高等数学 函数的求极限的方法

高等数学由常见函数响求极限髓方法 杨琴／新疆建设职业技术学院 [摘 要]极限是高等数学的重要组成部分，是高等数学的理论基础，是研究变量数学的有力工具。极限的运算题目类型多， 技巧性强，灵活多变．难教也难学。本文对高等数学中一元函数极限的常见求解方法进行了归纳总结，并在某些具体的求鳃方 法中就其要注意的细节和技巧做了说明。 [关键词]函数 极限 计算方法 极限是高等数学的一个重要概念。其理论的确立使微积分 有了坚实的逻辑基础，使得微积分在当今科学的整个领域得以 更广泛、更合理、更深刻的应用和发展，极限是描述数列和 函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，是从近似认识精 确，从有限认识无限，从量变认识质变的一种数学方法。除 此之外，高等数学中的某些概念，也是由极限引出，例如： 导数，积分等。所以求函数的极限成为这一部分的重中之重， 灵活掌握运用极限的求法是学好高等数学的基础。 函数的极限既然是微积分的一个重要内容，于是如何求出 已知函数的极限，就是学习微积分必须掌握的基本技能。因 此，本文对求函数的方法进行总结，并对于每种方法都足以定 理或简述开头，然后以例题来全面展示具体的求法。 1利用极限的四则运算法则来求极限 为叙述方便，我们把自变量的某个变化过程略去不写，用 记号limf(xl表示，’lX)在某个极限过程中的极限，因此极 限的四则运算法则可确切地叙述如下： 定理在同一变化过程中，设lim，’IX}，lim2IX)都存 在，则 (1)lim【厂(石)±g(x)]：limf(x)+_limg(x) (2)limL厂(x)g(x)】=limf(x)limg(x) (3)当分母limf(x)；e0n,-t， 剁m裂=渊 总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数 ：三受享兰二虹兰!：婴!：型：2 Ilimxr+liml1+1 2利用函数连续性求极限 我们知道，一切初等函数在其定义区间连续，对于厂《x) 初等函数，若Xo为其定义区间内一点“．、面 !．imhf(x)=厂(‰)。 例：四—再7 sjn,rOC解：‘·。再在x=1连续 ．1im—sin—刃c：里坚：0llm-——=——= 乏矗躲出2复合函2数连黜髁酗。f([x)在U。在这里特别指出复合函数连续性：如果函数 )在。 点连续，而函数zf=妒G)x0点连续，且“o=缈(xo)， 那么复合函数厂[妒G)]在点．b也是连续的。其结论可改成 ，l。im‰f[呼0(x)]=厂眵(x。)】=／[!垩!：：伊(x)]，也就 是说，极限号，l_÷im‰可以和函数符号互换顺序，这就等于为我 们求极限提供一种方法。 例 解 ：cos压 压了、1 、／一X2--1j 3无穷小量分出法 适用于分子、分母同时趋于oo，即一型未定式。 ．． 3x’一4x2+2例：姆—7X3+5—Xz--3． 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：所给函数中，分子、分母当xj。o时的极限都 不存在，所以不能直接应用法则。注意到当xjoo时。分 子、分母同时趋于oo，首先将函数进行初等变形，即分子、 分母同除的最高次幂，可将无穷小量分出来，然后再根据运算 法则即可求出极限。 辄㈣lim37xx3j-+45xx2z+一23 —1im3_4工+x2321鳃昔 “”7+三一} 253科学时代·2010年第09期 m州h} ／，●●●●●●●、＼ SOC= 层层固啦嘏蛞粤曾七 +一卫 3 广．，～X一√U，2一m_ ，，●～一．1 p m丛， ．，l，-一觜 等畸求例 等脚解 万方数据 (分子、分母同除z3)=lim J—÷∞ 3—0+03=一=一7+O+O7 注意使用上述方法时，要求分子次数要小于或等于分母次 数，那么当分子次数大于分母次数时怎么办呢? ⋯⋯lim糍 分析：所给函数中分子、分母当时的极限都不存在，所 以不能直接应用法则及上例方法。注意到无穷小与无穷大互为 倒数关系，即在自变量的同一变化过程中，如果fixJ为无穷 1 ， 、 大量，则7丽为无穷小量。反之，如果／‘怔J为无穷小 1 量，则了两为无穷大量。则我们可以把分子次数大于分母 次数的击享菇化成分子次数小于分母次数的类型解决。 ， 7x2+5x2—3 解：因为!i_m。j夏r二至i百 7 5 3 ——J-———————— =一limx，一'三x2士至X3_I-， 一工2．Z3 2x。一3x▲4所以，l，ira一罱，工+，x'一'；2”。 4消去零因子法及有理化求极限 (1)消零因子：通过消公因子达到消零因子的目的，此法适 用于有公因子的i 讥洲lim专竽 分析所给两个函数中，因为当时，分子、分母的极限均 是0，不能直接使用极限运算法则，但当的过程中，，即，故 采用消去零因子法，即对分式分子、分母分别进行因式分解， 先消去趋于零的因式再应用法则取极限。 解： 1iIIl￡坐尝：liIIl—(x-lX—x-3)：hmb一1)：3—1：2 石_÷3 x一3 z--+3 X一3 x-÷3’ (2)有理化求极限：将根式差有理化 例：lirll11±兰二! 工—’O _)c 分析：求极限前先观察，此题的分子、分母都是无穷小 量，所以不能直接利用极限运算法则。可将分子有理化，先 后将去公因子约去，再求极限。 解川m巫叠“m z—÷0 工x--+O 兰 ：0瓜}+1一 例：磐万忑忝x2孺 分析：求极限前先观察，此题的分子、分母都是无穷小 量，所以不能直接利用极限运算法则。可将分母有理化，先 后将去公因子约去，再求极限。 解： ：21im 兰： x--+01+xsinX—COSX ：lim兰：匾±巫) x---}O l+xsin工一COS工 =2磐互巫1=詈 x2 。工 5利用无穷小量 性质1有限个无穷小的代数和为无穷小。 性质2有界函数与无穷小的乘积为无穷小。 性质3有限个无穷小的乘积为无穷小。 ．． S1nX 例：求极限11m—— 分析：因为。l_÷ira。81n工不存在，不能直接使用运算法则， 故必须先将函数进行恒等变形。 锯：lim—$1n—x：iimlsinx 因为当石一o。时，』_0，即一1是当工_÷。时的无穷 小，而JsinxI≤1，即sin工是有界函数，由无穷小的性质： 有界函数乘无穷小仍是无穷小，得墨笔里}=o。 类似常见的有 例：求!i—mo嬲m妄 解：因为!‰工=o，lsin剖≤1，有无穷小的性质2可 知， lim．xsin二=0 6无穷小的等价代换 只能做分子或分母的整体替换，或者分子、分母中的部分 因式做替换。 无穷小的等价代换是计算极限时学生最容易出错的方法之 一。此法的难点在于学生搞不清楚替换的原理及对象。还有就 是对无穷小的等价概念不清，要注意等价是有极限条件的。 例：求极限lim三等 x--+O膏‘sinX‘ 科学时代·2010年第09期254 赫2一∥了一≯ + 一 一 4一x一5一x 一 一 + ，J 一7 ／，lh●一／一／， 一／ 忑矗‰ 万方数据 解： 忏工。删。in^x：’1．啷厶垃2 注：用此方法求极限时，只有分子或分母的乘积囚子7J1可 以用等价无穷小量的代换，否则不能用等价无穷小的代换。 7两个重要极限 ㈣!嘎半=t㈤x"ml，+玎=P 而我们在使用 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 时并非完全套用公式，而是对其适当的 变形，有人也称其为“凑”。 (1)lim裂-l(几)训麟 “m揣=l(州刊 ㈤nrn(1+南厂叫八小。。， 或者1im(1+厂G))南：Pf／o)_o) 叭棚lira。(·一扩， 。 解：。l—im+。、l，一妄]3。=。l—ira+。l(。·一要]一i ． 1一COSX例：求!i。mo丁 2sin2n，f sin兰 黑丁1--COSX=l删imY2225刮子J-÷o 工‘ x-÷o Y 二o_÷ul兰“ L 2 8洛必达法则 定理：若函数／(x)及g(x)满足以F条件： (1)。l。im％，b)=o，。l。im‰gb)=o (2)／-)与gb)在Xo的某簪心邻域内可导，且97G)≠0 (3)1im』桀：爿(4可为实数，也可为±。或oo)，则 X---)X0gpJ 蛾裂=溉锱=彳 此定理是对-6型而言，对于=函数极限类型有类似的法 则。并且自变量可为工j。。的情况。 注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点． (1)要注意条件，也就是说，在没有化为云、一时不可求 U 。。 导二 (2)应用洛必达法则，要分别求分子、分母的导数，而不 是求整个分式的导数。 (3)要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后榆查是否 仍是未定式，若遇到不是未定式，应立l_!IJ停止使用洛必达法 则，甭则会引起错误? (4)当土是善祷不存在时，奉法则失效，但并不是晚极限 不存在，此时求极限须用另外疗法。 (5)除此之外．还要注意其他几种可以化为百0、三的类 0．．o．．o． 型；如：“)0．oo型．J／-2'fk为上或者l；(jj)o。一。型需要通 ” 0 分后判断；(iii)1”，o。0，00型jt。v,．+等，需要运用取对数的方 法，一般取In即可。 例：!i曼粤(删)』_÷”工“ ‘。 解：此题为=不定式，直接利用洛必达法则，得 l lim一]nx：lim～x：lim上：o。翌72。。。脏川2。一i。0 解：运用洛必达法则两次后得到 limx--+O≈群lnll+x2J ：删lim掣x—’O z工了了=!要错：詈：， 6+x2F 9变量替换。 例：求极限lim≯ 分析：当以-÷+oo时，分子、分母都趋于如．不能直 接应用法则，注意到4”：f22r：(2”r，故可作变量替换j令 f=2”，引进新的变量，将凉集的奖午”的极限转化为f的极 觚。骧石2n--]=。‰带2。现若=。 10：7嘏函数的极限 、7 函数／G)在Xo处的左、右极限存在且相等是函数／G)当 X寸Xo时极限存在的允要条件， 即。‰一几)-，雯+厂b)一。 ——————————————————————————————————————————————————一一一—— 255科学时代-20]0年第(’9期 警主，m加lr故 错-唇枷lr咧 万方数据 例：讨论函数州={蕊》川时的碱 解：因为。l。iml一厂G)：，lira汀(x+2)=3， lim厂G)=lim．(2x+1)=3 J—÷l+ J—}J+ gp。l。ira．一厂b)=，1．im。+／&)：3，所以，li。raI／0)：3， fx--I，工<0 例：设厂G)2{o，互=o讨论／b)在点z：o处的极限 【工+l，J>u 是否存在。 分析所给函数是分段函数，jc=0是分段点，要知 !觋厂G)是否存在，必须从极限存在的充要条件人手。 解：因为：l。ira。一／G)=，l。imo一(x一1)=一1 lim，G)=Iimb+1)=1 Y—^n+ r—jn+ lim厂b)≠liraf(x) z—÷0一 x—÷0’ ，． ，， 、 所以!婴，tx)不存在。 注l：因为工从0的左边趋于0，则工<0，故厂(j)=工一l。 注2：因为x从0的右边趋于0，则x>0，故 ／(x)=石+1。 除了以七一些方法外，还可以灵活地运用高等数学中的其 他概念，来解决极限的计算问题，方法的运用在于灵活，一 种方法并不一定就可以解决极限的计算，有些时候要注意极限 方法的综合应用，以求达到最终的目的。 参考文献： 【1】华东师范大学数学系编．数学分析(第三版)[M】．北京： 高等教育m版社，2001 【2】同济大学应用数学系．高等数学(第五版)上册iM]．北 京：高等教育出版社，2002 [3】盛祥耀．高等数学辅导[M】．北京：高等教育出版社， 2()03 高箦职业皖被校芷含作I言荠 计算祁甫皿造人才搽索 杨敏张新／重庆城市职业学院 [摘要]随着惠普、富士康、广达及英业达等世界著名IT企业纷纷落户重庆，计算机制造业方面人才的需求量快速增长， 为了满足企业需要，高等职业院校肩负着培养中、基层重要人才的使命。但是，传统的高等职业院校的人才培养模式培养的人 才质量远远不能满足企业需要，为了实现与企业无缝对接，寻求校企深度合作，才能实现校企双赢。 [关键词]校企合作 计算机制造 人才 探索 全球电子信息产业正面临结构调整和升级，中同电子信息 产业具有巨大的发展潜力和广阔的市场空间。重庆市抓住机 遇，实施电子信息产业调整和振兴规划，打造中国西部信息产 业高地，成功引进惠普、富士康、广达及英业达等世界著名 IT企业投资计算机制造。两年内将形成庞大的IT产业群，需 要20余万人的计算机制造人才，培养适应企业发展的高素质人 才的重任落在重庆各高职院校，为了实现学校人才培养的规格 与企业需求实现无缝对接，学校将通过校企合作共同培养计算 机制造人才。 一，高职院校计算机制造人才培养存在的问题 目前，高职院校计算机制造人才培养改革远远不能满足企 业发展需要，造成学生在校学习的技能与企业实际不符，学校 深入计算机制造企业调研及从事计算机制造的毕业生调查，分 析研究，主要存在如下问题： 1．教育理念未转变。无论是高职计算机制造人才培养定位 还是教师实施教学都还未完全脱离本科教育模式．导致人才培 养模式以学科体系为主，能力整体为辅；教学 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 以单元为 主，以‘r：作项目或任务为辅；教学方法以讲授为主，“教学 做”一体化教学为辅，很大程度上制约了学生的职业能力发 展。 2．课程设置目标不明确。课程是通过典型工作任务和职业 能力分析得出的，应有明确的培养目标，学生通过课程的学习 学会做事。目前，很多高职院校的课程照搬其他高职院校甚至 本科或中专的课程，课程在人才培养 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 中没有明确的目标。 3．教材脱离工作流程。多数教材不是以能力整体而是以知 识体系构建框架，苠至过分追求内容广泛，以致教材内容重复 率较高。实力强的高职院校根据本校人才培养方案自编教材， 影响甚微，实力弱的高职院校没能力编写，只能择优选择相对 适合的教材，严重影响了人才培养质量。 4．实习实训环境制约。学生技能培养通过反复实践操作获 取，较大程度上依赖实习实训设备。由于各方面的原因，计 算机制造专业实习实训设备无论是数量还是先进程度都远远不能 满足实际需要，不能完整地训练一个整体能力。 5．师资力量薄弱。计算机制造专业教师主要来源大学毕业 直接从事教育，没有企业1二作经验；企业能工巧匠由于工作需 要很难抽m时间授课，严重制约着专业改革与发展。 6．专业认识肤浅。很多人从字面上理解计算机制造就是 在生产线上生产计算机零都件及装配整机，技术含量不高，认 为不通过系统学习，只要多看多练就会，造成计算机制造专业 的生源紧张而且质量不高。 科学时代·2010年第09期256 万方数据 高等数学中常见函数的求极限的方法 作者： 杨琴 作者单位： 新疆建设职业技术学院 刊名： 科学时代（上半月） 英文刊名： SCIENCE TIMES 年，卷(期)： 2010，""(5) 被引用次数： 0次 参考文献(3条) 1.华东师范大学数学系 数学分析 2001 2.同济大学应用数学系 高等数学 2002 3.盛祥耀 高等数学辅导 2003 相似文献(10条) 1.期刊论文 郎开禄.LANG kai-lu 一类θ函数的极限与累次极限 -楚雄师范学院学报2007,22(3) 在本文中,我们讨论了一类θ函数的极限与累次极限,得到了这类θ函数的极限与累次极限. 2.学位论文 沈思婕 离散时变系统稳定性问题的若干结果 2007 本文讨论非线性离散时变系统的一致渐近稳定和全局一致渐近稳定的问题．由于LaSalle不变原理在时不变系统稳定性研究中的重要作用，相应时变 系统的某种不变原理一直是研究的热点．本文从输出函数的角度来描述非线性离散时变系统的一般不变原理，并且给出一致渐近稳定和全局一致渐近稳 定的判据．本文的具体工作如下. 第一部分，首先由极限函数的概念，得到所研究系统的相应极限系统的定义；然后给出了与此极限系统相关的关于轨道弱可测和一致可测的条件 ．为了将Lyapunov函数沿轨道的导数为零的集合S={x｜V(x)=0，x∈D}的最大不变集为零集的条件一般化，构造了一个简单、直观的判据．所得结果可视 为LaSalle不变原理在时变系统的延伸． 第二部分，运用有界的输出函数条件来弱化在Lyapunov判别法中，系统一致渐近稳定对于Lyapunov函数沿轨道的导数为负定的要求．为此，提出了 弱零状态可测(WZSD)的定义，并给出了与输出函数有关的不等式，于是由这些条件即可证得原点的一致渐近稳定和全局一致渐近稳定的结果．文中还给 出了弱零状态可测的简单判据. 3.期刊论文 范希智.姜良广 用函数(sinαx)(πx)的极限表示Dirac δ(x) 函数及其一个应用 -鞍山师范学院学报 2003,5(2) 证明了x的函数(sinαx)(πx)的极限limα→∞(sinαx)(πx)可以表示Dirac δ(x) 函数,并用它将动量本征函数进行了δ(x)函数归一化. 4.期刊论文 魏少华.蒋晨宏.李敏 求极限的各种方法总结及推广 -现代交际2010,""(6) 数学分析这门课程研究的对象是函数,而研究函数的方法就是极限,所以极限是高等数学基本概念和核心内容之一.数学分析几乎所有的概念都离不开 极限,从方法论的角度讲,用极限方法来研究函数,这是数学分析区别于初等数学的显著标志,而求数列或函数的极限,一般来说是比较困难的问题,而极限 理论是数学分析和高等数学的基础理论,所以寻求求极限的方法的问题显的十分重要.因此,弄清极限概念,熟练掌握极限的计算方法,对于学好高等数学是 十分必要的,现根据平常学习中所得,将积累的一些方法做一归类. 5.期刊论文 林小龙.LIN Xiao-long 极限函数可微性的一个充分条件 -泉州师范学院学报2006,24(2) 以极限为工具,研究了函数列的极限函数可微性问题,改进了通常的导函数列是一致收敛的较强条件,得到了一个极限函数可微性的一个充分条件,并 扩大了其应用范围. 6.会议论文 鲁亚男.刘欣 浅析函数的单侧导数与导函数的单侧极限 2006 常见的分段函数由于它在除分段点外的小区间内的每段函数都是初等函数，所以，它们在这些小区间内都是连续，可导的。而要研究整个分段函数 在其定义域内是否连续，可导，关键要看它在分段点处的连续性与可导性。其中，连续性的判别相对较简单，而分段点处可导性的判别就要用到单测导 数的定义，通常情况下，这类问题相对复杂。在学生中易出现的错误是直接将分段点代入导函数求分段导数，从而判断在该点处是否可导。对于这种做 法，有时结果上是正确的，但缺少必要的理论基础。本文通过对函数的单侧导数与其导函数的单侧极限之间的关系的研究，得到结论：对于在分段点处 的单测邻域内连续，可导的函数，如果其导函数的单测极限存在的话，则其单测导数就等于导函数的单测极限。从而给出了一个在满足上述情况下的求 分段函数在分段点处单测极限的方法——直接讲分段点代入导函数印可。但必须要注意的是，上述条件是充分非必要条件，当导函数的单测极限不存在 时，不能用此方法来运算。反例见本文中例3。 7.期刊论文 刘小川.范希智 用函数1/2πσexp-(x2/2σ2)的极限表示Diracδ(x)函数及其一个应用 -鞍山师范学 院学报2002,4(1) 证明了x的函数1/2πσexp-(x2/2σ2)的极限limσ→0[1/2πσexp-(x2/2σ2)]可以表示Diracδ(x)函数,利用这个结论可以将分数fourier变换定义 完整. 8.期刊论文 罗铁山.王荣.LUO Tie-shan.WANG Rong "单调有界函数必有极限"吗? -唐山学院学报2007,20(4) 由"单调有界数列必有极限"不能得到"单调有界函数必有极限"的结论,因为数列的极限过程是确定的,而函数的极限过程则是多种多样的. 9.期刊论文 周素英 一类抽象函数的极限 -科技信息（学术版）2006,""(12) 问题中含有抽象函数f(x)的表达式的极限,让求另一含有f(x)的表达式的极限.这类问题一般的方法是通过极限与无穷小的关系,把f(x)先抽象表示出 来,再代入要求的函数的极限中.当然,这类问题也可通过极限的性质来求. 10.学位论文 尹志强 多复Green函数在全纯映射迭代中的应用 2006 全纯映射迭代序列的收敛性问题一直以来被很多人所研究，近来，由于与复动力系统的密切关系而备受重视。其中对于单位圆、超球、有界强凸域 和双圆柱上的情况，人们已经得到了其上全纯自映射收敛的一系列结果。对于一般的强拟凸域，也有部分结果。 在研究有界域上全纯自映射收敛问题时，常用的工具是Kobayashi度量。该度量对于有界强凸域与双圆柱的应用非常有效，但是应用于非凸域时遇到 困难，所以我们就在想是否可以找一度量，使之能够在有界凸域和双圆柱上很好的替代Kobayashi度量，又能方便的使我们研究非凸域上全纯自映射的迭 代序列的收敛性质。在这种想法的促使之下，我们想到了多复Green函数。由于在一般有界凸域上，多复Green函数与Kobayashi度量有着非常密切的关系 ，而且对于一般有界域上的多复Green函数我们了解的又是比较清楚的。 基于该思路，本文就利用多复Green函数，在分别研究了单位圆、超球、有界强凸域以及双圆柱上全纯自映射迭代的基础上，进一步研究了一特殊非 凸域-Hartogs三角形上全纯自映射迭代的性质。 本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_kxsd201005158.aspx 授权 个人房产授权委托书公司各类授权委托书模版医师授权办法餐饮分店授权书产品代理授权书范本 使用：广东医学院(gdyxy)，授权号：13f1b11d-ece2-4aa7-be12-9e13016cb3f5 下载时间：2010年10月18日