高中数学不等式讲义
1 高三数学 第一轮总复习 讲义?代数?不等式 06--
6.1不等式的概念和性质
〖考纲要求〗掌握不等式的性质及其证明，能正确使用这些概念解决一些简单问题. 〖复习建议〗不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，
要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。 〖双基回顾〗常见的性质有8条:
1、反身性(也叫对称性):a,bb,a 2、传递性:a,b，b,ca,c ,,
a,ba,b,,3、平移性:a,ba+c,b+c 4、伸缩性:ac,bc;ac,bc ,,,,,c,0c,0,,
nnnnab5、乘方性:a,b?0a,b(n?N，n?2)6、开方性:a,b?0,(n?N，n?2) ,,
7、叠加性:a,b，c,da+c,b+d 8、叠乘性:a,b?0，c,d?0a?c,b?d ,,一、知识点训练:
11 1、成立的充要条件为 a，b,，ab
2、用“,”“,”“,”填空:
cc(1)a
b|a|>b ?a>ba>b ?|a|>b a>b ?a>|b| a>b ,,,,正确的个数有„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„( ) (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)4个
a，2b,6、已知a,2,比较与2的大小. a，1
7、比较下列各数的大小:
1(1)m,log(1，a),n,log(1，) (提示:分a,1，a,1讨论) aaa
a,n，1,nb,n,n,1(2)与 (提示:分子有理化后再比较)
y,f(x)f(,1)f(1)f(,2)8、如果二次函数的图象过原点，并且1??2,3??4,求的取值范围.
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6.2不等式的解法——分式与高次 〖考纲要求〗在熟练掌握一元一次与一元二次不等式的解法的基础上初步分式与高次不等式的解法.
〖复习建议〗分式与高次不等式的一般解法:序轴标根法，能注意到其中的一些特殊点与解集的关
系，能注意到区间端点与解集的关系.
一、知识点训练:
2x1、下列不等式与 同解的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„( ) ,0x，1
x，1(A) (B) x(x，1),0,0x
11(C) (D)|x，|, lg(x，1),0x222、不等式(x,2)?(x,1)>0的解集为 .
23、不等式(x，1) ?(x,1)?0的解集为 .
14、不等式的解集为 . ,xx
二、典型例题分析:
1、解不等式:(x,1)?(x,2)?(x,3)?(x,4)>120
2(x，2)(x，3)(x，1)(x,5),02、解不等式:
3x,53、解不等式: ,22x，2x,3
23x，mx,6,9,,64、若不等式对一切x恒成立,求实数m的范围 2x,x，1
2(x,1)0,,1 5、求适合不等式的整数x的值. x，1
x 6、解关于x的不等式,1,a x,1
三、课堂练习:
3x,11、不等式,1的解集为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„( ) 2,x
33(A){x|?x?2} (B) {x|?x<2} 44
3}(C) {x|x>2或者x?} (D){x|x,2 4
x2、不等式,2的解集为 . x，1
x,ax,b1,3、如果不等式的解集为(，1)，则= . a,b222x，x，1x,x，1
四、课堂小结:
分式与高次不等式的解题基础是一元二次不等式的解法，常用方法是序轴标根法，但是要注意
标根时的起点位置.
4 高三数学 第一轮总复习 讲义?代数?不等式 06-- 五、能力测试:
x,31、与不等式同解的不等式是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„( ) ,02,x
2,x (A)(x,3)(2,x)?0 (B)lg(x,2)?0 (C) (D)(x,3)(2,x)>0 ,0x,32,2、如果x0}{x|x,(x，x)x，xx<0}，那么自然12n12n1212数n„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„( ) (A)等于2 (B)是大于2的奇数 (C) 是大于2的偶数 (D)是大于1的任意自然数 3、不等式(x,1)(x，2)(3,x)>0的解集为 .
2(x,1)(x,4)(x,3),04、不等式的解集为 . x，1
15、a>0,b>0，那么不等式的解集为 . ,b,,ax
ax6、已知不等式的解集为{x|x<1或x>2}，那么a= . ,1x,1
222x，x,322,xx,x,x,2,(x,2)(x，x，1)7、解不等式:(提示:) 23，2x,x
23x，2x，2,n(n,N)8、不等式对一切x都成立，求n的值. 2x，x，1
a(x,1)9、解关于x的不等式,1 (a,0) x,2
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6.3不等式的证明—比较法
〖考纲要求〗掌握不等式的性质及其证明，能正确使用这些性质解决一些简单问题. 〖复习建议〗掌握求差法与求商法比较两个数的大小。
〖双基回顾〗
a1、求差法:a,b a,b,0 2、求商法:a,b,0 ,1并且b,0,,b
3、用到的一些特殊结论:同向不等式可以相加(正数可以相乘);异向不等式可以相减; 一、知识点训练:
1、已知下列不等式:
255322322(1)x，3，2x(x,R)(2)a，b,ab，ab(a,b,R)(3)a，b,2(a,b,1) 其中
正确的个数为 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„( )
(A)0 (B)1 (C) 2 (D) 3 2、1,a,b,0，那么„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„( )
a，ba，babab(A)a,,,b (B) b,,,a 22
a，ba，babab(C) a,,b, (D) ,,a,b 22
,,3、如果,,b,a,，则b,a的取值范围是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„( ) 22
,,,,,,(A),,b,a,0 (B) ,,b,a, (C) ,,b,a,0 (D) ,,b,a, 222
4aa,2,那么4、已知 1.(填“>”或者“<”) 24，a
二、典型例题分析:
nnn,1n,1则a，b,ab，ab1、求证:若a、b>0,n>1,
bdma，nc,，ab，cd2、a、b、c、d、m、n全是正数，比较p=q=的大小. mn
ababab与ba(0，a，b)3、比较的大小
2(),,4、a?R，函数fxa x2，1
(1)判断此函数的单调性。
2n(),,f(n),F(n)(2)F(n)=,当函数fxa为奇函数时，比较的大小. xn，12，1
三、课堂小结:
比较法是证明不等式最常用最基本的方法.当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用差值比较法。当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时常用商值比较法，即欲证
aa,b,(a,0,b,0)可证,1 b
6 高三数学 第一轮总复习 讲义?代数?不等式 06-- 四、能力测试: 姓名 得分
ab3553223221、不等式:?x，3>2x;?a，bb>0，则下列不等式恒成立的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„( )
222a，bb11b，1bab,,(A) (B) (C) (D) a>b a，,b，22a，2baa，1aab
225、x>100，那么lgx,lgx,lglgx从大到小的顺序为 .
22226、a,0，b,0，a，b=1，比较M=x，y与N=(ax，by)，(bx，ay)的大小.
n，1n，1nn，x，y与xy，xy(n,N,x,y,R)7、比较大小
4422332(a，b)(a，b),(a，b)8、求证:
642539、比较A=a，a，a，1与B=a，a，a的大小.(提示:分a,1，a=1，a,1讨论)
6425365432证明:a,1时，A,B=a，a，a，1,(a，a，a)=(a,a)，(a,a)，(a,a)，1
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6.4不等式的应用1
〖考纲要求〗
1、熟练运用不等式的知识综合解决函数、方程等中的有关问题.
2、在掌握一次函数单调性、二次函数的最值以及在定区间上的最值问题，学会变量的转换，掌
握:恒正、恒负、解集为R、解集为空集的实际含义并且会转化
3、掌握 “两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数”，并能运用此定理解决一些问题. 〖复习建议〗重要不等式的功能在于和积互化，要注意三个条件:一正、二定、三相等的检验。在
运用过程中，要注意创造特殊的环境:
一、知识点训练:
1、下列函数中，最小值为4的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ ( )
44(A)y,x， (B) y,sinx，(0,x,,)xsinx
x,xy,logx，4log3(x,1)y,e，4e(C) (D) 3x
x,2,,tg,,0,,,2.当x 时，等式成立; x,12
x,1,,cos,,0,,,当x 时，等式成立. x,22
二、典型例题分析:
2x,2x，2,4,x,1,研究函数f(x),1、若的最值. 2x,2
11x,0,y,0,x，2y,1,求，2、的最小值. xy
2f(x),x，(a,1)x，2a，1在a,(1,3]3、时恒正，求x的取值范围(关于a的一次函数).
2f(x)f(x)4、函数=x，ax，3，当x?[,2，2]时，恒有?a，求a的最小值.
f(x),g(x)1||,y,f(x) 5、已知函数，x?[a，b]，如果对任意的x?[a，b]，都有，则就称f(x)10
f(x),xy,f(x)g(x)可以被函数y=“替代”.试判断:函数 ，x?[4，16]是否可以被
1g(x)函数=(x，6)，x?[4，16]替代，并且说明理由～ 5
y,f(x)f(x，y),f(x)，f(y)f(1),,1*6、设函数是定义在R上的单调函数并且满足:，
y,f(x)y,f(x)?求证:为奇函数 ?为减函数
2f(logt,logt,2)f(k,logt)?如果+>0恒成立，求实数k的取值范围. 222
8 高三数学 第一轮总复习 讲义?代数?不等式 06-- 三、能力测试
1、若x+2y=4,且x>0,y>0,则 lgx+lgy的最大值为 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„( )
1(A)2 (B)2lg2 (C)lg2 (D) lg2ab2、设a,b为实数，且a+b=3,则2+2的最小值是 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„( ) (A)6 (B) (C) (D)8 4222
x，5y, (x,0)3、函数图象上最低点的坐标为„„„„„„„„„„„„„„„„„„( )
x，1
13(A)(0，5) (B) (3，4) (C) (3，2) (D) (8，) 3
+4、x、y?R，那么不等式恒成立的最小正数a= . x，y,a,x，y
、(1)若的最大值是 ;(2)函数tgx+ctgx的值域是 ; 5x，y,2,则xy
6.现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐在5%以上，6%以下的食盐水，设需要加入含盐 4%的食盐水x克，则x的范围是 .
27、函数y=x，ax，3的图象恒在函数y=2ax,5的上方，求实数a的取值范围.
22f(k,sinx),f(k,sinx)8、定义在(,,,1]上的函数y=f(x)单调递减，是否存在实数k，使: 对一切实数恒成立,存在请求出，不存在请说明理由～
2logxlogxlogx*9、对满足:|p|,2的一切p，不等式，p，1,2，p恒成立，求实数x的取 222
值范围(提示:可以理解为关于p的一次函数).
9 高三数学 第一轮总复习 讲义?代数?不等式 06--
6.5不等式的应用2
〖考纲要求〗
能运用不等式的知识解决实际问题.
〖复习建议〗
能从实际问题中抽象出数学模型，寻找出该数学模型中已知量与未知量，建立数学关系式，并用适当的方法解决问题。
典型例题分析:
1、已知三角形的三边长分别为15，19，23厘米，把它的三条边长分别缩短x厘米，使它只能构
成钝角三角形，求x的取值范围.
2、从边长为2a的正方形铁皮的四角各截去一小块边长为x的正方形，再将 x x 四边向上折起，做成一个无盖的方铁盒，问x取何值时，盒的容积最大, x x 最大的容积为多少,
x x x x
3、某杂志若以每本2元的价格出售，可以发行10万本，若每本价格提高0.2元，发行量就少5000
本，要使销售总收入不低于22.4万元，则该杂志的定价最高和最低各为多少,
x,(x,100),4、在某种商品生产过程中，每日次品数y是每日产量x的函数:，y,101,x,
,x,92 (x,100),
A该产品每售出一件正品获得利润A元，每生产一件次品就损失元，为了获得最大利润，日产3
量应该是多少,
5、(12分)在某海滨城市附近海面有一台风，根据监测，当前台风中心位于城市O(如图)的东
2,,arccos偏南()方向300km的海面P处，并且以20km/h的速度向西偏北45?方向,10
移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并且以10km/h的速度不断增大，问几
个小时后，该城市开始受到台风的侵袭,
*6、甲、乙两地相距240千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过60千米/时.已知汽车每小
时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成
正比,比例系数为b;固定部分为a元.
?全程运输成本把y(元)
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;
?为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
10 高三数学 第一轮总复习 讲义?代数?不等式 06--
不等式
姓名 得分
一、选择题
221、四个命题:?a>b|a|>b;?a>ba>b;?|a|>ba>b;?a>|b|a>b 正确的共有„( ) ,,,,
(A)1个 (B)2个 (C) 3个 (D)4个
22a，ba，b2、如果1
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