2.4 2.4 随机变量函数的分布 随机变量函数的分布
2.4.1 2.4.1 离散型随机变量的函数的分布 离散型随机变量的函数的分布
§ § 问题 问题: :
设随机变量 设随机变量X X的分布列为 的分布列为
P P( (X= X=x x k k )= )=p p k k , k=1,2, , k=1,2,∙∙∙ ∙∙∙. .
求 求Y=g Y=g( (X X) )的分布列 的分布列. .
§ § 方法步骤 方法步骤: :
1) 1)由 由 g g( (x x k k ), ), k=1,2, k=1,2,∙∙∙ ∙∙∙, ,得 得Y Y的所有可能取值 的所有可能取值: : y y i i , , i i=1,2, =1,2,∙∙∙ ∙∙∙
2) 2)计算 计算Y Y 的分布列 的分布列: :
. , 2 , 1 , ) (
) (
L = å = =
=
i p y Y P
i k y x g
k i
§ § 举例 举例
例 例1 1 设 设D.R.V. X D.R.V. X的分布列为 的分布列为
X 0 X 0 π π/2 /2 π π 3 3π π/2 /2 ∙∙∙ ∙∙∙ n nπ π/2 /2 ∙∙∙ ∙∙∙
P p P p pq pq pq pq 2 2 pq pq 3 3 ∙∙∙ ∙∙∙ pq pq n n ∙∙∙ ∙∙∙
求 求Y= Y=SinX SinX 的分布列 的分布列. .
2.4.2 2.4.2 连续型随机变量的函数的分布 连续型随机变量的函数的分布
§ § 问题 问题: :设 设C.R.V. X C.R.V. X的概率密度函数为 的概率密度函数为f f( (x x) ), ,求函数 求函数Y=g Y=g( (X X) )
的分布 的分布. .
§ § 方法步骤 方法步骤: :
情形 情形1: 1:Y=g Y=g( (X X) )的所有可能取值为 的所有可能取值为y y i i , , i i=1,2, =1,2,∙∙∙ ∙∙∙, ,求 求Y Y的分布列 的分布列. .
1) 1) 确定集合 确定集合 D D i i = ={ {x x||g g( (x x)= )= y y i i }, }, i i=1,2, =1,2,∙∙∙ ∙∙∙
2) 2) 计算 计算Y Y 的分布列 的分布列: :
P P( (Y Y= = y y i i )= )=P P( (X X∈ ∈ D D i i ), ), i i=1,2, =1,2,∙∙∙ ∙∙∙
情形 情形2: 2:Y=g Y=g( (X X) )为连续型随机变量 为连续型随机变量, ,求 求Y Y的概率密度函数 的概率密度函数f f Y Y ( (x x). ).
1) 求Y的分布函数:
F Y (y)=P(g g( (X X) )≤ ≤y y)=P(X∈I y ), 其中 其中I y ={x| g g( (x x) )≤ ≤y y}
2)求 求f f Y Y ( (x x): ): f f Y Y ( (x x)= )= F Y ' (y)
例 例2 2 设 设X X~ ~N N( (μ μ, , σ σ 2 2 ), ),求 求Y= Y=aX+b aX+b的概率密度函数 的概率密度函数
f f Y Y ( (y y). ).其中 其中a a≠ ≠0 0, b , b为常数 为常数. .
结论 结论( (N1): N1): 若 若X X~ ~N N( (μ μ, , σ σ 2 2 ), ),则 则 aX+b aX+b ~ ~N N( (a aμ μ+b +b, , a a 2 2 σ σ 2 2 ). ).
§ § 单调函数的分布 单调函数的分布
定理 定理2. 2.5 5 设连续型随机变量 设连续型随机变量X X的概率密度函数为 的概率密度函数为
f f X X ( (x x), ), 函数 函数g g( (x x) )严格单调 严格单调, ,其反函数 其反函数g g 1 1 ( (y y) )有连续导 有连续导
数 数, ,则 则Y=g Y=g( (X X) )为连续型随机变量 为连续型随机变量, ,且其密度函数为 且其密度函数为
î
í
ì < < ¢
=
- -
. , 0
; |, ] ) ( [ | )]) ( ([
) (
1 1
其他
b a y y g y g f
y f X Y
其中 其中 ) , ( b a 为 为g g( (X X) )的值域 的值域. .
§ §举例 举例
例 例3 3 设随机变量 设随机变量X X的概率密度函数为 的概率密度函数为
ï î
ï
í
ì < <
=
. , 0
0 ,
2
) ( 2
其他
； p
p
x
x
x f
求 求Y=SinX的概率密度函数 的概率密度函数f Y (y).
例 例4 4 设 设X X~U ~U[ [ π π/2, /2, π π/2 /2] ], , 求 求Y= Y=tgX tgX的概率密度函数 的概率密度函数
f Y (y).
推论 推论2.1 2.1设随机变量的概率密度为 设随机变量的概率密度为f f X X ( (x x) , ) ,函数 函数g g( (x x) )
在不相重叠的区间 在不相重叠的区间I I i i , , I I i i , , ∙∙∙ ∙∙∙上逐段满足定理 上逐段满足定理2.5 2.5的 的
条件 条件, ,且分别以 且分别以
L , 2 , 1 , )] ( [ ), ( ' 1 1 = - - i y g y g i i
记 记y y= =g g( (x x) ) 在各段上的反函数及其导数。则 在各段上的反函数及其导数。则Y Y= =g g( (X X) )
也为连续型随机变量，且概率密度为 也为连续型随机变量，且概率密度为
{ }
ï î
ï
í
ì Î
=
å
Î
- -
. , 0
), , ( , )] ( [ )) ( (
) ( ) ( :
' 1 1
其他
i I g y i
i i
Y
y y g y g f
y f
b a
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