空间点、直线、平面的位置关系

空间点、直线、平面的位置关系 2.1.1平面 双基达标 ，限时20分钟， 1(已知点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为( )( A(P?l?α B(P?l?α l?α D(P?l?α C(P? 解析 直线和平面可看作点的集合～点是基本元素( 答案 D 2(如下四图表示两个相交平面，其中画法正确的是( )( 解析 对于A～图中没有画出平面α与平面β的交线～另外图中的实线也没有按照画法原则去画～因此A的画法不正确～同理B、C的画法也不正确～D的画法正确( 答案 D 3(如果直线a?平面α，直线b?平面α，M?a，N?b，M?l，N?l，则( )( A(l?α B(l?α C(l?α,M D(l?α,N 解析 据公理1可知:直线l上两点M、N都在平面α内～所以l在平面α内～故选A. 答案 A 4(下列语句是对平面的描述: ?平面是绝对平的且是无限延展的; ?一个平面将无限的空间分成两部分; ?平面可以看作空间的点的集合，它是一个无限集; ?四边形确定一个平面( 其中正确的序号是________( 解析 根据平面的概念和特征???都是从不同的角度对平面的描述～因此都是 正确的(?是错误的(如图所示的四边形ABCD四个顶点是不在一个平面内的( 答案 ??? 5(设平面α与平面β相交于l，直线a?α，直线b?β，a?b,M，则M________l. 解析 因为a?b,M～a?α～b?β～所以M?α～M?β.又因为α?β,l～所以M?l. 答案 ? 6(在正方体ABCD-ABCD中，试画出平面ABD与平面ACCA的交线( 11111111 解 根据公理3，只要找到两平面的两个公共点即可( 如图，设AC?BD,O. 11111 ?O?AC，AC?平面ACCA， 1111111 ?O?平面ACCA. 111 又?O?BD，BD?平面ABD， 1111111 ?O?平面ABD. 111 ?O是平面ACCA与平面ABD的公共点( 11111 而点A显然也是平面ACCA与平面ABD的公共点( 111 连接AO，根据公理3知AO是平面ABD与平面ACCA的交线 . 111111 综合提高 ，限时25分钟， 7(如图所示，在正方体ABCD-ABCD中，O为DB的中点，直线AC交平面11111CBD于点M，则下列结论错误的是( )( 1 A(C，M，O三点共线 1 B(C，M，O，C四点共面 1 C(C，O，A，M四点共面 1 D(D，D，O，M四点共面 1 解析 在题图中～连接AC～AC～则AC?BD,O～AC?平面CBD,M. 1111 ?三点C～M～O在平面CBD与平面ACCA的交线上～即C～M～O三点共11111 线～ ?选项A～B～C均正确～D不正确( 答案 D 8(在三棱锥A-BCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如 果EF?HG,P，则点P( )( A(一定在直线BD上 B(一定在直线AC上 C(在直线AC或BD上 D(不在直线AC上，也不在直线BD上 解析 如图所示～ ?EF?平面ABC～HG?平面ACD～EF?HG,P～ ?P?平面ABC～P?平面ACD. 又?平面ABC?平面ACD,AC～ ?P?AC～故选B. 答案 B 9(给出下列三个命题: ?空间四点共面，则其中必有三点共线; ?空间四点中有三点共线，则此四点必共面; ?空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面( 其中正确命题的序号是________( 解析 对于命题??～可用平行四边形的四个顶点来排除( 答案 ? 10(已知平面α?平面β,l，点M?α，N?α，P?β，P?l且MN?l,R，过M， N，P三点所确定的平面记为γ，则β?γ等于________( 解析 如图～MN?γ～R?MN～ ?R?γ. 又R?l～?R?β. 又P?r～P?β～?β?γ,PR. 答案 直线PR 11(求证:两两相交且不共点的四条直线a、b、c、d共面( 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 (1)无三线共点情况，如图(1)( 设a?d,M，b?d,N，c?d,P，a?b,Q，a?c,R，b?c,S. 因为a?d,M，所以a，d可确定一个平面α. 因为N?d，Q?a，所以N?α，Q?α， 所以NQ?α，即b?α. 同理c?α，所以a，b，c，d共面( ?有三线共点的情况，如图(2)( 设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M且K?a， 因为K?a，所以K和a确定一个平面，设为β. 因为N?a，a?β，所以N?β.所以NK?β，即b?β. 同理c?β，d?β.所以a，b，c，d共面( 由(1)、(2)知a，b，c，d共面( 12((创新拓展)在空间四边形ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E，F CFAE1分别是边AB，BC上的点，且,,. FBEB3求证:直线EH、BD、FG相交于一点( 证明 连接EF、GH(如图所示)( G分别是AD、CD的中点， ?H、 1?GH?AC，且GH,AC. 2 AE1CF?,,， FBEB3 3?EF?AC，且EF,AC. 4 ?GH?EF，且GH?EF. ?EH与FG相交，设交点为P. ?EH?平面ABD， ?P?平面ABD. 同理P?平面BCD. 又?平面ABD?平面BCD,BD， ?P?BD. ?直线EH、BD、FG相交于一点( 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 双基达标 ，限时20分钟， 1(分别和两条异面直线都相交的两条直线一定( )( A(异面 B(相交 C(不相交 D(不平行 解析 和两条异面直线都相交的两条直线可能相交～也可能异面～但一定不平行( 答案 D 2(若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形 ( )( A(全等 B(相似 C(仅有一个角相等 D(全等或相似 解析 由等角定理知～这两个三角形的三个角分别对应相等～所以选D. 答案 D 3(长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有( )( A(2对 B(3对 C(6对 D(12对 解析 如图所示～在长方体AC中～与对角线AC成异面直线位置关系的是:11 AD、BC、BB、DD、AB、DC～所以组成6对异面直线( 111111 答案 C 4(下列命题不正确的是________( ?如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行;?如果两条直线都和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行;?两条异面直线所成的角为锐角或直角; ?直线a与b异面，b与c也异面，则直线a与c必异面( 解析 命题??中的两条直线可以相交～也可以异面～还可以平行～对于命题?～异面直线不具有传递性( 答案 ??? 5(若正方体ABCD-ABCD的棱长为1，则BD与CC所成角的正切值为111111________( 解析 如图BD与CC所成的角为?BBD. 111 ??DBB为直角三角形( 1 BD?tan?BBD,,2. 1BB1 答案 2 6(如图，在长方体木块ABCD-ABCD中 ，P是面AC上的一点，过点P如111111何画一条直线和棱AB平行,过点P如何画一条直线和BD平行, 解 如图，过点P在面AC内作直线l?AB， 1111 由于AB?AB， 11 ?l?AB，l即为所画直线( 连接BD，若P?BD， 1111 ?BB綉DD， 11 ?BD?BD，BD即为所画直线( 1111 BD，过点P作直线l?BD， 若P?11111 ?BD?BD，?l?BD. 111 ?l为平面AC内过点P且与BD平行的直线( 111 综合提高 ，限时25分钟， 7(已知异面直线a与b满足a?α，b?β，且α?β,c，则c与a，b的位置关系一定是( )( A(c与a，b都相交 B(c至少与a，b中的一条相交 C(c至多与a，b中的一条相交 D(c至少与a，b中的一条平行 解析 ?a?α～c?α～ ?a与c相交或平行( 同理～b与c相交或平行( 若c?a～c?b～则a?b～这与a～b异面矛盾( ?a～b不能都与c平行～即直线a～b中至少有一条与c相交( 答案 B 8(一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论: ?AB?EF;?AB与CM所成的角为60?; ?EF与MN是异面直线;?MN?CD. 以上结论中正确的为( )( A(?? B(?? C(?? D(?? 解析 根据正方体平面展开图还原出原来的正方体～如图所示～由图可知AB? EF～AB?CM～EF与MN是异面直线～MN?CD～只有??正确( 答案 D 9((2012?菏泽高一检测)如图，若G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________( 解析 ?中HG?MN～?中GM?HN且GM?HN～故HG、NM必相交～??正确( 答案 ?? 10(在正方体ABCD-ABCD中，E、F、G、H分别为AA、AB、BB、BC11111111的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________( 解析 由于EF?AB～GH?BC～ 11 所以AB与BC所成的角即为EF与GH所成的角～由于?ABC为正三角形～1111所以AB与BC所成的角为60?～即EF与GH所成的角为60?. 11 答案 60? 11(如图，?ABC和?A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同 AOBOCO2一点O，且,,,. 3OA′OB′OC′ (1)求证:A′B′?AB，A′C′?AC， B′C′?BC; S?ABC(2)求的值( S?′′′ABC (1)证明 ?AA′?BB′,O， AOBO2且,,， 3A′OB′O ?AB?A′B′， 同理AC?A′C′，BC?B′C′. (2)解 ?A′B′?AB，A′C′?AC且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反， ??BAC,?B′A′C′. 同理?ABC,?A′B′C′，?ACB,?A′C′B′， ??ABC??A′B′C′ ABAO2且,,， 3A′B′OA′ S24?ABC,,2,,?,,. 3,,9S?′′′ABC 12((创新拓展)如图，在棱长为a的正方体ABCDABCD中，O是底面ABCD1111的中心，E、F分别为CC、AD的中点 ，求异面直线OE和FD所成角的余弦11值( 解 取DC的中点M，连接OM，OF，因为OF綉MD， 111所以四边形OFDM是平行四边形， 1 所以OM綉FD， 1 所以?MOE是异面直线OE和FD所成的角或其补角( 1 连接OC、ME. 22OM,FD,DF，DD 11 a5,,22,,, ，a,a， 2,,2 22ME,MC，CE 11 aa2,,,,22,,,,, ，,a. 22,,,,2 a3,,2,,2222,,OE,OC，CE,,,，,a. a2,,22,, 52222所以OE，ME,OM,a， 4 所以?OME是直角三角形， 且?OEM,90?， 3a2OE15所以cos?MOE,,,， OM55a2 15即异面直线OE和FD所成角的余弦值是 . 15 2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.3平面与平面之间的位置关系 双基达标 ，限时20分钟， 1(若直线m不平行于平面α，且m?α，则下列结论成立的是( )( A(α内的所有直线与m异面 B(α内不存在与m平行的直线 C(α内存在唯一的直线与m平行 D(α内的直线与m都相交 解析 由题意可知m与α相交～故选B. 答案 B 2(如果直线l在平面α外，那么直线l与平面α( )( A(没有公共点 B(至多有一个公共点 C(至少有一个公共点 D(有且只有一个公共点 解析 若l?α～则l?α或l与α相交于一点(故选B. 答案 B 3(若一直线上有两点在已知平面外，则下列命题正确的是( )( A(直线上所有的点都在平面外 B(直线上有无数多个点都在平面外 C(直线上有无数多个点都在平面内 D(直线上至少有一个点在平面内 解析 一直线上有两点在已知平面外～则直线与平面平行或相交(相交时有且只有一个点在平面内～故A、C不对,直线与平面平行时～直线没有一个点在平面内～故D不对(故选B. 答案 B 4(如果空间三个平面每两个都相交，那么它们的交线有________条( 解析 以打开的 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 页或长方体为模型～观察可得结论( 答案 1或3 5(一条直线和两个相交平面的交线平行，则这条直线满足________(填序号)( ?与两个平面都平行;?与两个平面都相交;?在两个平面内;?至少和其中一个平面平行( 解析 直线和两个平面的交线平行～这条直线可能在其中一个平面内且与另一个平面平行～也可能不在任何一个平面内且与两个平面都平行( 答案 ? 6(如果三个平面α、β、γ满足α?β，γ?α,a，γ?β,b，且直线c?β，c?b. (1)判断c与α的位置关系，并说明理由; (2)判断c与a的位置关系，并说明理由( 解 (1)c?α.因为α?β，所以α与β没有公共点， 又c?β，所以c与α无公共点， 则c?α. (2)c?a.因为α?β，所以α与β没有公共点， 又γ?α,a，γ?β,b，则a?α，b?β，且a，b?γ， 所以a，b没有公共点(由于a，b都在平面γ内， 因此a?b，又c?b，所以c?a. 综合提高 ，限时25分钟， 7. 下列四个结论:?两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行;?两条直线没有公共点，则这两条直线平行;?两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行;?一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和 这个平面平行(其中正确的个数为( )( A(0 B(1 C(2 D(3 解析 ?两条直线都和同一个平面平行～则这两条直线三种位置关系都有可能,?两条直线没有公共点～则这两条直线平行或异面,?两条直线都和第三条直线垂直～则这两条直线三种位置关系都有可能,?一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点～则这条直线也可能在这个平面内 . 答案 A 8(若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( )( A(平行 B(异面 C(相交 D(平行或异面 解析 两直线分别在两个平行平面内～则两直线没有公共点～所以分别在这两个平行平面内的直线平行或异面(故选D. 答案 D 9(经过平面外两点可作这个平面的平行平面的个数是________( 解析 当过两点的直线与平面相交时～不能作出符合题意的平面,当过两点的直线与平面平行时～可作唯一的一个平行平面( 答案 至多可以作一个 10(若直线a?平面α，直线b?平面α，则a与b的位置关系是________( 解析 在长方体ABCD-A′B′C′D′中～E～F分别是AA′～BB′的中点( A′B′?平面ABCD～C′D′?平面ABCD～A′B′?C′D′, A′B′?平面ABCD～A′D′?平面ABCD～A′D′?A′B′,A′,A′D′?平面ABCD～EF?平面ABCD. A′D′与EF异面( 答案 平行、相交或异面 11(已知一条直线与一个平面平行，求证:经过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内( 解 已知:a?α，A?α，A?b，b?a. 求证:b?α. 证明 如图，?a?α，A?α， ?A?a， ?由A和a可确定一个平面β， 则A?β， ?α与β相交于过点A的直线， 设α?β,c，由a?α知，a与α无公共点，而c?α， ?a与c无公共点( ?a?β，c?β， ?a?c.又已知a?b，有A?b，A?c ?b与c重合( ?b?α. 12((创新拓展)如图，已知平面α?β,l，点A?α，点B?α，点C?β，且A?l， B?l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系,证明 你的结论( 解 平面ABC与β的交线与l相交( 证明:?AB与l不平行，且AB?α，l?α， ?AB与l一定相交， 设AB?l,P，则P?AB，P?l. 又?AB?平面ABC，l?β， ?P?平面ABC，P?β. ?点P是平面ABC与β的一个公共点， 而点C也是平面ABC与β的一个公共点， 且P，C是不同的两点， ?直线PC就是平面ABC与β的交线( 即平面ABC?β,PC，而PC?l,P， ?平面ABC与β的交线与l相交( 2.2.1直线与平面平行的判定 2.2.1平面与平面平行的判定 双基达标 ，限时20分钟， 1(下列说法正确的是( )( ?一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行; ?一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行; ?一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行; ?一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行( A(?? B(?? C(??? D(?? 解析 由两平面平行的判定定理知??正确( 答案 D 2(在六棱柱的表面中互相平行的面最多有几对( )( A(2 B(3 C(4 D(5 解析 当底面是正六边形时～共有4对面互相平行( 答案 C 3(在正方体EFGHEFGH中，下列四对截面中彼此平行的一对截面是( )( 1111 A(平面EFG与平面EGH 111 B(平面FHG与平面FHG 111 C(平面FHH与平面FHE 111 D(平面EHG与平面EHG 111 解析 EG?EG～FG?EH～?EG?面EFG～EH?平面EFG～且EG?EH1111111111,E～?平面EGH?平面EFG. 111 答案 A 4(已知a和b是异面直线，且a?平面α，b?平面β，a?β，b?α，则平面α与β的位置关系是________( 解析 在b上任取一点O～则直线a与点O确定一个平面γ～ 设γ?β,l～则l?β～ ?a?β～?a与l无公共点～ ?a?l～?l?α.又b?α～根据面面平行的判定定理可得α?β. 答案 平行 5(如图是正方体的平面展开图(在这个正方体中， ?BM?平面DE; ?CN?平面AF; ?平面BDM?平面AFN; ?平面BDE?平面NCF. 以上四个命题中，正确命题的序号是________( 解析 以ABCD为下底面还原正方体～如图: 则易判定四个命题都是正确的( 答案 ???? 6((2012?南京高一检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA?平面ABCD，四边形 ABCD是直角梯形，AD?BC，?BAD,90?，BC,2AD. (1)求证:AB?PD. (2)在线段PB上是否存在一点E，使AE?平面PCD，若存在，指出点E的位置 并加以证明;若不存在，请说明理由( (1)证明 ?PA?平面ABCD，AB?平面ABCD，?PA?AB. 又?AB?AD，PA?AD,A，?AB?平面PAD. ?PD?平面PAD，?AB?PD. (2)法一 如图(1)，取线段PB的中点E，PC的中点F，连结AE，EF，DF，则EF是?PBC的中位线( 1?EF?BC，EF,BC. 2 1?AD?BC，AD,BC，?AD?EF，AD,EF， 2 ?四边形EFDA是平行四边形，?AE?DF. (1) ?AE?平面PCD，DF?平面PCD，?AE?平面PCD. ?线段PB的中点E是符合题意的点( 法二 如图(2)，取线段PB的中点E，BC的中点F，连结AE，EF，AF，则EF是?PBC的中位线(?EF?PC. ?EF?平面PCD，PC?平面PCD， ?EF?平面PCD. 11?AD?BC，AD,BC，CF,BC， 22 ?AD?CF，AD,CF. (2) ?四边形DAFC是平行四边形，?AF?CD. ?AF?平面PCD，CD?平面PCD，?AF?平面PCD. ?AF?EF,F，?平面AEF?平面PCD. ?AE?平面AEF，?AE?平面PCD. ?线段PB的中点E是符合题意的点( 综合提高 ，限时25分钟， 7(已知a是平面α外的一条直线，过a作平面β使β?α，这样的β有( )( A(只能作一个 B(至少一个 C(不存在 D(至多一个 解析 ?a是平面α外的一条直线～ ?a?α或a与α相交( 当a?α时～β只有一个～当a与α相交时～β不存在( 答案 D 8((2012?济宁高一期中)如图，在下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB?平面MNP的图形的序号是( )( A(?? B(?? C(?? D(?? 解析 ?中～取NP中点O～连MO～则MO?AB～ ?AB?平面MNP, ?中～在平面MNP内找不到与AB平行的直线～故?不能得出,?中～AB与平面MNP相交, ?中～?AB?NP～ ?AB?平面MNP. 答案 B 9(设m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个论断:?m?n; ?m?α;?n?α，以其中两个为条件，余下的一个为结论，可构成三个命题，写出你认为正确的一个命题________( 解析 m?α～n?α～m?n～m?α?n?α～即????. 答案 ???? 10(已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________( 解析 由D～E～F分别是SA～SB～SC的中点知EF是?SBC的中位线～ ?EF?BC. 又?BC?平面ABC～EF?平面ABC～ ?EF?平面ABC.同理DE?平面ABC. ?EF?DE,E～ ?平面DEF?平面ABC. 答案 平行 11(已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD，点E在PD上，且PE?ED,2? 1，在棱PC上是否存在一点F，使BF?面AEC,证明你的结论，并说出点F的 位置( 解 如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于 点G，过点G作GF?CE，交PC于点F，连接BF. ?BG?OE，BG?平面AEC， OE?平面AEC， ?BG?平面AEC. 同理，GF?平面AEC， 又BG?GF,G. ?平面BGF?平面AEC， ?BF?平面AEC. ? BG?OE，O是BD中点，?E是GD中点( 又?PE?ED,2?1，?G是PE中点( 而GF?CE，?F为PC中点( 综上，当点F是PC中点时，BF?平面AEC. 12((创新拓展)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，AB的中点111111 是P，过点A作与截面PBC平行的截面，能否确定截面的形状,如果能，求出11 截面的面积( 解 取AB，CD的中点M，N，连接AM，MC，CN，NA. 1111?AN綉PC綉MC， 11 ?四边形AMCN是平行四边形( 1 又?AN?PC，AM?BP， 111 AN?AM,A，CP?PB,P， 1111 ?平面AMCN?平面PBC. 11 因此，过点A与截面PBC平行的截面是平行四边形( 11 连接MN，作AH?MN于点H. 1 ?AM,AN,5，MN,22， 11 ??AMN为等腰三角形( 1 ?AH,3. 1 1?S?AMN,×22×3,6. 12 2.2.3直线与平面平行的性质 2.2.4平面与平面平行的性质 双基达标 ，限时20分钟， 1(如果直线a?平面α，那么直线a与平面α内的( )( A(一条直线不相交 B(两条相交直线不相交 C(无数条直线不相交 D(任意一条直线不相交 解析 线面平行～则线面无公共点～所以选D～对于C～要注意“无数”并不代 表所有( 答案 D 2(如果平面α?平面β，夹在α和β间的两线段相等，那么这两条线段所在直线 的位置关系是( )( A(平行 B(相交 C(异面 D(平行，相交或异面 解析 在正方体ABCD-ABCD中～平面ABCD?平面ABCD～AA?BB～ 1111111111 AD?AB,A～AD与AB是异面直线(故选D. 11111 答案 D 3(如图，在长方体ABCD-ABCD中，E，F分别是棱AA和BB的中点，过111111EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是( )( A(平行 B(相交 C(异面 D(平行或异面 解析 由长方体性质知: EF?平面ABCD ?EF?平面EFGH～平面EFGH?平面ABCD,GH～ ?EF?GH～又?EF?AB～ ?GH?AB～?选A. 答案 A 4(已知平面α?β?γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和 DE2D，E，F，已知AB,6，,，则AC,________. DF5 ABDE解析 ?α?β?γ～?,. BCEF DE2DE2由,～得,～ DF5EF3 AB2?,. BC3 ?而AB,6～?BC,9～ ?AC,AB，BC,15. 答案 15 5(若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8、12，过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为________( 解析 取BC中点F～CD中点G～AD中点H～得?EFGH～平面EFGH就是过E 11且与AC～BD平行的平面～且EF,GH,AC,4～EH,FG,BD,6～所以?EFGH22的周长为20. 答案 20 6(如图所示，在三棱柱ABC-ABC中，过A，B，C的平面与平面ABC的交11111 线为l，试判断l与直线AC的位置关系，并给以证明( 11 解 l?AC 11 证明 在三棱柱ABC-ABC中，AC?AC，AC?平面ABC，AC?平面ABC，1111111 ?AC?平面ABC. 11 又?AC?平面ABC，且平面ABC?平面ABC,l， 111111 ?AC?l. 11 综合提高 ，限时25分钟， 7(设α?β，A?α，B?β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C( )( A(不共面 B(当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面 C(当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D(不论A，B如何移动，都共面 解析 由面面平行的性质定理～点C应在过AB中点且平行于α(或β)的平面内(故选D. 答案 D 8(平面α截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面α必定和这个三棱锥的 ( )( A(一个侧面平行 B(底面平行 C(仅一条棱平行 D(某两条相对的棱都平行 解析 当平面α?某一平面时～截面为三角形～故A、B错(当平面α?SA时～如图截面是四边形DEFG～又SA?平面SAB～平面SAB?α,DG～ ?SA?DG～同理SA?EF～ ?DG?EF～同理当α?BC时～ GF?DE～ ?截面是梯形～则四边形DEFG中仅有一组对边平行～故α仅与一条棱平行(故选C. 答案 C 9(如图，P是?ABC所在平面外一点，平面α?平面ABC，α分别交线段PA， S?′′′ABCPB，PC于A′，B′，C′，若PA′?AA′,2?3，则,________ . S?ABC解析 由平面α?平面ABC～ 得AB?A′B′～BC?B′C′～AC?A′C′～ 由等角定理得?ABC,?A′B′C′～ ?BCA,?B′C′A′～?CAB,?C′A′B′～ 从而?ABC??A′B′C′～?PAB??PA′B′ SA′B′PA′4?′′′ABC,,,,22,,,,,,,. 25ABPAS,,,,?ABC 4答案 25 10(如图，在正方体ABCD-ABCD中，E、F、G、H分别为CC、CD、DD、 11111111 CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN?平面BDDB. 11 解析 如图～取BC的中点P～ 11 连接NP、NH、MN、HF、PF～则可证明平面NPFH?平面BDDB～ 11若MN?平面NPFH～ 则MN?平面BDDB. 11 答案 M?FH(答案不唯一，如FH?GE,M等) 11(已知M、N分别是底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD棱AB、PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证: (1)MN?平面PAD; (2)MN?PE. 证明 (1)如图，取DC中点Q，连接MQ、NQ.?NQ是?PDC的中位线，?NQ?PD. ?NQ?平面PAD，PD?平面PAD， ?NQ?平面PAD. ?M是AB中点，ABCD是平行四边形，?MQ?AD，MQ?平面PAD，AD?平面PAD. 从而MQ?平面PAD.?MQ?NQ,Q， ?平面MNQ?平面PAD. ?MN?平面MNQ，?MN?平面PAD. (2)?平面MNQ?平面PAD，平面PEC?平面MNQ,MN，平面PEC?平面PAD,PE.?MN?PE. 112((创新拓展)如图?，在直角梯形ABCP中，AP?BC，AP?AB，AB,BC,AP，2D为AP的中点，E、F、G分别为PC、PD、CB的中点，将?PCD沿CD折起，得到四棱锥PABCD，如图?. 求证:在四棱锥P-ABCD中，AP?平面EFG. 证明 在四棱锥P-ABCD中，E，F分别为PC，PD的中点， ?EF?CD. ?AB?CD，?EF?AB. ?EF?平面PAB，AB?平面PAB， ?EF?平面PAB. 同理EG?平面PAB.又EF?EG,E， ?平面EFG?平面PAB. ?AP?平面PAB，AP?平面EFG， ?AP?平面EFG. 2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.2平面与平面垂直的判定 双基达标 ，限时20分钟， 1(已知直线l?平面α，直线m?α，则( )( A(l?m B(l?m C(l，m异面 D(l，m相交而不垂直 解析 无论l与m是异面～还是相交～都有l?m～考查线面垂直的定义～故选A. 答案 A 2(若斜线段AB是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB与平面α所成的角是 ( )( A(60? B(45? C(30? D(120? 解析 斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形(如图所示～?ABO即是斜线 OB1AB与平面α所成的角～又AB,2BO～所以cos?ABO,,.所以?ABO,60?.AB2 故选A. 答案 A 3(如图所示，PO?平面ABC，BO?AC，在图中与AC垂直的线段有( )( A(1条 B(2条 C(3条 D(4条 解析 ?PO?平面ABC～?PO?AC～又?AC?BO～ ?AC?平面PBD～ ?平面PBD中的4条线段PB～PD～PO～BD与AC垂直( 答案 D 4(在正方体ABCDABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD1111- 的中心(如图)，则EF与平面BBO的关系是________( 1 解析 由正方体性质知AC?BD～ BB?AC～ 1 ?E～F是棱AB～BC的中点～ ?EF?AC～ BD～EF?BB～ ?EF?1 ?EF?平面BBO. 1 答案 垂直 5(如图，在正方体ABCD-ABCD中，截面CDAB与底面ABCD所成二面角111111CAB-C的大小为________( 1- 解析 ?AB?BC～AB?BC～??CBC为二面角CABC的平面角～大小为45?. 111答案 45? 6((2012?青岛高一检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧 棱PD?底面ABCD，PD,DC，E是PC的中点，作EF?PB交PB于点F. (1)求证:PA?平面EDB; (2)求证:PB?平面EFD. 证明 (1)连接AC交BD于点O.连接EO，如图( ?底面ABCD是正方形， ?点O是AC的中点( 在?PAC中EO是中位线， ?PA?EO. 而EO?平面EDB，且PA?平面EDB. 所以PA?平面EDB. (2)?PD?底面ABCD，且DC?底面ABCD. ?PD?DC. ?PD,DC，可知?PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线， ?DE?PC.? 同样由PD?底面ABCD，得PD?BC. ?底面ABCD是正方形，有DC?BC， ?BC?平面PDC.而DE?平面PDC， ?BC?DE.? 由?和?推得DE?平面PBC. 而PB?平面PBC，?DE?PB. 又EF?PB，且DE?EF,E，?PB?平面EFD. 综合提高 ，限时25分钟， 7(若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角( )( A(相等 B(互补 C(相等或互补 D(关系无法确定 解析 如图所示～平面EFDG?平面ABC～当平面HDG绕DG转动时～平面 HDG始终与平面BCD垂直～所以两个二面角的大小关系不确定～因为二面角HDGF的大小不确定( 答案 D 8(如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA?平面ABCD，则平面PAB与平 面PBC、平面PAD的位置关系是( )( A(平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直 B(它们两两垂直 C(平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直 D(平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直 解析 ?PA?平面ABCD～?PA?BC. 又BC?AB～PA?AB,A～ ?BC?平面PAB～?BC?平面PBC～ ?平面PBC?平面PAB. 由AD?PA～AD?AB～PA?AB,A～得AD?平面PAB. ?AD?平面PAD～?平面PAD?平面PAB. 由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直～故选A. 答案 A 9(已知三棱柱ABC-ABC的侧棱与底面边长都相等，若A在底面ABC内的射1111影为?ABC的中心，则AB与ABC底面所成的角的正弦值等于________( 1 解析 由题意知～三棱锥AABC为正四面体(各棱长都相等的三棱锥)～设棱长1- 6,,232222为a～则AB,AO,,,,3a～棱柱的高AO,a,a,a(即点×a11332,, OA21B到底面ABC的距离)～故AB与底面ABC所成的角的正弦值为,. 11AB31 2答案 3 10(若α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β外的两条不同的直线，给出 四个论断: ?m?n;?α?β;?m?α;?n?β. 以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命 题________( 解析 如图～PA?α～PB?β～ 垂足分别为A、B～ α?β,l～l?平面PAB,O～ 连接OA、OB～ 可证明?AOB为二面角αlβ的平面角～ 则?AOB,90??PA?PB. 答案 ?????或????? π11(如图所示，在Rt?AOB中，?ABO,，斜边AB,4，Rt?AOC可以通过6Rt?AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，D是AB的 中点( 求证:平面COD?平面AOB. 证明 由题意:CO?AO，BO?AO， ??BOC是二面角B-AO-C的平面角， 又?二面角B-AO-C是直二面角，?CO?BO， 又?AO?BO,O，?CO?平面AOB， ?CO?平面COD， ?平面COD?平面AOB. 12((创新拓展)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，? BCD,60?，E是CD的中点，PA?底面ABCD，PA,3. (1)证明:平面PBE?平面PAB; (2)求二面角A-BE-P的大小( (1)证明 如图所示，连接BD， 由ABCD是菱形且?BCD,60?知， ?BCD是等边三角形( 因为E是CD的中点，所以BE?CD. 又AB?CD，所以BE?AB. 又因为PA?平面ABCD， BE?平面ABCD， 所以PA?BE. 而PA?AB,A， 因此BE?平面PAB. 又BE?平面PBE， 所以平面PBE?平面PAB. (2)解 由(1)知BE?平面PAB，PB?平面PAB， 所以PB?BE. 又AB?BE， 所以?PBA是二面角A-BE-P的平面角( PA在Rt?PAB中，tan?PBA,,3，?PBA,60?， AB 故二面角ABEP的大小是60?. 2.3.3直线与平面垂直的性质 2.3.4平面与平面垂直的性质 双基达标 ，限时20分钟， 1(若平面α?平面β，平面β?平面γ，则( )( A(α?γ B(α?γ C(α与γ相交但不垂直 D(以上都有可能 解析 以正方体为模型:相邻两侧面都与底面垂直,相对的两侧面都与底面垂直, 一侧面和一对角面都与底面垂直～故选D. 答案 D 2(已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则 直线n与平面α的关系是( )( A(n?α B(n?α或n?α C(n?α或n与α不平行 D(n?α 解析 ?l?α～且l与n异面～?n?α～ 又?m?α～n?m～?n?α. 答案 A 3(已知长方体ABCD-ABCD，在平面AB上任取一点M，作ME?AB于E，11111 则( )( A(ME?平面AC B(ME ?平面AC C(ME?平面AC D(以上都有可能 解析 由于ME?平面AB～平面AB?平面AC,AB～且平面AB?平面AC～111ME?AB～则ME?平面AC. 答案 A 4(若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个( ?a?α，b?α?a?b; ?a?α，a?b?b?α; ?a?α，a?b?b?α; ?a?α，b?α?a?b. 解析 由线面垂直的性质定理知??正确( 答案 2 5(如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的________心( 解析 三棱锥的三个侧面两两相互垂直～则三条交线两两互相垂直～可证投影是底面三角形的垂心( 答案 垂 6(如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过 点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G. 求证:AE?SB，AG?SD. 证明 因为SA?平面ABCD， 所以SA?BC. 又BC?AB，SA?AB,A，所以BC?平面SAB， 又AE?平面SAB，所以BC?AE. 因为SC?平面AEFG，所以SC?AE. 又BC?SC,C，所以AE?平面SBC， 所以AE?SB.同理可证AG?SD. 综合提高 ，限时25分钟， 7(已知平面α?平面β，α?β,l，点A?α，A?l，直线AB?l，直线AC?l，直线m?α，m?β，则下列四种位置关系中不一定成立的是( )( A(AB?m B(AC?m C(AB?β D(AC?β 解析 如图～AB?l?m～ AC?l～m?l?AC?m～ AB?l?AB?β.故选D. 答案 D 8((2012?镇海高一检测)如图，在正方形SGGG中 ，E，F分别是GG，GG1231223的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G、G、G重123合，重合后的点记为G. 给出下列关系: ?SG?平面EFG;?SE?平面EFG;?GF?SE;?EF?平面SEG. 其中成立的有( )( A(?? B(?? C(?? D(?? 解析 由SG?GE～SG?GF～得SG?平面EFG～排除D,若SE?平面EFG～则SG?SE～这与SG?SE,S矛盾～排除A、C～故选B. 答案 B 9(将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论: ?AC?BD;??ACD是等边三角形;?AB与平面BCD成60?的角;?AB与CD所成的角为60?. 其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)( 解析 本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面的夹角( 答案 ??? 10(如图，A、B、C、D为空间四点，在?ABC中，AB,2，AC,BC,2，等 边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB?平面ABC时，则CD,________. 解析 取AB的中点E～连接DE～CE～ 因为?ADB是等边三角形～所以DE?AB. 当平面ADB?平面ABC时～ 因为平面ADB ?平面ABC,AB～ 所以DE?平面ABC. 可知DE?CE. 由已知可得DE,3～EC,1～ 22在Rt?DEC中～CD,DE，CE,2. 答案 2 11((2012?嘉兴高一检测)如图，平面PAB?平面ABC，平面PAC?平面ABC，AE?平面PBC，E为垂足( (1)求证:PA?平面ABC; (2)当E为?PBC的垂心时，求证:?ABC是直角三角形( 证明 (1)在平面ABC内取一点D，作DF?AC于F， ?平面PAC?平面ABC，且交线为AC， ?DF?平面PAC. 又?PA?平面PAC， ?DF?PA.作DG?AB于G， 同理可证DG?PA. ?DG?DF,D，?PA?平面ABC. (2)连接BE并延长交PC于H. ?E是?PBC的垂心， ?PC?BH，又AE?平面PBC，故AE?PC， 且AE?BE,E，?PC?平面ABE.?PC?AB. 又?PA?平面ABC，?PA?AB，且PA?PC,P， ?AB?平面PAC， ?AB?AC，即?ABC是直角三角形( 12((创新拓展)在?BCD中，?BCD,90?，BC,CD,1，AB?平面BCD，?ADB AEAF,60?，E，F分别是AC，AD上的动点，且,,λ(0,λ,1)( ACAD (1)求证:不论λ为何值，总有平面BEF?平面ABC; (2)当λ为何值时，平面BEF?平面ACD? (1)证明 ?AB?平面BCD，?AB?CD. ?CD?BC且AB?BC,B，?CD?平面ABC. AEAF又?,,λ(0,λ,1)， ACAD ?不论λ为何值，恒有EF?CD，?EF?平面ABC. 又EF?平面BEF， ?不论λ为何值恒有平面BEF?平面ABC. (2)解 由(1)知，EF?BE， 又平面BEF?平面ACD， ?BE?平面ACD，?BE?AC. ?BC,CD,1，?BCD,90?，?ADB,60?，AB?平面BCD， ?BD,2，AB,2tan 60?,6. 22AC,AB，BC,7， 62由AB,AE?AC得AE,， 7 AE66?λ,,，故当λ,时， AC77 平面BEF?平面ACD.