因果维纳滤波器均方误差计算公式的简化

因果维纳滤波器均方误差计算公式的简化 因果维纳滤波器均方误差计算公式的简化 2OO2年l2月 第l8卷第6期 武警工程学院 J0URNALOFENGGCOLLEGEOFARMEDI~LICEFORCE Dec.200 V01.18No.6 【电子技术基础研究】 因果维纳滤波器均方误差计算公式的简化 张专成 (武警X-程学院通信X-程系,陕西西安710086) 【摘要】从将时间序列的Z变换分解成物理可实现与物理不可实现两部分之和入手,通过严密的数 学推导,简化了噪声与信号不相关时因果维纳滤波器的均方误差计算公式,证明因果维纳滤波器与非因果维 纳滤波器的均方误差计算公式总是具有完全相同的形式,有助于对维纳滤波器的学习和掌握. 【关键词】维纳滤波器;均方误差;噪声;相关函数;Z变换' I引言 维纳滤波器给出了从受到噪声污染的平稳随机过程中提取有用信号的最佳途径,它是当今"数字信号处 理"课程的经典内容之一.随着计算机科学的发展,维纳滤波器在信号处理中得到越来越广泛的应用.深刻 理解维纳滤波器的数学原理,不仅对学习维纳滤波器是必要的,而且对全面系统地掌握"数字信号处理"课程 的基本概念,基本理论与基本方法也是十分重要的.由于维纳滤波器是以均方误差最小为准则的最佳滤波 器,所以均方误差理论是维纳滤波器理论的基础,有关维纳滤波器公式的导出过程,就是均方误差公式的逐 步推演过程.经过对均方误差公式的一系列推演,最后得出了维纳滤波器设计公式与均方误差计算公式. 学习维纳滤波器不仅要掌握最佳滤波器设计公式,而且要掌握均方误差计算公式,只有这样,才能根据实际 需要,设计出满足技术要求的最佳滤波器.笔者在向硕士研究生讲授"数字信号处理"课的过程中,纵观诸多 教材,发现关于维纳滤波器均方误差计算公式的推导均不尽完彻. 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 中对非因果维纳滤波器既给出了计算 均方误差的一般公式,又给出了噪声与信号不相关时计算均方误差的简化公式,而对因果维纳滤波器只给出 了计算均方误差的一般公式.考虑到一般情况下可假定噪声与信号不相关,笔者认为,对因果维纳滤波器也 应该导出类似的噪声与信号不相关时计算均方误差的简化公式,以利于对维纳滤波器的学习和掌握. 2维纳滤波器及其均方误差计算公式概述 信号模型如下: (n)=s(n)+(n)(I) 图l 其中s(n)表示要提取的有用信号,(n)表示加性噪声,(n)是受到噪声污染的观测信号.所谓维纳滤波器 就是设计一个如图l所示传递函数为(:)的线性系统,(n)通过该线性系统后得到输出;(n),使均方误 差 E[e(n)]:(s(n)一s(n))](2) 达到最小,;(n)称为s(n)的最佳线性估计. l6 收稿日期:2oo2—o4—o9 作者简介:张专成(1948.02一),男,1982年毕业于西安交通大学,现为武警工程学院通信工程系教授. 武警工程学院2O02年第6期 为叙述方便,首先声明本文涉及到的所有积分围线均为单位圆,并用(),(),(:)分别表不 (n),s(n),(n)的自相关函数的:变换;(),(:),(:)分别表示(n)与s(n),(n)与(n),s(n) 与1/)(n)的互相关函数的:变换.于是可使 (:):口(:)8(z)(3) 式中8(z)的零点和极点全部在单位圆内,而8(z)的零点和极点全部在单位圆外. 非因果维纳滤波器的传递函数为: ?:=耥(4) 非因果维纳滤波器的均方误差计算公式为: (凡)]:中[(:)一()(:一)]?出(5) 因果维纳滤波器的传递函数为: 【]+ (6) 其中符号[.(:)]+表示任意?(:)的物理可实现部分. 因果维纳滤波器的均方误差计算公式为: E[e2(凡)]_中[(:)一(:)(:)]?出(7) 将式(7)与式(5)比较可见,因果维纳滤波器的均方误差表达式(7)与非因果维纳滤波器的均方误差表达 式(5)具有完全相同的形式,只是二者的(:)有所不同,前者应按式(6)计算,而后者应按式(4)计算. 一 般情况下,可假设噪声(凡)与信号s(凡)不相关.利用这一假设,可得(:)=(:),(:): (:)+(:),Y-N为(:):(:),代入式(5),可使非因果维纳滤波器的均方误差计算公式进一步简 化为: e(n)]=1(:):1(:)()?比(8) 以上公式的推导过程,在参考文献中均可找到,此处从略.那么在假设噪声1/)(n)与 信号s(n)不相关的 情况下,因果维纳滤波器的均方误差计算公式是否也可进一步得到简化呢?回答 是肯定的.以下是笔者完 成的推导. 3因果维纳滤波器均方误差计算公式的简化 由于任何时间序列的z变换都可看成物理可实现与物理不可实现两部分之和,于 是我们令 )=:【】+ + 【】一 -G+?(9) 其中G+(:):【】+ , G一(:)=【】一 分别代表物理可实现部分与物理不可实现部分.利用式 (9),可使因果维纳滤波器的均方误差计算公式(7)变成如下形式 (训=1[?一G) = [()一G))1)]{出 = 1南.口:(:): 式(1O)的第一项实际上就是非因果维纳滤波器的均方误差表达式.将式(9)代入式 (1O),再令 (1O) l7 张专成:因果维纳滤波器均方误差计算公式的简化 g(,1)=z[G(z)],根据帕塞伐尔定理,司知o)的第二项为. 南麦G一(z)G(z_1)!dz=麦.[g(后)?(-1)]g(后)麦.-tg)o 由此证明,因果维纳滤波器的均方误差总是不会小于非因果维纳滤波器的均方误差.在假设噪声(n)与信 号s(n)不相关的情况下,由式(1O)n--~: Ee?南吼+南' = [G+??]+南. = 南G+(:)+?+?] = l【】+ ld z+吼 = l()(:){出+1G一()B(:一)i:a(11) 在式(11)的第二项被积函数中,B(:)在单位圆内无极点.G一(.)是物理不可实现部分,其展开式为: G一 (:)=?g(一):=.?g(一后):' 由此可知, G一(:):g(一): 在单位圆内亦无极点,于是式(II)的第二项沿单位圆的围线积分必为零,从而因果维纳滤波器的均方误差计 算公式可简化为 (n)]=南(:)?ldz(12) 将式(12)与式(8)比较可见,简化以后的因果维纳滤波器的均方误差计算公式(12) 与非因果维纳滤波器的均 方误差计算公式(8)仍具有完全相同的形式,只是二者的(:)有所不同,前者应按式(c) 计算,而后者应按 式(4)计算. 参考文献 [1]吴兆熊等.数字信号处理( 下册 数学七年级下册拔高题下载二年级下册除法运算下载七年级下册数学试卷免费下载二年级下册语文生字表部编三年级下册语文教材分析 ).国防工业出版社,1985.12 [2][美].屈雷特着.王平孙译.离散时间信号处理导论.高等教育出版杜,1985.4 (责任编辑:罗晓妮) 1—r—r—r1—丫]?—r—r—r—r1—r—r—r—r—r—r—r—r—r—丫—r—r—r—r— r—r—r—r—丫—r—r—r—r—r 我院多媒体教育软件大赛获殊荣 9月22日至27日,由教育部主办,中央电化教 育馆承办的第六届全国多媒体教育软件大奖赛决赛 在京隆重举行,我院教育技术中心制作的多媒体课 件《画面构图与拍摄技巧》获一等奖,《建筑 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 的形 成》获优秀奖;基础部制图教研室制作的多媒体课件 l8 《机构制图》获优秀奖.电子技术系密码教研室制作 的网络课件《c语言程序设计》获三等奖. 同时,电子技术系杨晓元教授等五人撰写的论 文获优秀奖,我院获奖的总数占武警部队的5o%. (高长安)