三角
函数
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解题技巧和公式(已整理)
数学
浅论关于三角函数的几种解题技巧
本人在十多年的职中数学教学实践中,面对三角函数
内容
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的相关教学时,积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下: 一、关于sin,,cos,与sin,cos,(或sin2,)的关系的推广应用:
2221、由于故知道(sin,,cos,),sin,,cos,,2sin,cos,,1,2sin,cos,
,必可推出sin,cos,(或sin2,),例如: (sin,,cos,)
333sin,,cos,,,求sin,,cos,例1 已知。 3
3322分析:由于 sin,,cos,,(sin,,cos,)(sin,,sin,cos,,cos,)
2 ,(sin,,cos,)[(sin,,cos,),3sin,cos,]
其中,已知,只要求出即可,此题是典型的知sin-cos,求sin,,cos,sin,cos,,,sincos的题型。 ,,
2 解:? (sin,,cos,),1,2sin,cos,
311212sincos()sincos,,,,,,,,, 故: 333
332 sin,,cos,,(sin,,cos,)[(sin,,cos,),3sin,cos,]
3313142,[(),3,],,,3 333339
2、关于tg+ctg与sin?cos,sincos的关系应用: ,,,,,,
22,,,,sincossincos1,,,,由于tg+ctg= ,,cos,sin,sin,cos,sin,cos,
故:tg+ctg,,sincos三者中知其一可推出其余式子的值。 ,,sin,,cos,,,
例2 若sin+cos=m,且tg+ctg=n,则m n的关系为( )。 ,,,,22
222222mA(m=n B(m= C( D( ,1,n,2nnm
分析:观察sin+cos与sincos的关系: ,,,,
22(sincos)11,,,,m,, sincos= ,,22
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数学
1,,而: tg,ctg,,nsin,cos,
2m,1122,,m,,1故:,选B。 2nn
例3 已知:tg+ctg=4,则sin2的值为( )。 ,,,
1111 A( B( C( D( ,,2424
11分析:tg+ctg= ,4,sincos,,,,,sincos4,,
1 故:sin2,2sincos,sin2,。 答案选A。 ,,,,2
44tg+ctg=2,求 例4 已知:sin,,cos,,,
44分析:由上面例子已知,只要sin,,cos,能化出含sin?cos或sincos的式子,,,,,
1则即可根据已知tg+ctg进行计算。由于tg+ctg= ,,,,,2,,,sincos
144sincos,,此题只要将sin,,cos,化成含sincos的式子即可: ,,,,2
22224444解:sin,,cos,sin,,cos,=+2 sincos-2 sincos ,,,,
2222 =(sin+cos)- 2 sincos ,,,,2 =1-2 (sincos) ,,
12 =1- 2,()2
1 = 1,2
1 = 2
通过以上例子,可以得出以下结论:由于,sincos及tg+ctg三者之,,,,sin,,cos,
间可以互化,知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的;如果通过已知sin,cos,,求含的式子,必须讨论其象限才能sin,,cos,2得出其结果的正、负号。这是由于()=1?2sin,cos,,要进行开方运算才能sin,,cos,
求出 sin,,cos,
二、关于“托底”方法的应用:
在三角函数的化简计算或证明题中,往往需要把式子添加分母,这常用在需把含tg,(或ctg,)与含sin,(或cos,)的式子的互化中,本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下:
,,sin,3cos例5 已知:tg=3,求的值。 ,2sin,,cos,
,sin,分析:由于tg,,带有分母cos,因此,可把原式分子、分母各项除以cos,,,cos,
,,“造出”tg,即托出底:cos;
2
数学
,解:由于tg=3 ,,,,k,,,cos,,02
,,sincos,3,,tg,33,3,,coscos 故,原式= ,,,0,,sincostg,2,12,3,12,,coscos,,
2例6 已知:ctg= -3,求sincos-cos=? ,,,,
,,coscos,分析:由于,故必将式子化成含有的形式,而此题与例4有所不同,ctg,sin,sin,
22式子本身没有分母,为了使原式先出现分母,利用公式:及托底法托出其sin,,cos,,1分母,然后再分子、分母分别除以sin,造出ctg: ,,
2,,,sincos,cos222,,,,,sin,cos,1,sincos,cos, 解:22sin,,cos,
,,coscos2,()2,,ctg,ctg,,2sinsin分子,分母同除以sin, ,2,cos21,ctg,1,()sin,
23(3)6,,, ,,,251(3),,
例7 (95年全国成人高考理、工科数学试卷)
,,,,0,0设, ,x,,y,且sinxsiny,sin(,x)sin(,y)2236
3(ctgx,)(ctgy,3)求:的值 3
分析:此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子,故要用“托底法”,由
,,0,0于,故,在等式两边同除以,托出分母sinx,0,siny,0sinxsinysinxsiny,x,,y,22
为底,得:
解:由已知等式两边同除以sinxsiny得:
,,,,,,sin(,x)sin(,y)sincos,cossinxsincosy,cossiny363366,1,,,1 sinxsinysinxsiny
3
数学
13cosx,sinxcosy,3siny,,,,14sinxsiny
1,(3ctgx,1)(ctgy,3),14
33,(ctgx,)(ctgy,3),143
34,(ctgx,)(ctgy,3),333
“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。
,,cossin,,由于,,即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系,故它们间的互ctg,tg,cos,sin,
化需“托底”,通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法,使它们之间可以互相转化,
22达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种:一种利用,把sin,,cos,,1
22作为分母,并不改变原式的值,另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又sin,,cos,
或者它们的积,产生分母。
三、关于形如:的式子,在解决三角函数的极值问题时的应用: acosx,bsinx
可以从公式中得到启示:式子与上述公式sinAcosx,cosAsinx,sin(A,x)acosx,bsinx有点相似,如果把a,b部分变成含sinA,cosA的式子,则形如的式子都可以acosx,bsinx变成含的式子,由于-1??1, sin(A,x)sin(A,x)
所以,可考虑用其进行求极值问题的处理,但要注意一点:不能直接把a当成sinA,b当成cosA,如式子:中,不能设sinA=3,cosA=4,考虑:-1?sinA?1,-1?cosA3cosx,4sinx
?1,可以如下处理式子:
,,ab22,,acosx,bsinx,a,bcosx,sinx ,,2222a,ba,b,,
ab22(),(),1由于。 2222a,ba,b
absinA,cosA,,cosA,,1,sinA故可设:,则,即: 2222a,ba,b
2222? acosx,bsinx,a,b(sinAcosx,cosAsinx),a,bsin(A,x)
无论取何值,-1?sin(A?x)?1, A,x
222222?? a,bsin(A,x),a,ba,b
2222即:?? ,a,ba,bacosx,bsinx
下面观察此式在解决实际极值问题时的应用:
例1(98年全国成人高考数学考试卷)
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2求:函数的最大值为(AAAA ) y,3cosx,sinxcosx
331, A(1, B(3,1 C( D(3,1 22
112分析:,再想办法把变成含的式子:cosxsinxcos,,2sinxcosx,sin2xcso2x22
cos21x,22 cos22cos1cosx,x,,x,2
cos2x,11于是: y,3,,sin2x22
331,cos2x,,sin2x 222
313,(cos2x,sin2x), 222
31312222由于这里: a,,b,,则a,b,(),(),12222
313y,1,(cos2x,sin2x),? 222
3
31a2设: sin,cosA,,,则A,22122a,b
3y,sinAcos2x,cosAsin2x,? 2
3,sin(A,2x), 2
33y1,,1,无论A-2x取何值,都有-1?sin(A-2x)?1,故?? 22
3y1,?的最大值为,即答案选A。 2
例2 (96年全国成人高考理工科数学试卷)
3在?ABC中,已知:AB=2,BC=1,CA=,分别在边AB、BC、CA上任取点D、E、F,使
?DEF为正三角形,记?FEC=?α,问:sinα取何值时,?EFD的边长最短,并求此最短边
长。
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数学
22222分析:首先,由于,可知?ABC为Rt?,其中AB为斜BC,CA,1,(3),4,AB
BC1边,所对角?C为直角,又由于,则?B= sinA,,,故A,30:AB2
90?—?A=60?,由于本题要计算?DEF的最短边长,故必要设正?DEF的边长为,且要列l出有关为未知数的方程,对进行求解。观察?BDE,已知:?B=60?,DE=,再想办法找lll出另两个量,即可根据正弦定理列出等式,从而产生关于的方程。在图中,由于EC=?cosll
α,则BE=BC-EC=1-?cosα。 l
而?B+?BDE+?1=180?
?α+?DEF+?1=180? ?BDE=?α ,
?B=60?,?DEF=60?
?在?BDE中,根据正弦定理:
,BFDE1,l,cosl,,, sin,BDEsin,Bsin,sin60:
333,(1,l,cos,),l,sin,,,l,cos,,l,sin, 222
3
2,l,
3cos,,sin,2
3cos,,sin,在这里,要使有最小值,必须分母:有最大值,观察:l2
33372222cossin,,1()1 ,,,a,b,,a,b,,,2222
372127cos,,sin,,(cos,,sin,)? 2277
2127sinA,cosA,设:,则 77
37cos,,sin,,(sinAcos,,cosAsin,)故: 22
7,sin(A,,) 2
37cos,,sin,?的最大值为。 22
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数学
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212即:的最小值为:, l77
2
,,而取最大值为1时, sin(A,,)A,,2k,,,2k,,A,,,,22
27,sin,sin(2k,,A),cosA,? ,,27
2721,sin,即:时,?DEF的边长最短,最短边长为。 77
从以上例子可知,形如适合于计算三角形函数的极值问题。计算极值时与acosx,bsinx
222222式子的加、减是无关,与的最值有关;其中最大值为,最小值为。a,ba,b,a,b在计算三角函数的极值应用题时,只要找出形如的关系式,即能根据题意,求acosx,bsinx
出相关的极值。
三角函数知识点解题方法总结
一、见“给角求值”问题,运用“新兴”诱导公式
一步到位转换到区间(-90º,90º)的公式.
kk 1.sin(kπ+α)=(-1)sinα(k?Z);2. cos(kπ+α)=(-1)cosα(k?Z);
kk 3. tan(kπ+α)=(-1)tanα(k?Z);4. cot(kπ+α)=(-1)cotα(k?Z).
二、见“sinα?cosα”问题,运用三角“八卦图”
1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方(或下方);
2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方(或下方);
3.|sinα|>|cosα|óα的终边在?、?的区域内;
4.|sinα|<|cosα|óα的终边在?、?区域内.
三、见“知1求5”问题,造Rt?,用勾股定理,熟记常用勾股数(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),仍然注意“符号看象限”。
四、见“切割”问题,转换成“弦”的问题。
五、“见齐思弦”=>“化弦为一”:已知tanα,求sinα与cosα的齐次式,有些整式22情形还可以视其分母为1,转化为sinα+cosα.
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数学
六、见“正弦值或角的平方差”形式,启用“平方差”公式:
2222 1.sin(α+β)sin(α-β)= sinα-sinβ;2. cos(α+β)cos(α-β)= cosα-sinβ.
七、见“sinα?cosα与sinαcosα”问题,起用平方法则:
2 (sinα?cosα)=1?2sinαcosα=1?sin2α,故
22 1.若sinα+cosα=t,(且t?2),则2sinαcosα=t-1=sin2α;
22 2.若sinα-cosα=t,(且t?2),则2sinαcosα=1-t=sin2α.
八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题,启用变形公式:
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考:tanα-tanβ=,,,
九、见三角函数“对称”问题,启用图象特征代数关系:(A?0)
1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象,关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称;
2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象,关于其中间零点分别成中心对称;
3.同样,利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。
十、见“求最值、值域”问题,启用有界性,或者辅助角公式:
22222 1.|sinx|?1,|cosx|?1;2.(asinx+bcosx)=(a+b)sin2(x+φ)?(a+b);
222 3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a+b?c.
十一、见“高次”,用降幂,见“复角”,用转化.
22 1.cos2x=1-2sinx=2cosx-1.
2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等
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数学
角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+co
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
sin2A=2sinA*cosA
半角公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2
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cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
积化和差公式
sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] 万能公式
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) 倒数关系: 商的关系: 平方关系:
1 tanα ?cotα,
sinα ?cscα,1
cosα ?secα,1 sinα/cosα,tanα,secα/cscα
cosα/sinα,cotα,cscα/secα sin2α,cos2α,1
1,tan2α,sec2α
1,cot2α,csc2α
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