全错位排列
先看下面例子：
例1． 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。
这个问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
在高中很多参考书上都有，有几种解法，其中一种解法是用排除法：
先考虑5个全排列，有
种不同的排法，然后除去甲排在第一（有
种）与乙排第二（也有
种），但两种又有重复部分，因此多减，必须加上多减部分，这样得到共有：
种。
现在考虑：
例2．5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少种不同的站法。
仿上分析可得：
种
这与全错位排列很相似。
全错位排列——即n个元素全部都不在相应位置的排列。看下面的问题
例3．5个人站成一排，其中A不站第一位，B不站第二位，C不站第三位，D不站第四位，E不站第五位，共有多少种不同的站法。
解析：上面例1，例2实际上可以看成
个不同元素中有
不排在相应位置。
公式一：
个不同元素排成一排，有
个元素
不排在相应位置的排列种数共有：
种
这个公式在
时亦成立，从而这个问题可能用上面的公式得出：
种
（注意
）
（1993年
高考
地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词
）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来。然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。则四张贺年卡不同的分配方式有
(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种
解析：由上面公式得：
种，∴选择B答案
因此可得到全错位排列的公式：
个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，……，第
个元素不在第
位的排列数为：
这实际上是公式一的特殊情况。这个公式很有用，只要有特殊元素不站特殊位置的问题，都可以用这个公式很快得到解决，另一个计算公式：
这是著名的信封问题,很多著名的数学家都研究过
瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：
用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封，a、b、c……表示n份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作f(n)。假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：
（1）b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有f(n-2)种错装法。
（2）b装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的） 份信纸b、c……装入（除B以外的）n－1个信封A、C……，显然这时装错的方法有f(n-1)种。
总之在a装入B的错误之下，共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。a装入C，装入D……的n－2种错误之下，同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法，因此:
f(n)=(n-1) {f(n-1)+f(n-2)}
这是递推公式，令n＝1、2、3、4、5逐个推算就能解答蒙摩的问题。
f(1)=0 f(2)=1 f(3)=2 f(4)=9 f(5)=44
_1239369826.unknown
_1239369988.unknown
_1239370197.unknown
_1239370212.unknown
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_1239370001.unknown
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浙公网安备 33021202002483