高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义
高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 一、基础知识【理解去记】
1(椭圆的定义，第一定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间的距离)的点的轨迹，即|PF|+|PF|=2a (2a>|FF|=2c). 1212
第二定义:平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0
标准
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方程，若焦点在x轴上，列标准方程为
22,,xacos,xy，,1 (a>b>0)， 参数方程为(为参数)。 ,,22aby,bsin,,
22yy，,1若焦点在y轴上，列标准方程为: (a>b>0)。 22ab
22xy，,13(椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆:， 22ab
a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(?a, 0), (0, ?b), (?
22aax,,,xc, 0);与左焦点对应的准线(即第二定义中的定直线)为，与右焦点对应的准线为;定义中的比cc
c222e,e称为离心率，且，由c+b=a知0
公式
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:对于椭圆1(a>b>0), F(-c, 0), F(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一1222ab
点，则|PF|=a+ex, |PF|=a-ex. 12
5.补充
知识点
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:
几个常用结论:
xxyy00，,11)过椭圆上一点P(x, y)的切线方程为:; 0022ab
2222)斜率为k的切线方程为;3)过焦点F(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为 y,kx,ak，b2
22abl,。 222a,ccos,
6(双曲线的定义，第一定义:
满足||PF|-|PF||=2a(2a<2c=|FF|, a>0)的点P的轨迹; 1212
第二定义:到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。
7(双曲线的方程:中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为
22xy,,1， 22ab
1
,,xasec,,参数方程为(为参数)。 ,y,btan,,
22yx焦点在y轴上的双曲线的标准方程为:,,1。 22ab
22xy,,18(双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线:(a, b>0), 22ab
a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F(-c,0), F(c, 0)，对应12
22aack222x,,x,,.的左、右准线方程分别为离心率，由a+b=c知e>1。两条渐近线方程为，双e,y,,xccaa
2222xyxy,,1,,,1曲线与有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。 2222abab
9(补充知识点:
双曲线的常用结论，
22xy,,11)焦半径公式，对于双曲线，F(-c,0), F(c, 0)是它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若1222ab
P在右支上，则|PF|=ex+a, |PF|=ex-a;若P(x,y)在左支上，则|PF|=-ex-a，|PF|=-ex+a. 1212
22ab2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是。 222a,ccos,
10(抛物线:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，
pp2建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标为，准线方程为x,,，标准方程为y=2px(p>0)，离心率e=1. (,0)22
11(补充知识点
抛物线常用结论:若P(x, y)为抛物线上任一点， 00
p1)焦半径|PF|=; x，2
2p2)过点P的切线方程为yy=p(x+x);3)过焦点倾斜角为θ的弦长为。 0021,cos,
二、直线与圆锥曲线的位置关系
一、知识整理:
1.考点
分析
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:此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数，并以椭圆、抛物线为载体较多。
多数涉及求圆锥曲线的方程、求参数的取值范围等等。
2(解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤:
设线、设点， 联立、消元， 韦达、代入、化简。
第一步:讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b(或斜率不为零时，设x=my+a); 第二步:设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x,y)B(x,y); 1122
y,kx，b,第三步:联立方程组，消去y 得关于x的一元二次方程; ,f(x,y),0,
2
，,xx二次系数不为零,,12第四步:由判别式和韦达
定理
三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理
列出直线与曲线相交满足的条件， ,,xx,,,,012,,
第五步:把所要解决的问题转化为x+x、xx，然后代入、化简。 12 12
3(弦中点问题的特殊解法-----点差法:即若已知弦AB的中点为M(x,y)，先设两个交点为A(x,y)，B(x,y);分别oo1122
x，x,2x,y，y,2y代入圆锥曲线的方程，得，两式相减、分解因式，再将代f(x,y),0,f(x,y),012o12o1122
入其中，即可求出直线的斜率。
2224.弦长公式:|AB|,1，k|x,x|,(1，k)[(x，x),4xx]( k为弦AB所在直线的斜率) 121212
高考真题:
22xy3aPFFEab:1(0)，,,,是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，,FPF1.【2012高考新课标文4】设x,122122ab2
E是底角为的等腰三角形，则的离心率为( ) 30
12,, ()A()B()C()D23,,
【答案】C
【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.
0FPF【解析】??是底角为的等腰三角形， 3021
330||||2PFFFc,,||AF?，，?=，?，?=，ce2ca,，,PFA602122242故选C.
2y,16x2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与抛物线的准线交于两AB,CC
点，AB,43;则的实轴长为( ) C
,222 ()A()B()C()D,
【答案】C
【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.
222xya,,【解析】由题设知抛物线的准线为:，设等轴双曲线方程为:，将代入等轴双曲线方程x,4x,4
22y4343解得=，?=，?=，解得=2， ||ABa,,16a216,a
?的实轴长为4，故选C. C22xy2,,,,1(0,0)abCxpyp:2(0),,3.【2012高考山东文11】已知双曲线C:的离心率为2.若抛物线的焦点1222ab
到双曲线C的渐近线的距离为2，则抛物线C的方程为 12
831632222xy,8xy,16 (A) (B) (C) (D) xy,xy,33
【答案】D
考点:圆锥曲线的性质
b,3a解析:由双曲线离心率为2且双曲线中a，b，c的关系可知，此题应注意C2的焦点在y轴上，即(0，p/2)
到直线的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 y,3x
3
22PFFCxy:2,,||2||PFPF,4\【2012高考全国文10】已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，则C1212cos，,FPF 12
1334(A) (B) (C) (D) 4455
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
||2,||PFxPFx,,【解析】解:由题意可知，，设，则，故||||222PFPFxa,,,,abc,,？,2,21212
FF,4，，利用余弦定理可得||42,||22PFPF,,1212
222222PFPFFF，,，,(42)(22)431212。 cos，,,,FPF1224PFPF,22242，，12
y,05\(2011年高考广东卷文科8)设圆C与圆 错误～未找到引用源。错误～未找到引用源。 外切，与直线错误～未找到引用源。错误～未找到引用源。相切(则C的圆心轨迹为( )
A( 抛物线 B( 双曲线 C( 椭圆 D( 圆
MMy(2,)6.【2012高考四川文9】已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该xO0抛物线焦点的距离为，则||OM,( ) 3
4232522A、 B、 C、 D、 【答案】B
pp2[解析]设抛物线方程为y=2px(p>0),则焦点坐标为()，准线方程为x=, ,0,22
？M在抛物线上，
？M到焦点的距离等于到准线的距离，即
pp222？(2-)，y,(2，),3022
解得:p,1,y,220
？点M(2,22)，根据两点距离公式有:
22？|OM|,2，(22),23
4
[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线的距离).
22xy,,,1(0)a7.(2011年高考湖南卷文科6)设双曲线的渐近线方程为则的值为( ) 320,xy,,a2a9
A(4 B(3 C(2 D(1
答案:C
3，故可知。 解析:由双曲线方程可知渐近线方程为yx,,a,2a
22xyFA，,1(a8.【2012高考四川文15】椭圆为定值，且的的左焦点为，直线与椭圆相交于点、xm,a,5)2a5
B,FAB，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
2 【答案】， 3
22[解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得a=3 , 又 ？a,c,5
c2 ？c,2,？e,,a3
[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.
22,9.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x y =1,点F,F为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F?P F,则1212
?P F?+?P F?的值为___________________. 12
23【答案】
【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适
中。
acPFPFa,,？,,,1,2,22,【解析】由双曲线的方程可知 12
22？,，,PFPFPFPF24 1122
222PFPFPFPFcPFPF,？，,,？,,(2)8,24,121212 2？，,，,？，,()8412,23PFPFPFPF1212
【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—积—和的转化。
22xy510.【2012高考江苏8】(5分)在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 xOym,,12mm，4
? (
【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
22xy22【解析】由得。 ,,1ambmcmm==4=4，，，，，2mm，4
2cmm，，42e===5m=2 ?，即，解得。 mm,，44=0am
5
2Fyx,411.【2012高考安徽文14】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则=______。 AB,||3AF,||BF
3【答案】 2
A【解析】设及;则点到准线的距离为 ，,,,AFx,,,(0)BFm,3lx:1,,
123得: 又 ,，,,,,,，,,,,,,323coscosmmm2cos()，31cos2,
2yx,12.(2011年高考辽宁卷文科7)已知 F 是抛物线 的焦点，A(B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段
AB的中点到y轴的距离为——————。
1115 解析:设A、B的横坐标分别是m、n，由抛物线定义，得=m++n+= m+n+=3，故m+n=，AFBF3，,4422
mn，55，故线段AB的中点到y轴的距离为。 ,424
13、【2012高考广东文20】(本小题满分14分)
22xyCF(1,0),C，,1在平面直角坐标系中，已知椭圆:()的左焦点为，且点在xOyP(0,1)ab,,011122ab
上.
C(1)求椭圆的方程; 1
2CCyx,4(2)设直线同时与椭圆和抛物线:相切，求直线的方程. ll12
CF(1,0),【解析】(1)因为椭圆的左焦点为，所以， c,111
22xy1，,1点代入椭圆，得，即， P(0,1),1b,1222abb
222所以， abc,，,2
2x2C，,y1所以椭圆的方程为. 12
(2)直线的斜率显然存在，设直线的方程为ykxm,，， ll
2,x2，,y1,222(12)4220，，，,,kxkmxmy，消去并整理得， 2,
,ykxm,，,
2222C,,,，,,164(12)(22)0kmkm因为直线与椭圆相切，所以， l1
22整理得 ? 210km,，,
6
2,yx,4222kxkmxm，,，,(24)0y，消去并整理得。 ,ykxm,，,
222C,,,,,(24)40kmkm因为直线与抛物线相切，所以， l2
整理得 ? km,1
,,22k,k,,,,综合??，解得或。 22,,
,,m,2m,,2,,
22yx,，2yx,,,2所以直线的方程为或。 l2214、【2012高考安徽文20】(本小题满分13分)
22xyAB如图，F,F分别是椭圆:+=1()的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线AFCa,b,0C12222ab
A，FF与椭圆的另一个交点，=60?. C12
(?)求椭圆的离心率; C
A3FB(?)已知?的面积为40，求a, b 的值. 1
c1;【解析】(I) ，,,,,,,FAFace60212a2
(?)设;则 BFm,BFam,,221
222;,BFFBFBFFFBFFF,，,，，2cos120 在中， 121212212
3222 ,,,，，,,(2)ammaamma5
1133;,，，，,，，，，,SFFABaaasin60()40321,AFB 面积22521
,,,,acb10,5,53
15.【2102高考北京文19】(本小题共14分)
222xy已知椭圆C:+=1(a,b,0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为， 直线y=k(x-1)与椭圆C交与不同的222ba
两点M,N
(?)求椭圆C的方程
10(?)当?AMN的面积为时，求k的值 3
【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度确实不大，从形式到条件的设计都是非常熟悉的，相信平时
对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。
7
a,2,
,22c2xy,,，,1解:(1)由题意得解得.所以椭圆C的方程为. b,2,a242,222abc,，,,
ykx,,(1),,222222(12)4240，,，,,kxkxk(2)由得. ,xy，,1,,42
224k24k,(,)xy(,)xyykx,,(1)ykx,,(1)设点M,N的坐标分别为，，则，，xx，,，. xx,1122112212122212，k12，k
222(1)(46)，，kk2222()()xxyy,，,(1)[()4]，，,kxxxx所以|MN|===. 12122121212，k
||k由因为点A(2,0)到直线的距离， d,ykx,,(1)212，k
221||46kk，||4610kk，SMNd,,,||,所以?AMN的面积为. 由，解得 . k,,122212，k123，k
16.【2102高考福建文21】(本小题满分12分)
283如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E:x=2py(p,0)上。
(1) 求抛物线E的方程;
(2) 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。
考点:圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明。
难度:难。
分析:本题考查的知识点为抛物线方程的求解，直线和圆锥曲线的联立，定值的表示及计算。
解答:
22AxyBxy(,),(,)(I)设;则 xpyxpy,,2,211221122
222222OAOBxyxypyypyy,,，,，,，,，2211221122
,,，，,,,,()(2)0(2,,0)yypyyyypyy12121212
yAB, 得:点关于轴对称(lfxlby)
OAOBABAB,,,,,83(43,12),(43,12)
2x2p,,,2EExy,4 代入抛物线的方程得:抛物线的方程为 2y
8
2x1120,Px(,) (II)设;则 yxyx,,,0442
111122P 过点的切线方程为即 yxxxx,,,()yxxx,,000004224
2x,40 令 yQ,,,,1(,1)2x0
2x,40 设满足:及 Mt(0,)MPMQ,0MPxytMQt,,,,,(,),(,1)002x0
22x,0 得:对均成立 4(2)(1)0tttx，,，,,00
2,，,,,,,,tttt20,101
y 以为直径的圆恒过轴上定点 PQM(0,1)
17.【2012高考上海文22】(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小
题满分6分
22Cxy:21,,在平面直角坐标系中，已知双曲线 xOy
FMM(1)设是的左焦点，是右支上一点，若MF,22，求点的坐标; CC
(2)过的左焦点作的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积; CC
22Pxy，,1(3)设斜率为(k,2)的直线交于、两点，若与圆相切，求证:? QOQklClOP
226xC:,y,1[解](1)双曲线，左焦点. F(,,0)122
222262 设，则， ……2分 M(x,y)|MF|,(x，)，y,(3x，)22
262 由M是右支上一点，知，所以，得. x,|MF|,3x，,22x,222
6 所以. ……5分 M(,,2)2
2 (2)左顶点，渐近线方程:. A(,,0)y,,2x2
2 过A与渐近线平行的直线方程为:，即. y,2(x，)y,2xy,2x，12
2,,x,,y,,2x,4 解方程组，得. ……8分 ,,1y,,y,2x，1,2,
2 所求平行四边形的面积为. ……10分 S,|OA||y|, 4|b|,1y,kx，b (3)设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，故， 2k，1
22即 (*). b,k，1
9
,，ykxb,222(2,k)x,2kbx,b,1,0由，得. ,222x,y,1,
2kbx，x,,2,122,k 设P(x, y)、Q(x, y)，则. 21122,,1,bxx,,2122,k,
，所以 yy,(kx，b)(kx，b)1212
22OP,OQ,xx，yy,(1，k)xx，kb(x，x)，b 12121212222222(1，k)(,1,b)2kb,1，b,k，, . 2222,k2,k2,k
由(*)知，所以OP?OQ. ……16分 OP,OQ,0
【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系(特别要注意直线与双曲线的关系问题～在双曲线当中～最特殊的为等轴双曲线～它的离心率为～它的渐近线为～并且相互垂直～这2y,,x些性质的运用可以大大节省解题时间～本题属于中档题 (
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