导数经典例题精析2导数经典例题精析2
2ax例1(已知a?R,求函数f(x)=xe的单调区间。
ax2ax2ax [分析与解答] f′(x)=2xe+x?e?a=(2x+ax)e.
ax ? e>0恒成立，
2 ? f′(x)的符号只需对2x+ax加以考查。
2 由于a?R，则a的取值决定函数2x+ax的类型和符号，故需对a的不同取值作分类讨论。
当a=0时，f′(x)=2x
令f′(x)>0，则x>0，令f′(x)0时，f(x)=(2x+ax)e
2 令f(x)>0，即ax+2x>0, ? 或x>0.
2 令...
导数经典例题精析2
2ax例1(已知a?R,求函数f(x)=xe的单调区间。
ax2ax2ax [分析与解答] f′(x)=2xe+x?e?a=(2x+ax)e.
ax ? e>0恒成立，
2 ? f′(x)的符号只需对2x+ax加以考查。
2 由于a?R，则a的取值决定函数2x+ax的类型和符号，故需对a的不同取值作分类讨论。
当a=0时，f′(x)=2x
令f′(x)>0，则x>0，令f′(x)<0，则x<0,
? (-?,0)是f(x)的单调减区间，(0,+?)是f(x)的单调增区间。
2ax 当a>0时，f(x)=(2x+ax)e
2 令f(x)>0，即ax+2x>0, ? 或x>0.
2 令f(x)<0，即ax+2x<0, ? .
? , (0,+?)是f(x)的单调增区间，是f(x)的单调减区间。
2ax 当 a<0时，f(x)=(2x+ax)e
2 令f(x)>0, 即ax+2x>0, ? .
2 令f(x)<0，即ax+2x<0, ? x<0或.
? (-?,0), 是f(x)的单调减区间，是f(x)的单调增区间。
322 例2(已知函数f(x)=x+ax+bx+a在x=1处有极值10，求a,b的值。
2 [分析与解答] f′(x)=3x+2ax+b对x?R有意义，
? f(x)在R上可导，必有x=1处导数是0，
2 令f′(x)=0，则3x+2ax+b=0的一个根是1。
? f′(1)=3+2a+b=0........?
2 ? x=1处极值为10，? f(1)=1+a+b+a=10.........?
解由??组成的方程组
得。
22 当a=-3,b=3时，f′(x)=3x-6x+3=3(x-1),令f′(x)=0, x=1。
x (-?,1) 1 (1,+?)
f′(x) + 0 +
? 无极值 ? f(x)
显然a=-3, b=3不合题意，舍去。
2 当a=4, b=-11时，f′(x)=3x+8x-11=(x-1)(3x+11)
令f′(x)=0, , x=1.
(1，+?) x 1
f′(x) + 0 - 0 +
? 极大值 ? 极小值 ? f(x)
f(x)在x=1处有极小值10，合题意，? a=4, b=-11。
例3(已知，函数在[-1，1]上有最大值1,最小值，求常数a,b的值。
2 [分析与解答] f′(x)=3x-3ax=3x(x-a).
令f′(x)=0, x=0或x=a.
x -1 (-1,0) 0 (0,a) a (a,1) 1 f′(x) + 0 - 0 +
极小值
? 极大值b ? ? f(x)
函数f(x)最大值只可能在x=0或x=1处获得。
由.
? ， ? ， ，
? f(0)-f(1)>0, 即f(0)=b是f(x)最大值。? b=1
函数f(x)最小值只可能在x=-1或x=a处获得。
，? a-2<0, a(a+2)+1>0. ?
? f(a)-f(-1)>0，即是最小值，
? ，，综上，，b=1。
例4(求的导数。
解:，
设， u=2x+1,
? .
点评:将根式与分式形式写成分数指数与负指数形式，转化为幂函数的复合形式求导，会使问题得到简化，注意这种识别与转化。
如:，。
例3:求导? ?
解:方法1:?令y=lnu, ,
?
.
方法2:先将商的对数化为对数的差
22 y=ln(1+3x)-ln(2-x)
? .
?方法1:令y=lnu, ,
?
.
方法2:原函数定义域为-1
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