[课程]椭圆焦半径公式及应用面面观下载_Word模板_8

[课程]椭圆焦半径公式及应用面面观椭圆焦半径公式及应用面面观在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。一、椭圆焦半径公式 22xyP是椭圆,1上一点，E、F是左、右焦点，e是椭圆的离心率，则，()ab,,022ab (1)，(2)。 ||PEaex,，||PFaex,,PP 22yxP是椭圆上一点，E、F是上、下焦点，e是椭圆的离心率，则，,,,10() ab (3)。 PEaeyPFaey,,,，，()||422PPab 以上结论由椭圆的第二定义及第一定义和椭圆的方程易得。 (一)用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论(定理或公式)出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发. 22xy，,1例1 已知点P(x，y)是椭圆上任意一点，F(-c,0)和F(c,0)是椭1222ab cc圆的两个焦点.求证:|PF|=a+;|PF|=a -. xx12aa 【分析】可用距离公式先将|PF|和|PF|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y”12 即可. 【解答】由两点间距离公式，可知 22(x，c)，y|PF|= (1) 1 22xy，,1从椭圆方程解出 22ab 2b222y,(a,x) (2)2a 代(2)于(1)并化简，得 c|PF|= (-a?x?a) a，x1a c同理有 |PF|= (-a?x?a) a,x2a 【说明】通过例1，得出了椭圆的焦半径公式 cr=a+ex r=a-ex (e=) 12a 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P(x,y)横坐标的一次函数. r是x的增函1 数，r是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对2 称性质(关于x,y轴，关于原点). (二)、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来. 椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可. 例2( P (x,y)是平面上的一点，P到两定点F(-c，0)，F(c，0)的距离的和为2a(a>c>0).12 试用x，y的解析式来表示r=|PF|和r=|PF|. 1122 【分析】问题是求r=f(x)和r=g(x).先可视x为参数列出关于r和r的方程组，1212然后从中得出r和r. 12 【解答】依题意，有方程组，,2 　　 ?,rra12,,222,(，)，? rxcy　　　　　　,1,222rxcy　　　　　　,(,)，?,2, 22?-?得r,r,4cx ? 12 2cx代?于?并整理得r-r= ? 12a c,r,a，x1,,a联立?，?得 ,c,r,a,x2,a, 【说明】椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c而无b，其基础性显然. 二、焦半径公式与准线的关系用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式. 如图右，点P(x，y)是以F(-c,0)为焦点，以l: 11 2ax=-为准线的椭圆上任意一点.PD?l于D.按椭圆 1c 的第二定义，则有 2|PF|a,e,|PF|,e|PD|,e(x，),a，ex |PD|c 即r=a+ex,同理有r=a-ex. 12 2a 对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线缺乏定义,,xc的“客观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性. 例3( P(x，y)是以F(-c，0)，F(c，0)为焦点，以距离之和为2a的椭圆上任12 2a意一点.直线l为x=-，PD?l交l于D. 11c |PF|1求证:. ,e|PD|1 【解答】由椭圆的焦半径公式 |PF|=a+ex. 1 22aa 对|PD|用距离公式 |PD|=x-=x+. (),11cc 2ae(x，)||PFa，exc1,,,e 故有. 22PD||aa1x，x，cc 【说明】此性质即是:该椭圆上任意一点，到定点F(-c,0)(F(c,0))与定直线12 22aal:x=-(l:x=)的距离之比为定值e(0

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