对弧长的曲线积分87192885

对弧长的曲线积分87192885对弧长的曲线积分87192885 10.1 对弧长的曲线积分 10.1.1 对弧长的曲线积分的概念求一个不均匀物体的质量，如果物体为一根直线段，也就是质量分布在一根直线段AB上，由定积分的概念可知，只要计算一个定积分就行了。那如果质量分布在一条可求长的曲线上呢,现在要计算这物体的质量。 xOy曲线型物体的质量假定物体所处的位置在平面内的一段曲线弧L上，它的线密度为，由于物体上各点处的线密度为变量，我们利用下面四个步骤，求物体质量: ，，fx,y (1)分割:在L上任意插入一点列把L分成个小段，设第个...

对弧长的曲线积分87192885 10.1 对弧长的曲线积分 10.1.1 对弧长的曲线积分的概念求一个不均匀物体的质量，如果物体为一根直线段，也就是质量分布在一根直线段AB上，由定积分的概念可知，只要计算一个定积分就行了。那如果质量分布在一条可求长的曲线上呢,现在要计算这物体的质量。 xOy曲线型物体的质量假定物体所处的位置在平面内的一段曲线弧L上，它的线密度为，由于物体上各点处的线密度为变量，我们利用下面四个步骤，求物体质量: ，，fx,y (1)分割:在L上任意插入一点列把L分成个小段，设第个小段的M,M,？,Min12n,1 。长度为,si i,1,2,？,n(2)近似:在第个小段上任意取定的一点()，作乘积。，，，，f,,,,si,,,iiiii在线密度连续的前提下，只要这一小段很短，就可以用这一小段上任一点处的密度代替这小段上的线密度，这一段的质量。，，m,f,,,,siiii n ，，f,,,,s(3)求和:求和。当分点越多，越小，和越接近物体的质量 ,s,iiii,1i nn ，，m,m,f,,,,s ,,iiii,1,1ii ,,,,max,s(4)求极限:记，当时，这和的极限总存在，从而得到 ,,0i1,,in n ，，m,limf,,,,s ,iii,,0,1i 这种和的极限在研究其他问题是也会遇到，现在给出下面定义: 10.1.2. 对弧长的曲线积分 xOyLLL定义设为平面内的一条光滑曲线弧，函数在上有界。在上任意插入一，，fx,y L点列把分成个小段。设第个小段的长度为。又为第个M,M,？,M,s，，i,,,in12n,1iii n ，，i,1,2,？,nf,,,,s小段上任意取定的一点，作乘积，，()，并作和，如f,,,,s,iiiiii,1i果当各小弧段的长度的最大值,,0时，这和的极限总存在，则称此极限为函数在，，fx,y L曲线弧上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作，即，，fx,yds,L n ，，，，fx,yds,limf,,,,s ,iii,L,,0,1i 其中叫做被积函数，L叫做积分弧段，为弧长的微分。 ds，，fx,y 注:(1)当在光滑曲线弧L上连续时，对弧长的曲线积分是存在的。以，，fx,y，，fx,yds,L后我们总假定在L上连续。，，fx,y (2)如果L是分段光滑的，我们规定函数在L上的曲线积分等于在光滑的各段上的曲线积分之和。 LL(3)如果是闭曲线，那么在闭曲线上对弧长的曲线积分记为。，，fx,y，，fx,yds,L由对弧长的曲线积分的定义可知，它有以下性质 ,,,性质1 设为常数，则，，，，，，，，[,fx,y，,gx,y]ds,, fx,yds，,gx,yds,,,LLL L性质2 若可分成两段光滑曲线弧和，则 LL12 ，，，，，，fx,yds, fx,yds，fx,yds,,,LLL12 L性质3 设在上，则，，，，fx,y,gx,y ，，，， fx,yds,gx,yds,,LL 特别地，有，，，， fx,yds,fx,yds,,LL 2 对弧长的曲线积分的计算 LL定理设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，，fx,y ,x,t，，,,,t,, ()， ,，，y,,t, 22,,其中、在上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存，，，，,t，,t,0，，，，,t,t，，fx,yds,L在，且 ,22,,,,, ，，，，，，，，，， () fx,yds,f[,t,,t][,t]，[,t]dt,,L, 在使用上述定理求弧长的曲线积分时，须注意以下问题: ds(1)计算弧长的曲线积分时，只要把、y、依次换为、、，，，，，，,t,tfx,ydsx,L 22,,，，，，[,t]，[,t]dt,，然后从到积分就行了，但必须注意，定积分的下限一定要,, ,小于上限。 ) 如果曲线由方程给出，那么可以把这种情形看作是特殊的 (2L(x,x,X)，，y,,x0参数方程，的情形，从而得出 (x,t,X)，，x,ty,,t0 X2,，，，，，，fx,yds,f[x,,x]1，[,x]dx () x,X0,,Lx0 2,，，1，[,x]dx即保持不变，把、依次换、。 dsy，，,xx (3) 如果曲线L由方程给出，则有，，(y,y,Y)x,,y0 Y2,，，，，，，fx,yds,f[,y,y]1，[,y]dy () y,Y0,,Ly0 2,，，1[,y]dy，即把换为、保持不变、换为。 dsy，，x,y L(4) 公式可推广到空间曲线由参数方程，，，，，，x,,t,y,,t,z,wt给出的情形，有 ,222,,,,,, () ，，，，，，，，，，，，，，fx,y,zds,f[,t,,t,wt][,t]，[,t]，[wt]dt,,L, .3 应用举例计算弧长的曲线积分，实质是把L的方程代入被积表达式转化为，，，，fx,yfx,yds,L 定积分，其过程可分为以下三个步骤: 22ds,(dx)，(dy) (1)求弧微分:; (2)代入:将L的方程代入被积式; (3)定限:定限原则 -----上限大于下限. 2 【例 1 】计算，其中L为曲线上由(0，0)到(1，1)的一段弧(图 ). xdsy,x,L 22222ds,(dx)，(dy),(dx)，(2xdx),1，4xdx 解: 2 xds,x1，4xdx 11112222,x1，4xdx,(1，4x)d(1，4x) ? 原式 ,,008 O(0,0)A(1,0) 【例 2 】计算，其中L为联结三点,,的直线段(x，y)ds，，B1,1,L (图 ). 解 =+ (x，y)ds(x，y)ds(x，y)ds，，x，yds，,,,,LABBOOA 11(x，y)ds,xdxds,dx在直线段上, ,, ，， x，yds,xdx,OA,,OA02 13ABds,dy(x，y)ds,(1，y)dy(1)在直线段上, ,, ，， x，yds,，ydy,,,AB02 1在直线段上, ,, ，，(x，y)ds,2x2dxx，yds,2x2dx,2BOds,2dx,,BO0 所以 (x，y)ds,2，2,L 2222,(x,y),x，y【例 3 】求曲线L:的质量，其线密度. x，y,ax 解由对弧长的曲线积分的含义可知: 22 m,,(x,y)ds,x，yds,,LL ,,,xcos,22,,acos, 把L的方程化为极坐标方程.将代入得，x，y,ax,y,,sin,,,,??，则 ,,22 22,ds,,，[,(,)]d,,ad, 222x，yds,,ad,,acos,d, ,222 ? m,acos,d,,2a,,,2

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