 满足： 或 ，所以定义域是 例9（12年山东文3）函数 的定义域为（ ） A、 B、 C、 D、 【命题意图】此题考查具体函数的定义域的求解问题，考查集合的并集、交集的运算 【解析】由已知得 ，选B 1、（12年安徽文2）设集合A={ }，集合B为函数 的定义域，则A B=（ ）A、（1，2） B、[1，2] C、 [ 1，2） D、1，2 ] 2、（2012高考江苏5）函数 的定义域为 ． 3、（11年江西文3）若 ，则 的定义域为( ) A、 B、 C、 D、 4、（11年江西理3）若 ，则定义域为( ) A、 B、 C、 D、 5、（09江西卷文）函数 的定义域为 （ ） A、 B、 　　　C、 　　　　D、 6、（09江西卷理）函数 的定义域为 ( ) A、 　　　B、 　　　C、 　　　　D、 7、（07年上海理）函数 的定义域是 ． 8、06年湖北理卷）设 ，则 的定义域为（ ） A、 B、 C、 D、 9、（10湖北文数5）函数 的定义域为（ ） A、 B、 C、 D、 10、（10广东理）函数 的定义域是 . 11、（06湖南理）函数 的定义域是( ) A、(3,+∞) B、[3, +∞) C、(4, +∞) D、[4, +∞) 12、（06湖南文,）函数 的定义域是（　　　　） 　 A、(0,1］　　　　　B、 (0,+∞)　　　　C、 (1,+∞)　　　　D、［1,+∞) 13、（07江西文3）函数 的定义域为（　　） A、 B、 C、 D、 14、（08全国一）函数 的定义域为（ ） A、 B、 C、 D、 15、（08湖北理卷）函数的定义域为（ ） A、 B、 C、 D、 16、（08安徽理科卷13）函数 的定义域为 ． 17、已知函数 定义域为R，则求k的范围是 18、已知函数 定义域为 ，求函数 的定义域 【参考答案】 1、【命题意图】此题考查集合的交集的运算，考查一元一次不等式组的解法，考查具体函数的定义域问题【解析】 ， 选 2、【命题意图】考查函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得 。答案： 3、【命题意图】本题考查具体函数的定义域问题，考查对数不等式及一元一次不等式解法【解析】由 解得 【答案】C 4、【命题意图】本题考查具体函数的定义域问题，考查对数不等式和一元一次不等式的解法【解析】由 解得 ，故 【答案】A 5、【命题意图】本题考查具体函数的定义域问题，考查一元二次不等式解法 【解析 】 由 得 或 ,故选D. 6、【命题意图】本题考查具体函数的定义域问题，考查对数式中真数的性质及一元一次不等式和一元二次不等式的解法 【解析】 由 .故选C 7、【命题意图】本题考查具体函数的定义域问题，考查对数式中真数的性质及一元一次不等式组的解法【解析】由 ，故答案为 8、【命题意图】本题考查抽象函数的定义域问题 【解析】 的定义域是（－2，2），故应有 且 ，解得 或 故选B。 9、【命题意图】本题考查具体函数的定义域问题，考查对数不等式和一元一次不等式解法 【解析】由 ，所以选A 10、【命题意图】本题考查具体函数的定义域问题，考查对数式中真数的性质及一元一次不等式解法【解析】由 ∴ ，所以答案为 11、【命题意图】本题考查具体函数的定义域问题，考查对数不等式的解法 【解析】由 ，故选D. 12、【命题意图】本题考查具体函数的定义域问题，考查对数不等式的解法 【解析】由 ，故选D. 13、【命题意图】本题考查具体函数的定义域问题,考查分式不等式的解法 【解析】由 选A. 14、【命题意图】本题考查具体函数的定义域问题，考查一元二次不等式和一元一次不等式的解法【解析】由 ，故选C 15、【命题意图】本题考查具体函数的定义域问题，考查一元二次不等式解法，及不等式组的如何求解集问题 【解析】由 ，故选D 16、【命题意图】本题考查具体函数的定义域问题，考查对数不等式和绝对值不等式的解法【解析】由 ，故答案为 17、【命题意图】此题考查函数定义域的逆向求解问题，考查一元二次不等式的逆向求解问题 【解析】由已知得 的解集为R 解集为R，所以 18、【命题意图】此题考查抽象函数的定义域问题，考查一元一次和一元二次不等式的解法【解析】由函数 定义域为 可知 ，所以可求出函数 的定义域为 ，则函数 的定义域可由 求出，得 五，判断两个函数是否为同一个函数的方法 1，判断两个函数是否为同一个函数的方法 当且仅当两个函数的定义域和解析表达式都相同时两个函数才是同一个函数 2，例题分析 例1， 判断下列函数是否为同一个函数 (1) 与 (2) 与 (3) 与 (4) 与 (5) 与 (6) 与 (7) 与 【解析】(1)不是同一个函数，因为解析式即对应法则不同，即 ； (2) 不是同一个函数，因为定义域不同， 定义域是 ，而 定义域为全体实数R ；(3)和(4)是同一个函数；(5)不是同一个函数，因为定义域不同， 定义域为R，而 定义域是 ；(6) 不是同一个函数，因为定义域不同， 定义域为 ，而 定义域是 (7) 不是同一个函数，因为定义域不同， 定义域为R，而 定义域是 六，求函数的值问题 1， 设函数 ， ，如果自变量 取值为a，则由法则f确定的y的值叫函数在 时的函数值，记为 2， 常见的题目类型及方法 (1) 先求出函数解析，然后代入求值 例1， 已知 ，则 的值是 【解析】思路一：可利用方程法先求出函数的解析表达式，然后代入求值 由 ，所以答案为2 思路二：构造关于 的方程，即 【变式训练1】已知 ，则 = 【变式训练1解析】此题考查分段函数求函数值问题，注意自变量的范围，然后直接代入即可求出，即 (2) 整体法 例2， 已知， ，则 = 【解析】由已知和被求式的特点可知，当自变量互为倒数时对应函数值的和为一个常数，即 ， 所以 【变式训练2】已知 ，则 = 【变式训练2解析】考查函数奇偶性的应用，利用整体代换思想可求出；即 (3) 赋值法：对于与抽象函数有关的求值问题可采用此方法 例3， 已知 ,若 ,求 的值 【解析】由已知可得：令 ,可求出 ; 令 ,可求出 ; 【变式训练3】对任意的 ，都有 ，若 ， 则 = 【变式训练3解析】由已知可得，令b=1，所以 ，即原式=2007×2=4014 【变式训练4】若 ，则 = 【变式训练4解析】由已知令 七，求函数的值域问题 1， 求函数的值域首先要确定函数的定义域，函数的值域就是当自变量x取不同值时对应的y值的集合； 2， 函数的值域一定要用区间或集合表示； 3， 函数的值域是函数值的集合，与函数的最值不同； 4， 函数值域的求法 有些函数的结构不复杂，可通过基本初等函数的值域结合不等式的性质直接求值域；要对学习过的基本初等函数（一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）的性质和不等式的性质熟练的掌握； 例1，（10年山东文第3题）函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【命题意图】此题考查简单函数的值域求法，考查对数函数的单调性和指数函数的性质 【解析】 答案：A 例2，（2010重庆文第4题）函数的值域是（ ） A． B. C. D. 【命题意图】此题考查简单函数的值域求法，考查指数函数的性质和不等式的性质 【解析】 ，答案：C 形如 的函数，把其化为一个常数和另一个函数的和（差）的形式，即 或 ，即对那个函数进行求取值范围即可； 例3，求下列函数的值域 （1） （2） 【解析】（1） ，所以函数的值域是 （2） 换元法求函数的值域分两种情况：（1）代数换元，形如 ，把根号换掉（2）三角换元：利用同角三角函数平方关系： （3） 求三角函数的值域：形如 这些函数都可以用此方法 例4，求下列函数的值域 （1） （2） (3) (4) 【解析】（1）设 ， 所以 （2）设 ， 且 （3）由已知得 ， ， 所以 ，可求出此函数值域为 （4）设 ，所以函数值域是 如：（1）在公共定义域内：简记为：增+增=增 减+减=减 增-减=增 减-增=减。 （2）若 ，则 与 单调性相同；若 ，则 与 单调性相反； （3）函数 与 单调性相反 例5，求下列函数的值域 （1） （2） 【解析】由单调性的性质可知（1）函数在 内递减，所以此函数的值域是 （2）函数在 内单增，所以此函数的值域是 形如 把函数转化为关于 的二次方程，通过该方程有实数根，判别式 可求，要检验等号能否成立； 例6，求下列函数的值域 （1） （2） 【解析】（1）由已知可得 当 时， ；所以 时， （2）由已知得 根据函数表达式的特点，构造斜率和两点间距离公式来求解。形如 可构造出一个动点和一个定点的斜率的问题解决。如 ，可构造一个动点和两个定点的距离之和或之差的最值问题； 例7，求函数 和 值域 【分析】解法一（代数法）：利用三角函数的有界性及辅助角公式求值域 （1）因为 解得 （2）因为 解法二：（几何法）数形结合，构造动点和定点的斜率求值域 （1）构造动点 与定点 的斜率求解，其中 动点 在以原点为圆心的单位圆上运动；如右图，可求出 （2）构造动点 与定点 的斜率，其中动点 在 线段 上运动 均值不等式为 ，使用时要同时满足“一正、二定、三相等”这三个条件。 例8，求下列函数的值域 （1） （2） （3） （4） 【分析】使用均值不等式求值域，一定要注意同时满足“一正、二定、三相等”这三个条件，（1）函数的定义域是 ，要分类讨论，当 时， ，当 时，等号成立，所以此时函数值域是 。当 时， ，当 时等号成立，所以此时函数值域是 ，综上所述：函数的值域是 （2） ，当 时，等号成立，所以函数的值域是 （3） ，当 时等号成立，所以函数值域是 （4） ，当 时等号成立，所以函数的值域是 步骤 新产品开发流程的步骤课题研究的五个步骤成本核算步骤微型课题研究步骤数控铣床操作步骤 ：（1）确定函数的定义域；（2）求函数的导数；（3）求函数的单调区间（4）求函数的极值（5）求函数的最值 例8，求下列函数的值域 1， 已知 ，求 上的最值 2， 已知 ，①若 在 上是增函数，求 的范围②当 是 极值点时，求在 上最大值 【分析】此题考查利用导数求函数的值域或最值问题，这是历年来高考考查的重点内容之一 （1） 2 0 + 0 极小值 极大值 所以 ，即最大值是9，最小值是-16 （2）① ，又因为 在 上是增函数 在 恒成立 在 恒成立 ②因为 是 极值点 所以函数在 递增，在 递减，且 ，所以函数的最大值是-12 5，反馈练习 1，求下列函数的值域 （1） （2） （3） ， （4） （5） ，（ ） （6） （7） （8） 2、（09全国Ⅰ理16）若 ，则函数 的最大值为 。 3、（09江西文6）函数的值域为（ ） A、 B、 C、 D、 4、（07山东理16）函数 的图象恒过定点 ,若点 在直线 上,其中 ,则 的最小值为_______. 5、（12湖南理6）函数 的值域为 （ ） A、 [ -2 ,2] B、[- ] C、 , D、 6、（12山东文8）函数 的最大值与最小值之和为（ ） A、 　　　B、0　　C、－1　　D、 【参考答案】 1、【解析】考查函数值域的求法（1）利用直接法可求，即 （2）利用分离常数法可求。即 （3）利用换元法可求。即设 ，所以当 时，函数取最小值为 ，当 时，函数取最大值为57，所以函数的值域为 (4)利用换元法可求。即设 （5）利用换元法可求，即 设 ， (6)利用换元法可求，即 ，所以 （7）利用均值不等式可求， 即 ，当 时，等号成立，所以函数的值域是 2、【解析】考查三角函数值域的求法，此题利用换元法可求值域 即令 EMBED Equation.DSMT4 , 3、【解析】考查二次函数型值域问题。通过函数形状发现此函数很像二次函数，故令 可得 从而求解出二次函数值域【答案】C 4、【解析】此题考查对数函数图像过定点和对数函数的左右上下平移问题，考查点和直线位置关系的应用，考查利用均值不等式求最值问题， 函数 的图象恒过定点 ， ， ， ， 5、【解析】此题考查三角函数的值域求法，利用三角恒等变换把 化成 的形式，利用 ， 求得 的值域. ， ， 值域为[- ]. , 6、【解析】此题考查三角函数求值域问题，利用三角函数的单调性可以求出，因为 ，所以 ， ，即 ，所以当 时，最小值为 ，当 时，最大值为 ，所以最大值与最小值之和为 ，选A. 八，函数的单调性问题 （一）函数单调性的判断方法： 1，方法一：定义法证明函数单调性的一般步骤： （1）取值：任取 ， EMBED Equation.3 ，且 ； （2）作差： ； （3）变形定号：将 通过因式分解、通分、有理化、配方等手段变形到能判断其符号； （4） 下结论：若 ，即 ，则 是增函数；若 ，即 ，则 是减函数。 2，方法二:图像法：体现属性集合思想，通过观察函数图象判断；从图像观察：若在区间A上沿x轴正方向从左到右是逐渐上升（下降）的，则函数 在区间A上是增（减）函数 3，方法三：导数法：利用导数判断函数的单调性 （1）若 的导函数在某个区间上满足 ，则函数在此区间上递增； （2）若 的导函数在某个区间上满足 ，则函数在此区间上递减； 4，性质法： （1）若 ， 均为区间 上的增函数，则 也为区间 上的增函数； （2）若 ， 均为区间 上的减函数，则 也为区间 上的减函数； （3）若 为区间 的上的增函数， 为区间 上减函数，则 为区间 上的增函数； （4）若 为区间 上的减函数， 为区间 上的增函数，则 为区间 上的减函数； 简记为：增+增=增 减+减=减 增-减=增 减-增=减。 （5）若 ，则 与 单调性相同；若 ，则 与 单调性相反； （6）函数 在公共定义域内与 的单调性相反； （7）函数 （ ）在公共定义域内与 单调性相同； （8）奇函数在其对称区间上单调性相同，偶函数在其对称区间上单调性相反； （9）若函数 在某区间A上是增（减）函数，则 在区间A的任一子区间上也是增（减）的 5，复合函数单调性的判断方法： 单调性满足“同增异减”法则，即 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 （二）常见的结论 1，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2，如果函数 在区间 上是增函数或减函数，那么就称函数 在区间 上具有单调性，区间 叫做函数 的单调区间； 3，函数单调性定义的等价形式： （1）设 ，且 ， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 在区间 上为递增的， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 在区间 上为递减的； （2），设 ，且 ， EMBED Equation.3 在区间 上为为递增的， EMBED Equation.3 在区间 上递减的； （3）几何意义：增（减）函数图像上任意两点 连线的斜率都大（小）于0 4，有些函数是单调函数，如一次函数，对数函数和指数函数等，有些不是单调函数如二次函数，三角函数等 5，若函数在A，B区间上是递增（减），则在 的区间上一般不具有增（减）性 6，单调性的应用：求函数的最值（或值域）。 一般地，设函数 的定义域为 ： （1）如果存在 ,对于任意 ，都有 ，那么就称 是函数 的，记作 ； （2）如果存在 ,对于任意 ，都有 ，那么就称 是函数 的，记作 。 （三）例题分析 例1、（12广东理4）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A、 B、 C、 D、 【分析】此题考查函数的单调性判断问题，函数 在区间（0，+∞）上为增函数；函数 在区间（0，+∞）上为减函数；函数 在区间（0，+∞）上为减函数；函数 在区间（0，+∞）上为先减后增函数．故选A． 例2、若 成立，则（ ） A、 B、 C、 D、 【分析】此题考查函数单调性的应用，需要构造出函数，然后利用函数的单调性求解 ，设 ，可知此函数是增函数，且 ，所以选C 例3、（09福建理5）下列函数 中，满足“对任意 ， EMBED Equation.DSMT4 （0， ），当 < 时，都有 > 的是（ ） A、 = B、 = C 、 = D、 【分析】此题考查函数单调性的定义的符号语言描述形式，依题意可得函数应在 上单调递减，故由选项可得A正确。 例4、（10江西理19） （本小题满分12分）设函数。 （1）当a=1时，求的单调区间。 （2）若在上的最大值为，求a的值。 【解析】此题考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。 解：对函数求导得：，定义域为（0，2） （1） 单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。 当a=1时，令 当为增区间；当为减函数。 （2） 区间上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值。 当有最大值，则必不为减函数，且>0，为单调递增区间。 最大值在右端点取到。。 例5、（12山东理3）设 且 ，则“函数 在 上是减函数 ”，是“函数 在 上是增函数”的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 【解析】此题考查函数的单调性和充分条件的判断，若函数 在R上为减函数，有 。函数 为增函数，有 ，所以 ，所以“函数 在R上为减函数”是“函数 为增函数”的充分不必要条件，选A. 例6，若函数 在 上是减函数，则 的取值范围为_________ 【解析】此题考查一次函数的单调性问题，当 时，一次函数单调递增，当 时，一次函数单调递减。因为此函数在 上是减函数，即 例7，已知 在区间 上是增函数，则 的范围是（ ） A B C D 【解析】此题考查二次函数单调性问题，因为此二次函数开口向上，且在区间 上是增函数，所以对称轴要小于等于4，即 ，所以选B （四）反馈练习 1、（10北京文6）给定函数① ，② ，③ ，④ ，其中在区间 上单调递减的函数序号是（ ） A、①② B、②③ C、③④ D、①④ 2、(11江苏2)函数 的单调增区间是__________ 3、（06年北京理科第5题）已知 是 上的减函数，那么 的取值范围是 （ ）A、（0，1） B、（0， ） C、 , D、 4、(09广东文8) 函数 的单调递增区间是 （ ） A、 B、(0,3) C、(1,4) D、 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5、（09陕西文10）定义在R上的偶函数 满足：对任意的 ，有 ，则（ ） A、 B、 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C、 D、 【参考答案】 1、【解析】此题考查函数的单调性，可知① 在 上是增函数，② 根据复合函数单调性法则可知在 是减函数，③ 在 为减函数，④ 为增函数，所以答案：B 2、【解析】此题考查考察复合函数的单调性问题，因为 ,所以定义域为 ,由复合函数的单调性知:函数 的单调增区间是 . 3、【解析】此题考查函数的单调性问题，利用数形结合思想可求解，把函数图像在画出来后，依题意，有 且 ，解得 ，又当 时， ，当 时， ，所以 ，解得 ，故选C 4、【解析】此题考查函数单调区间的求法：导数法， 即 ,令 ,解得 ,故选D 5、【解析】此题考查函数单调性的定义的等价形式，由函数单调性的定义知 等价于 则 在 上单调递增, 又 是偶函数,故 在 单调递减.且满足 时, , ,得 ,故选A. 九，函数的奇偶性问题 （一）函数奇偶性的定义： 1，一般地，如果对于函数 定义域内的任意一个 ，都有 ，那么就称函数 为奇函数； 2，一般地，如果对于函数 定义域内的任意一个 ，都有 ，那么就称函数 为偶函数； （二）函数奇偶性的判断方法： 1， 图像法：如果函数 的图像关于原点对称，则函数 是奇函数；如果函数 的图像关于y轴对称，则函数 是偶函数； 2， 定义法： (1)先判断函数 的定义域是否关于原点对称，如果不关于原点对称，则函数 是非奇非偶函数；否则做第（2）歩； (2)判断 与 的关系，如果 ，则函数 为偶函数；如果 ，则函数 为奇函数； 3，变式法： （1）(1)先判断函数 的定义域是否关于原点对称，如果不关于原点对称，则函数 是非奇非偶函数；否则做第（2）歩； (2)判断 与 的关系，如果 或 ，则函数 为偶函数；如果 或 ，则函数 为奇函数； （三）常见的结论： 1， 函数 为偶函数 函数 的图像关于y轴对称； 2， 函数 为奇函数 函数 的图像关于原点对称； 3， 函数 为偶函数 ； 4， 若二次函数 ，则 ； 5， 若奇函数的定义域为全体实数R ，则 ； 6， 在公共的定义域上，若 ， 均为奇（或偶）函数，则 仍为奇（或偶）函数，简记为：奇 奇=奇、 偶 偶=偶； 7， 函数 的奇偶性满足：“同偶异奇”的法则，（1）若 ， 奇偶性相同，即都是奇函数或都是偶函数时，则 为偶函数；（2）若 ， 奇偶性相异，即一奇一偶函数，则 为奇函数。 简记为：同偶异奇 8， 奇函数的在对称区间上的单调性相同；偶函数的在对称区间上的单调性相反； 9，若 既是奇函数，又是偶函数，则 恒成立； 10，“ 为奇函数”是“ ”的既不充分也不必要条件； 11，函数 ，若是奇函数，则 ；若是偶函数，则 12，函数 ，若是奇函数，则 ；若是偶函数，则 （四）例题分析 例1、（12年广东文4）下列函数为偶函数的是（ ） A、 B、 C、 D、 【解析】此题考查函数奇偶性的判断方法，由定义可以知道， 与 是奇函数,， 的定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，故选 例2、（12重庆文12）若 为偶函数，则实数 __________________ 【解析】此题考查函数奇偶性的应用，此题可以利用奇偶性定义求解，也可以利用二次函数是偶函数的条件：一次项系数等于零求解，容易算出 例3、设 ，已知 ，则 的值是___________ 【解析】此题考查函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性求函数值，即 EMBED Equation.DSMT4 例4、已知函数 为偶函数，则 的值是（ ） A、 B、 C、 D、 【解析】此题考查函数奇偶性的应用，此题可以利用奇偶性定义求解，也可以利用二次函数是偶函数的条件：一次项系数等于零求解，容易求出 例5、已知函数 为偶函数，其定义域为 ，求函数值域。 【解析】考查函数奇偶性的应用和偶函数的性质，由已知得 ， 所以函数为 例6、(12上海理9)已知 是奇函数，且 ，若 ，则 。 【解析】此题考查函数奇偶性的应用和性质。 因为 为奇函数，所以 ，所以 ， ， 所以 例7、(12陕西理2)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A、 B、 C、 D、 【解析】此题考查函数的奇偶性和单调性两种性质，根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A非奇非偶的增函数；B是奇函数且是减函数；C是奇函数且在 ， 上是减函数；D中函数可化为 易知是奇函数且是增函数.故选D. 例8、（10重庆理5）函数 的图象（ ） A、 关于原点对称 B、 关于直线 对称 C、关于x轴对称 D、关于y轴对称 【解析】此题考查函数奇偶性的性质，偶函数图形像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称，因为 所以 是偶函数，图像关于y轴对称，选D （五）反馈练习 1、（11山东理5）对于函数 ， ，“ 的图象关于 轴对称”是“ 是奇函数”的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、即不充分也不必要条件 2、（11安徽理3）设是定义在上的奇函数，当 时， ，则 （ ） A、 B、 Ｃ、１　　　Ｄ、３ 3、(11全国新课标理2)下列函数中，既是偶函数又是区间 上的增函数的是（ ） A 、 B、 C、 D 、 4、(11广东理4)设函数 和 分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A、 是偶函数 B、 是奇函数 C、 是偶函数 D、 是奇函数 5、(11湖北理6)已知定义在R上的奇函数 和偶函数 满足 且 ，若 ，则 （ ） A、2 B、 C、 D、 6、(11上海理16)下列函数中，既是偶函数，又是在区间 上单调递减的函数为 （ ）A、 B、 C、 D、 7、(11浙江理11)若函数 为偶函数，则实数 。 8、（10山东文5理4数）设 为定义在上的奇函数，当 时， （为常数），则 （ ）A、-3 B、-1 C、1 D、3 9、（10江苏卷）设函数 是偶函数，则实数a=______________ 10、（09辽宁文12）已知偶函数 在区间 单调增加，则满足 的 取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、 11、（11湖北理6）已知定义在R上的奇函数 和偶函数 满足 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 12、（12大纲文3）若函数 是偶函数，则 （ ） A、 B、 C、 D、 【参考答案】 1、【解析】此题考查函数的奇偶性的性质，若 是奇函数，则 的图象关于 轴对称；反之不成立，比如偶函数 ，满足 的图象关于 轴对称，但不一定是奇函数，答案应选B。 2、【解析】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题..故选A. 3、【解析】此题考查初等函数的奇偶性和单调性，由偶函数可排除A，再由增函数排除C,D,故选B； 4、【解析】此题考查函数奇偶性的定义， 设 ，所以 是偶函数，所以选A. 5、【解析】此题考查函数奇偶性的应用， 因为 则 ，联立可得 ，又因为 ，故a=2.因为 则 ，所以选B. 6、【解析】此题考查函数的奇偶性和单调性的性质，由偶函数,排除B;由减函数,又排除B、D，故选A. 7、【解析】此题考查偶函数的定义，由 ， 则 8、【解析】此题考查函数奇偶性的应用求函数值问题，考查结论：若奇函数的定义域为全体实数R ，则 ； 因为 为定义在上的奇函数，所以 ， ，选D 9、【解析】考查函数的奇偶性的知识。 根据 的奇偶性满足：“同偶异奇”法则，可知，设 为奇函数，所以 10、【解析】此题考查函数的性质的应用，利用偶函数的性质可以避免分类讨论，由于 是偶函数，故 ∴得 ,再根据 的单调性 得 ,所以选A 11、【解析】此题考查函数奇偶性性质的应用， 由条件 即 由此解得 ， 所以 ，所以选B. 12、【解析】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质，。由 为偶函数可知，轴是函数图像的对称轴，而三角函数的对称轴是在该函数取得最值时取得，故 ，而 ，故时， ，故选答案C。 十，函数的周期性问题 （一）函数周期性 1，函数周期性的定义： 若一个函数 存在常数T 对定义域内任一个自变量 ，都有 成立，则称 为周期函数， 称为 的周期。 2，最小正周期 若函数 为周期函数，且存在最小正数 ，则 叫函数 的最小正周期，通常所说的周期（在没有特殊说明的情况下）就是最小正周期。 3，若 是函数 的周期，则 也一定是 的周期，即函数 的周期有无数个。 （二）常见结论 1，若对定义域内 EMBED Equation.DSMT4 ，都有 成立，则 为周期函数，且最小正周期是 ； 2，若对定义域内 EMBED Equation.DSMT4 ，都有 成立，则 为周期函数，且最小正周期是 ； 3，若对定义域内 EMBED Equation.DSMT4 ，都有 成立，则 为周期函数，且最小正周期 【说明】由 成立，可知函数 的对称轴是 ，由 成立，可知函数 的对称轴是 4, 若对定义域内 EMBED Equation.DSMT4 ，都有 成立，则 为周期函数，且最小正周期是 ； 5，若对定义域内 EMBED Equation.DSMT4 ，都有 成立，则 为周期函数，且最小正周期是 ； 【说明】由 成立，可知函数 的对称中心是 6，若对定义域内 EMBED Equation.DSMT4 ，都有 成立，则 为周期函数，且最小正周期 ； 7，若对定义域内 EMBED Equation.DSMT4 ，都有 成立，则 为周期函数，且最小正周期 ； 8，若对定义域内 EMBED Equation.DSMT4 ，都有 成立，则 为周期函数，且最小正周期 ； 9，若对定义域内 EMBED Equation.DSMT4 ，都有 成立，则 为周期函数，且最小正周期 ； 10，函数 周期为 ，函数 周期为 ； （三）例题分析 例1、（12重庆理7）已知 是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“ 为 上的增函数”是“ 为 上的减函数”的（ ） A、既不充分也不必要的条件 B、充分而不必要的条件 C、必要而不充分的条件 D、充要条件 【解析】此题考查函数的奇偶性、单调性、周期性性质的综合应用。因为 为偶函数，所以当 在 上是增函数，则 在 上则为减函数，又函数 的周期是4，所以在区间 也为减函数.若 在区间 为减函数，根据函数的周期可知 在 上则为减函数，又函数 为偶函数，根据对称性可知， 在 上是增函数，综上可知，“ 在 上是增函数”是“ 为区间 上的减函数”成立的充要条件，选D. 例2，（10广东理数3）若函数 与 的定义域均为R，则（ ） A、 与 均为偶函数 B、 为偶函数， 为奇函数 C、 与 均为奇函数 D、 为奇函数， 为偶函数 【解析】此题考查函数奇偶性的判断， 由已知可得 ， ，所以选B 例3，(11山东卷理10)已知 是 上最小正周期为2的周期函数，且当 时, ,则函数 的图象在区间上与 轴的交点的个数为 A、6 B、7 C、8 D、9 【解析】此题考查函数的周期性，考查基本函数图像，考查数形结合思想，即因为当 时, ,又因为 是 上最小正周期为2的周期函数，且 ,所以 ,又因为 ,所以 , ,故函数 的图象在区间上与 轴的交点的个数为7个,选B. 例4，(11全国卷理科9)设 是周期为2的奇函数，当 时， = ，则 =（ ）A、- B、 C、 D、 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 故选A 例5、（09江西文4）函数 的最小正周期为（ ） A、 B、 C、 D、 【解析】此题考查三角函数周期的求法， 由 可得最小正周期为 ,故选A （四）反馈练习 1、（10安徽理4）若 是R上周期为5的奇函数，且满足 则 =（ ）A、-1 B、1 C、-2 D、2 2,(10重庆理 15)已知函数 满足： ， ，则 =_____________. 3，（09山东理10）定义在R上的函数 满足 ，则 的值为（ ） A、 B、 0 C、 1 D、 2 4、（12山东理8）定义在 上的函数 满足 .当 时， ，当 时， 。则 （ ）A、335 B、338 C、1678 D、2012 5、（09广东文9）函数 是（ ） A、最小正周期为 的奇函数 B、 最小正周期为 的偶函数 C、最小正周期为 的奇函数 D、最小正周期为 的偶函数 6、（09山东文12）已知定义在R上的奇函数 ，满足 ,且在区间[0,2]上是增函数,则( ). w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A、 B、 C、 D.、 7、定义在R上的函数 满足 ，且 ，则 ____________. 8、（10陕西数3）函数 是 （ ） A、最小正周期为 的奇函数 B、最小正周期为 的偶函数 C、最小正周期为 的奇函数 D、最小正周期为 的偶函数 9、（10浙江理数11）函数 的最小正周期是________ . 10、若函数 对任意的 ，都有 ，若 ，则 __________ 【参考答案】 1、【解析】此题考查函数性质的应用，由已知得 EMBED Equation.DSMT4 ， ，选A 2、【解析】此题考查函数的周期性的应用，从已知条件中寻找出函数的周期是关键， 取 得 【法一】通过计算 ，寻得周期为 【法二】取 ,有 ,同理 联立得 ，所以T=6 故 3、【解析】此题考查函数的周期性的应用，从已知条件中寻找出函数的周期是关键，由已知得 , 所以函数 的值以6为周期重复性出现.,所以 ,故选C. 4、【解析】此题考查函数周期性的应用，由 ，可知函数的周期为6，所以 ， ， ， ， ， ， 所以在一个周期内有 ，所以 ，选B. 5、【解析】此题考查三角函数周期的求法，考查二倍角余弦公式的逆向应用，即因为 为奇函数, ,所以选A. 6、【解析】本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题.。因为 满足 ,所以 ,所以函数是以8为周期的周期函数, 则 , , ,又因为 在R上是奇函数， ,得 , ,而由 得 ,又因为 在区间[0,2]上是增函数,所以 ,所以 ,即 ,故选D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 7、【解析】此题考查函数周期性的应用，由 对称轴为 ，且 ，所以函数为奇函数，所以周期为8，所以 8、【解析】本题考查三角函数的性质，考查二倍角正弦公式的逆向应用 ，所以周期为 的奇函数 9、【解析】本题主要考察了三角恒等变换及相关公式，考查三角函数周期的求法，属中档题 故最小正周期为π， 10、【解析】此题考查函数周期性的应用。由已知得函数的周期是4，所以 ，则 十一，函数的图像变换 （一）函数图像变换 1，平移变换 （1）左右平移： （左加右减） （2）上下平移： 2，对称变换 （1） （2） （3） 3，伸缩变换 （1） （2） 4，翻折变换 （1） （2） 5，三角函数的变换 1、把 的图像上所有各点的横坐标保持不变，当 时，纵坐标伸长为原来的A倍；当 时，纵坐标缩短为原来的A倍就可以得到函数 ( )图像; 2、，把 的图像（当 时）向左平移 个单位或（当 时）可向右平移 个单位就可以得到函数 的图像; 3、把 的图像上所有各点的纵坐标保持不变(当 时)横坐标坐标缩短为原来的 或（当 时）横坐标伸长为原来的 倍可得到 图像。 4、 （二）例题分析 例1、（12安徽文7）要得到函数 的图象，只要将函数 的图象（ ） A、 向左平移1个单位 B、 向右平移1个单位 C、 向左平移 个单位 D、 向右平移 个单位 【解析】此题考查三角函数的平移问题， 因为 ，所以只要把 向左平移 即可，所以选C 例2 (11重庆理5)下列区间中，函数 ，在其上为增函数的是（ ） A、 B、 C、 D、 【解析】此题考查函数图像的变换问题。用图像法解决，将 的图像关于y轴对称得到 ，再向右平移两个单位，得到 ，将得到的图像在x轴下方的部分翻折上来，即得到 的图像。由图像，选项中 是增函数的显然只有D 例3、（09山东理3）将函数 的图像向左平移 个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是 （ ） A、 B