椭圆第二定义及其应用 高中数学
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椭圆第二定义及其应用
在新课标课本(人教A版)《椭圆》中，有这样一道例题“例6 点与定点的距离和M(x,y)F(4,0)
254它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹”。我们知道，点的轨迹是长轴、短轴长分别MMl:x,45
为10、6的椭圆，如果对这道例题进行推广，就得到椭圆的第二定义(比值定义).
定义:平面内与一个定点F的距离和一条定直线的距离之比为常数的点的轨迹是椭圆. 定e(0,e,1)点F称为椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e是椭圆的离心率.
椭圆第二定义的巧妙运用可以使题目化繁为简,下面举例如下:
一、求距离
22xy,例1,椭圆的方程为上有一点，它到椭圆的左准线的距离等于10，求点到它的右PP，,110064
焦点的距离.
63c2222解:?，?，?= a,100,b,64,c,a,b,100,64,6e,a105
d3依椭圆第二定义，设点到椭圆左焦点的距离为，则,? P,dd,6105
?点P到椭圆右焦点距离为2×10,6=14
评述:椭圆第二定义的巧妙运用可以使题目化繁为简，熟练掌握椭圆第二定义灵活地将它应用到解题
当中，是我们在学习中的重要训练对象.
二、求最值
22xy,例2,已知定点A(,2，)，点F为椭圆的右焦点，点M在该椭圆上移动时，求，,131612
|MA|+2|FM|的最小值，并求出此时点M的坐标.
2222,，2,(，2)，(,3)，2(,2)，MAFMxyxy? ,
分析
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:设M(x,y) 22,? xy,，,11612,
由?可将y用x表示出来，将其代入?，则式子|MA|+2|FM|可转化成一个关于x的一元函数，再求其
最小值.
以上解法，思路可行，计算量却很繁琐，不妨换一种思考方法.
1解:?a=4,b=2,c=2e= 32
右焦点F(2，0)，右准线方程l:x=8M到右准线l的距离为d
FM1,e,则得2|MF|=d|MA|+2|MF|=|MA|+d d2
由于点A在椭圆内，过A作AK?l，K为垂足，易证|AK|为|MA|+d的最小值，其值为8+2=10
?M点的纵坐标为，得横坐标为2 33
?|MA|+|2MF|的最小值为10，点M的坐标为(2，) 33
评述:(1)以上解法就是椭圆第二定义的巧用，将问题转化成点到直线的距离去求，就可以使题目变
得简单易解了.
(2)一般地，如果遇到一个定点到定直线问题应联想到椭圆第二定义. 三、推导公式
22xy,例3,设P(x,y)是离心率为e的椭圆，方程为上的一点，P到左焦点F和右焦点，,100122ab
F的距离分别为和. r,a，ex,r,a,exrr2102021
PF1 ,e2ax，0c
22PFaa2?|PF|=e=e,?|PF|=, x，()a，exx，,e110002ccax,0c
22aa?|PF|=e=e, ?|PF|=，综上所述 x,()a,exr,a，ex,r,a,exx,220102000cc
注意:|PF|=,|PF|=，称为()点椭圆的焦半径，焦半径公式在解题中的作用应引a，exa,exx,y120000
起我们广大师生的注意.
2x2,例4,已知椭圆，过左焦点F作倾斜角为30?的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长. ，y,19
解法一:?a=3,b=1,c=2,?F(,2,0) 22
21x22(x，22)?直线方程为y=与4x+12x+15=0 ，y,1293
15设A(x,y),B(x,y)x+x=,3,xx= 2112212124
122?|AB|=1，x,x,(x，x),4xx,?|AB|=2 12121233
解法二:由于所求线段AB |AB|=|AF|+|BF|=2a+e(x+x)=2 12
评述:一般地，遇到点到椭圆焦点的距离问题，可采用“焦半径”公式处理.
浙公网安备 33021202002483